
概率的公理化定义及概率的加法公式.ppt
21页§1.3 概率的公理化定义及概率的加法公式 1一、概率的公理化定义性大小,记为 上所有事件组成的集合.事件 设 是某个随机试验的样本空间,为 发生的可能是事件A的固有属性,需要强调的是,的固有属性一样.它随着事件A的确定而确定, 就像“质量”是物体一旦事件A给定了, 我们知道不知道它是多少,能不能计算它,那是就确定了.至于技术问题,属于另一回事.2是一个映射从对应关系来说, (函数就是一种特殊的映射).熟知,只有当定义域和对应法则确定之后, 一个映射才算确定了.在这里,映射P的定义域 试问映射P的对应法则是什么? 是映射P没有通常的函数解析式, 1933年前苏联数学家柯尔莫哥洛夫 解决了映射P的对应法则问题,这在 概率论发展史具有重大意义.柯尔莫哥洛夫(1903~1987) 3映射P的对应法则由下面三条公理确定, 这就是我们通常所说的概率的公理化定义.概率:上所有事件组成的集合,为 设某个随机试验的样本空间为 称满足下列三条 公理的称满足下列三条公理的映射为 1º非负性 若 则 2º正则性4简而言之,概率是以 加的正则的非负函数.为定义域的可列可3º可列可加性 若 是一列两两互不相则 容的事件,即 从现在开始,我们称 其中的“P”是英文单词“probability”的首 写字母,表示“概率”的意思.为事件A的概率.5在概率论发展的历史上,有许多关于概率 的定义,其中包括在下一节的概率的古典定义 和概率的几何定义,这些定义各适合一类随机 现象.概率的公理化定义既概括了历史上几种 概率定义中的共同特性,又避免了各自的局限 性和含混之处,不管什么随机现象,只有满足 定义中的三条公理,才能说它是概率.概率的公理化体系迅速获得举世公认,是 概率论发展史上的一个里程碑.有了这个公理 化定义后,概率论得到很快的发展.6二、概率的基本性质可列可加性公理☎由此可得 证性质1.1 7证可列可加性公理性质1.1 性质1.2 (概率的有限可加性) 若 两两互不相容,即 则 8概率的有限可加性 ☎当直接计算一个事件的概率难于实现时,可 以通过计算其对立事件的概率来完成,这种“绕 圈子”的方式在概率计算问题中经常被采用. 性质1.3 (对立事件的概率公式) 对任何事件A,有 证 注意,A与互不相容,且9概率的有限可加性 移项得所需结论.性质1.4 (真差概率公式) 若 则 证 当时,A与B-A互不相容,10由真差的概率公式可得下面三条性质: 性质1.7 (概率的减法公式) 对任意两 个事件A和B,有 性质1.6 对任意事件A,有 性质1.5(概率的单调性) 若 则 11解 由概率的单调性, 同理,把上面两者综合起来,得试问:在什么条件下取到最大值,最大值是多少? 例1.4 设A和B是两个事件,12可见,当时上述不等式中的"="号成立,此时取到它的最大值,最大值是0.6.另外,当时,上述不等式中的也是取到它的最大值0.6的一个充分条件.“=”号也成立,所以13三、概率的加法公式证 定理1.1 (关于两个事件的概率的加法公式) 对任意两个事件A和B,有所以 14例1.5 由长期统计资料得知,某一地区在 4月份每天下雨的概率为4/15,刮风的概率为 7/15,既刮风又下雨的概率为1/10,求4月份 的任一天下雨或刮风至少有一种发生的概率. 从而,由概率的加法公式得所求概率为 解 在4月份中任取一天,令A={下雨},B={刮风},则15解 试问:在什么条件下取到最小值,最小值是多少? 例1.6 设A和B是两个事件,可见,当时,上述不等式取到它的中的"="号成立,此时 最小值,最小值是0.4. 16注意,并不意味着 当然,若值0.4.也取到它的最小类似地,我们可以证明下面两个定理. 17定理1.2 (关于三个事件的概率的加法公式 ) 对任意三个事件A,B,C 有18定理1.3 (概率的一般加法公式) 对任意 个事件 有 我们也称这个公式为“多除少补原理”. 19解 问题归结于求例1.7 设 个发生的概率.求事件A,B,C中至少有一20由概率的加法公式得所求概率为 21。












