知识要点-函数与方程.doc

第 4 讲 函数与方程★知识梳理一、函数的零点方程 0)(xf的实数根又叫做函数 )(Dxfy的零点方程 有实根 函数 )的图像与 x 轴有交点 函数 ()yfx有零点；②如果函数 ()yfx在区间 (,ab上的图像是连续不断的，且有 0fab，则函数()f在区间 ,上有零点二、二分法1．如果函数 ()yfx在区间 ],[nm上的图像是连续不断的一条曲线，且 0)(nfm，通过不断地把函数 的零点所在区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法2．给定精度 ，用二分法求函数 )(xfy的零点近似值的步骤如下：（1）确定区间 ],[nm，验证 0nf，给定精度 ；（2）求区间 的中点 1x；（3）计算 )(1xf：①若 )(f，则 1x就是函数 )(xfy的零点；②若0)(mf，则令 1n（此时零点 ,(10m） ；③若 0)(1nf，则令1x（此时零点 ),(0n）（4）判断是否达到精度 ；即若 m，则得到零点值 m（或 n） ；否则重复步骤（2）-（4）★重、难点突破重点：函数零点的概念，掌握用二分法求函数 )(xfy零点的近似值难点：用二分法求函数 )(xfy的零点近似值重难点：1．函数零点的理解函数 ()yfx的零点、方程 0)(f的根、函数 ()yfx的图像与 x 轴交点的横坐标，实质是同一个问题的三种不同表达形式，方程 0f根的个数就是函数 ()yf的零点的个数，亦即函数 ()yfx的图像与 x 轴交点的个数变号零点与不变号零点①若函数 )(xf在零点 0左右两侧的函数值异号，则称该零点为函数 )(xf的变号零点②若函数 在零点 左右两侧的函数值同号，则称该零点为函数 的不变号零点③若函数 )(xf在区间 ][ba， 上的图象是一条连续的曲线，则 0)(bfa是 )(xf在区间 ba， 内有零点的充分不必要条件。

用二分法求曲线交点的坐标要注意两个问题（1）曲线交点坐标即为方程组的解，从而转化为求方程的根（2）求曲线 )(xfy和 )(g的交点的横坐标，实际上就是求函数)(gxfy的零点，即求方程 0)(xgf的根3．关于用二分法求函数 )(xy的零点近似值的步骤须注意的问题：（1）第一步中要使：①区间长度尽量小；② )(bfa、 的值比较容易计算且0)(bfa；（2）根据函数的零点与相应方程根的关系，求函数的零点与求相应方程根是等价的对于求方程 )(xgf的根，可以构造函数 )()(xgfxF，函数 )(xF的零点即方程)(x的根★热点考点题型探析考点 1 零点的求法及零点的个数题型 1：求函数的零点.[例 1] 求函数 23xy的零点.[解题思路] 求函数 的零点就是求方程 023x的根[解析]令 320x，∴2()20xx∴ ()1()，∴ 1或 或即函数 23xy的零点为-1，1，2[名师指引] 函数的零点不是点，而是函数函数 ()yfx的图像与 x 轴交点的横坐标，即零点是一个实数题型 2：确定函数零点的个数.[例 2] 求函数 f(x)=lnx＋2x －6 的零点个数.[解题思路] 求函数 f(x)=lnx＋2x －6 的零点个数就是求方程 lnx＋2x －6=0 的解的个数[解析]方法一：易证 f(x)= lnx＋2x －6 在定义域 (0,)上连续单调递增，又有 (1)40f，所以函数 f(x)= lnx＋2x －6 只有一个零点。

方法二：求函数 f(x)=lnx＋2x －6 的零点个数即是求方程 lnx＋2x －6=0 的解的个数即求ln62yx的交点的个数画图可知只有一个[名师指引] 求函数 )(f的零点是高考的热点，有两种常用方法：①（代数法）求方程 0x的实数根；②（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数 )(xfy的图像联系起来，并利用函数的性质找出零点．题型 3：由函数的零点特征确定参数的取值范围[例 3] (2007·广东 )已知 a 是实数,函数 axaxf32,如果函数 xfy在区间1,上有零点，求 a 的取值范围[解题思路] 要求参数 a 的取值范围，就要从函数 xfy在区间 1,上有零点寻找关于参数 a 的不等式（组） ，但由于涉及到 a 作为 2的系数，故要对 a 进行讨论[解析] 若 0 , ()23fx ,显然在 1,上没有零点 , 所以 0.令 248340aa, 解得 372a①当 7时, yfx恰有一个零点在 1,上;②当 0511af ，即 5a时， yfx在,上也恰有一个零点.③当 yfx在 ,上有两个零点时, 则 208410af或208410af解得 5a或352综上所求实数 的取值范围是 1a 或 352.[名师指引] ①二次函数、一元二次方程和一元二次不等式是一个有机的整体，也是高考热点，要深刻理解它们相互之间的关系，能用函数思想来研究方程和不等式，便是抓住了关键.②二次函数 f（x）=ax2+bx+c 的图像形状、对称轴、顶点坐标、开口方向等是处理二次函数问题的重要依据.[新题导练]1． （09 年浙江五校联考）函数 21fxmx有且仅有一个正实数的零点，则实数m的取值范围是（ ）A． ,；B． ,01；C． ,0,；D． ,1[解析] B ；依题意得（1）0)(42fm或（2）0)(42fm或（3） 4)2(0m显然（1）无解；解（2）得 0m；解（3）得 1又当 0时 1)(xf，它显然有一个正实数的零点，所以应选 B2． （中山市 09 届统测）方程 2的实数解的个数为 _______ [解析] 2；在同一个坐标系中作函数xy)(及 32的图象，发现它们有两个交点故方程 23x的实数解的个数为 2考点 2 用二分法求方程的近似解[例 4]（斗门一中 09 届模拟）利用计算器，列出自变量和函数值的对应值如下表：x0.2 0.6 1.0 1.4 1.8 2.2 2.6 3.0 3.4 …2y1.149 1.516 2.0 2.639 3.482 4.595 6.063 8.0 10.556 …x0.04 0.36 1.0 1.96 3.24 4.84 6.76 9.0 11.56 …那么方程 2的一个根位于下列区间的（ ）. A.（0.6，1.0） ；B.（1.4，1.8） ；C.（1.8，2.2） ；D. （2.6，3.0）[解题思路] 判断函数2)(xf在各个区间两端点的符号[解析]由 036.51.)60(f ， 0.1).(f，故排除 A；由 924.1， 2438，故排除 B；由 4.83)(f ， .59.)2(f ，故可确定方程 2x的一个根位于下列区间（1.8，2.2） ，所以选择 C[名师指引] 用二分法求方程 0)(xf的近似解的关键是先寻找使得函数 )(f在两端点异号的某区间，然后依次取其中点，判断函数 )(xf在中点的符号，接着取两端函数值异号的区间作为新的区间，依次进行下去，就可以找到符合条件的近似解。

