金融数学引论讲义-chapter2.pdf

第二章 11第二章 年金 年金annuity一般是指以相等的时间间隔进行的一系列收付款行为也指以固定的时间周期以相对固定的方式发生的现金流是持续按期收取的定额款项实际背景有养老金按揭贷款的分期付款和某些固定收益产品投资的定期固定回报收入现金流等有时将年金的收付款金额简称为年金金额确定年金annuity-certain指无条件确定发生的年金未定年金contingent-annuity指年金的发生是有条件的不确定的付款期payment period指两次年金收取之间的时间间隔本章只考虑确定年金 年金是一系列特殊现金流方式的总称一般情况下考虑的现金流的金额与利率无关但现金流在不同时刻的时间价值与利率水平有关而且大多数情况下年金现金流是许多复杂现金流的基础是利率计算的最直接的一种应用年金的计算问题主要包括年金的现值和终值计算两大类 2.1 基本年金 本节考虑最简单的一种年金方式支付款周期与利息结算周期相同我们称之为基本年金下面分几种典型情形讨论 2.1.1 期末年金annuity-immediate 定义 2.1 若年金的现金流在第一个付款期末首次发生 随后依次分期进行 则称其为期末年金 定义2.2 若每次的年金金额为 1 个货币单位现金流在第一个付款期末首次发生共计n次称为n期标准期末年金 其时间流程图 1 … 1 0 1 n 用记号ina| 表示比较日选为 0 时刻的标准期末年金的所有年金金额的现值之和 有时也用记号ina| 代表利率i环境中的标准期末年金的现金流其中a是年金的英文单词的第一个字母n表示年金现金流的次数i表示年金的计算利率在不至于产生歧义的情况下也将其简单记为| na基本计算公式为 ina| = nvvv+++L2=ivn−1(2.1.1) 第二章 22其中v为i对应的贴现因子 记号ina| 是用途非常广泛和灵活的一种表示 1 | na本身也表示一定的现金流由(2.1.1) n nvia+=| 1 (2.1.2) 它的含义是 0 时刻一个货币单位的价值= (0, ]n上每次利息收入i的现金流价值i| na +n时刻一个货币单位的现值nv 2 |1na可以表示 0 时刻的一个货币单位的贷款对应的n期期末年金现金流 |1na|1na|1na|1na|1na0 1 2 3 n1 n 用记号ins| 表示标准期末年金的所有年金金额在年金结束时刻的终值之和 简单记为| ns基本计算公式为 ins| = 12)1 ()1 ()1 (1−+++++++niiiL = iin1)1 (−+(2.1.3) 结论2.1 | ns与| na有如下关系 1 | ns = | nani)1 ( + 2 isann+=| | 11证明 1因为 ins| = iin1)1 (−+ina| = ivn−1所以 | ns = | nani)1 ( + 2由 1知 | ns = | nani)1 ( + 第二章 33所以 | |11 (1)nnniisai+ =++|1(1)1 (1)nn ni ai++−=+|1na= 结论证毕 例2.1 现有十年期 50 万元贷款年利率 8%试比较以下三种还贷方式的应付利息情况 A — 在第十年底一次付清 B — 每年底偿还当年的利息本金最后一次付清 C — 每年底偿还固定的金额十年还清 解 方式 A 在第十年底的一次还款为 500,00010(1.08)= 1,079,462.50 其中的利息为 1,079,462.50 500,000 = 579,462.50 应付利息约为五十八万元 方式 B 每年所付利息为500,000.08 = 40,000 总的利息付出为1040,000 = 400,000 应付利息为四十万元 方式 C 设每年的还款额为R价值方程R10 | .08a500,000由710081. 6%8 | 10=a解得 10 | .08500,00074,514.54Ra== 10 年的付款总额为1074,514.54 = 745,145.4 其中的利息总额为745,145.4 500,000 = 245,145.4 应付利息约为 25 万元 说明这里的计算是没有考虑时间的虽然三种利息结果不同但所有还款的现值是相同的都是原始贷款 2.1.2. 期初年金annuity-due 定义2.3 在合同生效时立即发生首次的现金流随后依次分期进行的年金方式称为期初年金 定义2.4 每次的年金金额为 1 个货币单位在合同生效时立即发生首次的现金流共计n次称为n期标准期初年金 第二章 44时间流程图 1 1 1 1 0 1 2 n1 n 用记号ina| i= 2(10.1)10.21+− =2.2.4. 