2003-数二真题标准答案及解析.docx

名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -2003 年考研数学（二）真题一、 填空题 （此题共 6 小题，每道题 4 分，满分 24 分. 把答案填在题中横线上）1（ 1） 如 x0 时， 〔1ax 2 〕 41 与 xsin x 是等价无穷小，就 a= .（ 2 ） 设 函 数 y=f〔x〕 由 方 程 xy2 ln xy4 所 确 定 ， 就 曲 线 y=f〔x〕 在 点 〔1,1〕 处 的 切 线 方 程是 .（ 3）y 2 x 的麦克劳林公式中x n 项的系数是 .（ 4） 设曲线的极坐标方程为e a 〔a0〕 ，就该曲线上相应于 从 0 变到 2 的一段弧与极轴所围成的图形的面积为 .（ 5） 设 为 3 维列向量， T 是 的转置 . 如 T1 1 11 1 1 ，就1 1 1T = .101（ 6）设三阶方阵A,B 满意A2 BABE ，其中E 为三阶单位矩阵，如A020 ，就2 0 1B .二、挑选题 （此题共 6 小题，每道题 4 分，满分 24 分. 每道题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（ 1） 设{ a n }, { bn }, { cn } 均为非负数列，且lim ann0 , lim bnn1 , lim cn n,就必有(A) a n bn 对任意 n 成立 . 〔B〕 bn cn 对任意 n 成立 .〔C〕 极限limnan cn 不存在 . 〔D〕 极限limnbncn 不存在 . [ ]（ 2） 设 a nn3n 1 xn 1 12 0xn dx , 就极限limnnan 等于(A) 〔13e〕 21 . 〔B〕〔1 e31 〕 2 1 .〔C〕 〔13e 1 〕 21 . 〔D〕3〔1 e〕 21 . [ ]（ 3） 已知 yxln x是微分方程 y y x〔 x 〕 的解，就y〔 x 〕 的表达式为yy 2（A ） 2 . xy 2(B) 2 . x 第 1 页，共 20 页 - - - - - - - - -名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -x2(C) .y2x2〔D〕 2 . [ ]y（ 4） 设函数 f〔x〕 在 〔 , 〕 内连续，其导函数的图形如下列图，就 f〔x〕 有〔A〕一个微小值点和两个极大值点.〔B〕两个微小值点和一个极大值点.〔C〕两个微小值点和两个极大值点.〔D〕三个微小值点和一个极大值点. [ ]yO x（ 5）设 I4 tan x dx , I 4x dx , 就10 x 20 tan x(A) I1 I 2 1.(B)1 I 1 I 2 .(C) I 2 I 1 1.(D)1 I 2 I 1 . [ ]（ 6） 设向量组 I ：1 , 2 ,, r 可由向量组 II ：1, 2 ,, s 线性表示，就〔A〕 当 rs 时，向量组II 必线性相关 .〔B〕 当 rs 时，向量组II 必线性相关.〔C〕 当 rs 时，向量组I 必线性相关 .〔D〕 当 rs 时，向量组I 必线性相关.[ ]三 、（此题满分 10 分）ln〔1 ax 3 〕设函数f 〔x〕,x arcsin x6,x 0,x 0,eaxx 2 ax xx sin41 , x 0,问 a 为何值时， f〔x〕 在 x=0 处连续； a 为何值时， x=0 是 f〔x〕 的可去间断点？ 四 、（此题满分 9 分）x 1 2t 2 ,d 2 y设函数 y=y〔x〕 由参数方程1 2 ln t eu〔t 1〕 所确定，求 .y du1 u五 、（此题满分 9 分）dx 2 x 9 第 2 页，共 20 页 - - - - - - - - -名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -运算不定积分xearctan x3dx.