[新题导练] 3．用二分法研究函数 13)(xf的零点时，第一次经计算 0)(f，0)5.(f，可得其中一个零点 0 ，第二次应计算 ，这时可判断0x[解析] ).,(， )25.(f， ).,(；由二分法知 )5.0,(x，这时01325f，故 ).,2(x考点 3 根的分布问题[例 4] 已知函数 f（x）=mx2+ （m－3）x+1 的图像与 x 轴的交点至少有一个在原点的右侧，求实数 m 的取值范围[解题思路] 由于二次函数的图象可能与 x 轴有两个不同的交点，应分情况讨论[解析]（1）若 m=0，则 f（x）=－3x+1，显然满足要求.（2）若 m≠0，有两种情况：原点的两侧各有一个，则014)3(2mxΔm＜0； 都在原点右侧，则 ,01,234)(mxΔ解得 0＜m≤1，综上可得 m∈（－∞，1］.[名师指引] 二次方程根的分布是高考的重点和热点，需要熟练掌握有关二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的分布有关的结论：①方程 f（x）=0 的两根中一根比 r 大，另一根比 r 小 a·f（r）＜0.②二次方程 f（x）=0 的两根都大于 r .0)(,2,4rfabcΔ③二次方程 f（x）=0 在区间（p，q）内有两根 .0)(,2,04pfaqbacΔ④二次方程 f（x）=0 在区间（p，q）内只有一根 f（p ）·f（q）＜0，或 f（p）=0，另一根在（p，q）内或 f（q）=0，另一根在（p，q）内.⑤方程 f（x）=0 的两根中一根大于 p，另一根小于 q（p＜q） .0)(,qfa[新题导练]3．已知二次函数 f(x)=4x2－ 2(p－2)x－2p2－p+1,若在区间［－1，1］内至少存在一个实数c,使 f(c)>0,则实数 p 的取值范围是_________. [解析] (－3， 2） 只需 f(1)=－2p2－3p+9>0 或 f(－1)=－2p2+p+1>0即－3＜p＜ 或－1＜p＜1.∴p∈(－3, 23).4．若方程 x2+(k-2)x+2k-1=0 的两根中,一根在 0 和 1 之间,另一根在 1 和 2 之间,求实数 k 的取值范围.[解析] 123k；令 2)()(2kxxf，则依题意得0)2(ff，即0124k，解得 23k5.(2007·韶关)若关于 x 的方程 4x+2x a+a+1=0 有实数根，求实数 a 的取值范围.[解析]令 t=2x， t>0关于 x 的方程 4x+2x a+a+1=0 有实数根等价于方程 t2+at+a+1=0(t>0)有正实数根,令 f(t)= t2+at+a+1，且 42a故方程 t2+at+a+1=0(t>0)有正实数根等价于（1）方程有一个正根一个负根：由 f(0)0)的函数 y=f(x)和 y=g(x)的图像如图所示，给出下列四个命题中：(1) 方程 f[g(x)]=0 有且仅有三个解； (2) 方程 g[f(x)]=0 有且仅有三个解；(3) 方程 f[f(x)]=0 有且仅有九个解； (4)方程 g[g(x)]=0 有且仅有一个解。

那么，其中正确命题的个数是（ )A． 1;B. 2;C. 3; D. 4[解析] B ；由图可知， ][)(axf，， ][)(axg，，由左图及 f[g(x)]=0 得a a xyyf(x)Oaaa a xyyg(x)Oaa]2[)(1axg，，]02[)(，axg， 2)(axg，由右知方程 f[g(x)]=0 有且仅有三个解，即(1)正确；由右图及 g[f(x)]=0 得)()(0f，，由左图知方程 g[f(x)]=0 有且仅有一个解，故(2) 错误；由左图及 f[f(x)]=0 得]2[)(1axf，，]02[)(，axf， 2)(axf，又由左图得到方程 f[f(x)]=0 最多有三个解，故(3) 错误；由右图及 g[g(x)]=0 得)()(0g，，由右图知方程 g[g(x)]=0 有且仅有一个解，即(4)正确，所以应选择 B8． （2008·惠州调研）若函数32()fxx的一个正数零点附近的函数值用二分法计算。