连续年金 如果年金的付款周期可以充分小付款间隔充分小付款频率很快相当于∞→m极限状态为每个瞬间的年金金额为 1 个货币单位时间为n个利息换算期利息力为δ 用 | na表示这种连续年金的现值则有 | na= ∫n tdtv0= δnv−1(2.2.14) 或 | na= δδ ne1−−(2.2.15) 还有 | na= inai| δ(2.2.16) 其中 ln(1) iδ =+另一方面连续年金也可被看作是广义年金的极限状态 ()()| | |limlimmm nnnmmaaa →∞→∞==&&关于连续年金的终值也有类似的结论 | ns= ∫+n tdti0)1 (= δ1)1 (−+ni(2.2.17) 第二章 1414= δδ1−ne(2.2.18) = insi| δ(2.2.19) 2.3 变化年金 这一节考虑年金的数额是变化的情况当然理论上讲可以考虑任意金额的年金现值但是在实际操作中还是有一些常用的模式计算的一般原则是计算每次付款的现值然后求和 2.3.1 一般变化年金付款期 = 利息换算期 首先限制年金的周期与利率周期相同年金金额以下面几种方式变化 1等量变化 顾名思义等量变化年金的一般方式为首付P元然后每次变化Q元总计n次期末方式其中P> 0 Q为任意实数流程图如下 P P+Q QnP) 1( −+ 1 2 n 如果用A表示这种期末年金的现值则有 A=nvQnPvQPvQPPv]) 1([)2()(32−+++++++L = inva QivPnnn− +−| 1= inva QPannn− +| | (2.3.1) 注Q可以是负数表示年金金额随时间递减但是要求P+(n1)Q>0 定义2.7 若2.3.1中P = Q = 1则称这样的变化年金为标准递增年金increasing annuity它的现值用| )(nIa表示 | )(nIa= inva annn− +| | = invann−| & &(2.3.2) 实际上许多变化年金都可以用这种标准递增年金表示例如对前面的一般变化年金有 A= (PQ)| na+ Q| )(nIa (2.3.3) 第二章 1515结论2.8 式(2.3.4)也可以表示为 n nnnvIaia+=| | )(& & 证明 左边表示每次在期初投资 1 元的现值之和右边的两项分别表示这种投资的利息每年递增i现值之和本金之和n的现值流程示意图为 利息之和 i 2i ... in) 1( − n i 本金之和 1 2 3 ... n n 年金金额 1 1 1 ... 1 0 1 2 1−n n 所以根究其流程示意图知年金现值为| na& &其中本金和的现值为nnv利息的现值之和为| )(nIai.因此结论成立证毕 递增年金在结束时的终值一般用| )(nIs表示 | )(nIs= | )(nIani)1 ( += insn−| & &(2.3.4) = insn)]1([| 1+−+(2.3.5) 结论2.9 可以将递增年金理解为一组固定年金的组合 | )(nIa= ∑−=−10| nttntav (2.3.6) 证明 流程示意图为 0 1 2 t n1 n 递增年金 1 2 t n1 n 固定年金 0=t 1 1 1 1 1 1=t 1 1 1 1 ... ... ... ... 1−= nt 1 由其流程示意图可以推知结论成立证毕 定义2.8 若1,−==QnP则称此变化年金为标准递减年金decreasing annuity它的现值用| )(nDa表示 | )(nDa = iann | −(2.3.7) 第二章 1616递减年金在结束时的终值一般用| )(nDs表示 | )(nDs= isinnn| )1 (−+(2.3.8) 结论2.9 可以将递减年金理解为一组固定年金的组合 | )(nDa= ∑ =ntta1| (2.3.9) 证明 画出其流程示意可以得到结论这里不再详细说明 结论2.10 对公式(2.3.1)所代表的一般等量变化年金也可以表示为一组固定年金的和 | nPa+ ∑−=+−−22| 11nttntavQ 证明 流程示意图为 0 1 2 t n 变化年金 P P+Q QtP) 1( −+ QnP) 1( −+ 固定年金 P P P P 1=t Q Q Q ... ... ... 1−= nt Q 因此其现值公式为 | nPa+ ∑−=+−−22| 11nttntavQ 证毕 以上的所有结论都可以推广到期初年金的情形只是所有表达式分母中的i都要换成d 最后考虑变化的永久年金只要对公式2.3.1取n则有现值表示 iP+ 2iQ(2.3.10) 因为n所以这里的Q必须为正数 2. 比例变化年金 直观地看这种年金的金额是比例变化的一般的比例期末年金为首付 1 元随后每次增加k倍总共n次其现值为 kiikvkvkvnnn −++− =+++++−)11(1 )1 ()1 (12L (2.3.11) 第二章 1717当然这个公式要求ik一旦i=k就意味着利率与年金增长比例相同相当于每次付款的现值相同均为vn次付款的现值之和为n v因此只有当k 利。