〔1六 、（此题满分 12 分）x2 〕 2设函数 y=y〔x〕 在 〔, 〕 内具有二阶导数，且 y0, xx〔 y〕 是 y=y〔x〕 的反函数 .2(1) 试将 x=x〔y〕 所满意的微分方程d x 〔 ysin x〕〔 dx〕 30 变换为 y=y〔x〕 满意的微分方程；(2) 求变换后的微分方程满意初始条件七 、（此题满分 12 分）dy 2y〔0〕0, ydy〔0〕 3 2的解 .争论曲线 y4 ln xk 与 y4 x ln 4x 的交点个数 .八 、（此题满分 12 分）设位于第一象限的曲线 y=f〔x〕 过点 〔段 PQ 被 x 轴平分 .(1) 求曲线 y=f〔x〕 的方程；2 , 12 2〕 ，其上任一点 P〔x,y〕 处的法线与 y 轴的交点为 Q，且线(2) 已知曲线 y=sinx 在 [ 0, ] 上的弧长为 l ，试用 l 表示曲线 y=f〔x〕 的弧长 s.九 、（此题满分 10 分）有一平底容器，其内侧壁是由曲线 x〔 y〕〔 y0) 绕 y 轴旋转而成的旋转曲面（如图） ，容器的底面圆的半径为 2 m.依据设计要求， 当以3m3/ min的速率向容器内注入液体时， 液面的面积将以m2 / min 的速率匀称扩大（假设注入液体前，容器内无液体） .(1) 依据 t 时刻液面的面积，写出 t 与〔 y〕 之间的关系式；(2) 求曲线 x 〔 y〕 的方程 .〔注： m 表示长度单位米， min 表示时间单位分 .〕十 、（此题满分 10 分）设函数 f〔x〕 在闭区间 [a,b] 上连续， 在开区间 〔a,b〕内可导， 且 f〔x〕0. 如极限limf 〔2xa〕存在， 证明：〔1〕 在〔a,b〕内 f〔x〕>0;b 2 a 2 2x a x a〔2〕在〔a,b〕内存在点 ，使bf 〔x〕dxa；f 〔 〕(3) 在〔a,b〕 内存在与 〔2〕中 相异的点 ， 使 f 〔〕〔 b 2a 2 〕2 b fa a〔 x〕 dx. 第 3 页，共 20 页 - - - - - - - - -名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -十 一、（此题满分 10 分）如矩阵 A2 2 08 2 a0 0 6相像于对角阵 ，试确定常数 a 的值；并求可逆矩阵 P 使 P1 AP .十二 、（此题满分 8 分）已知平面上三条不同直线的方程分别为l1 : ax 2by 3c 0 ，l 2 : bx 2cy 3a 0 ，l 3 : cx 2ay 3b 0 .试证这三条直线交于一点的充分必要条件为a b c 0. 第 4 页，共 20 页 - - - - - - - - -名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -2003 年考研数学（二）真题评注一、填空题 （此题共 6 小题，每道题 4 分，满分 24 分. 把答案填在题中横线上）1（ 1） 如 x0 时， 〔1ax 2 〕 41 与 xsin x 是等价无穷小，就 a= -4 .【分析 】 依据等价无穷小量的定义，相当于已知lim 〔11ax2 〕 41 ，反过来求 a. 留意在运算过程中应尽可能地应用无穷小量的等价代换进行化简 .x 0 xsin x【详解 】 当 x0 时， 〔11ax 2 〕 4 1 ~1 11 2ax ，42x sin x ~x2 .于是，依据题设有lim 〔1ax2 〕 4ax2lim 41 a 1，故 a=-4.x 0 x sin xx 0 x 4（ 2 ） 设 函 数 y=f〔x〕 由 方 程 xy2 ln xy 4 所 确 定 ， 就 曲 线 y=f〔x〕 在 点 〔1,1〕 处 的 切 线 方 程 是x-y=0 .【分析 】 先求出在点 〔1,1〕处的导数，然后利用点斜式写出切线方程即可 .【详解 】 等式 xy2 ln x y4 两边直接对 x 求导，得2 3y xy4y y ，x将 x=1,y=1 代入上式，有y 〔1〕1. 故过点 〔1,1〕处的切线方程为y 1 1 〔x1〕 ，即x y 0.【评注 】 此题属常规题型，综合考查了隐函数求导与求切线方程两个学问点 .〔 l n2〕 n（ 3）y 2 x 的麦克劳林公式中x n 项的系。