有限制条件排列、组合问题解法.docx

有限制条件排列、组合问题解法有限制条件的排列、组合问题是排列、组合题目中 较难的一类限制条件越多问题越复杂在解这一类问题时, 应首先根据限制条件进行分类或分步，然后在每一类或每一 步中再进行分步，联合运用加法原理和乘法原理进行计算例1：由数字1、2、3、4、5、6可以组成多少个无重复 数字的(1) 自然数？(2) 比213456大的自然数？(3) 首位数是2的四位数？(4) 是5的倍数的四位数？解：(1)可组成无重复数字的自然数为A16+A26+A36+A46+A56+A66=6+30+120+360+720+720=1956 (个)2) 方法一(直接法)，因为213456是首位数为2的 六位数中最小的一个，故首位数可选2、3、4、5、6中的一 个，即有A15种，其余位数由剩余的5个数全排，但213456 不符合要求，故满足条件的自然数有：A15・A55-1=599(个)方法二(间接法)，所有的六位数有A66个，而不符合 条件的六位数是首位为1的六位数有A55个及213456本身, 故有：A66-A55-1=599 （个）3） 首位数是2的四位数，因首位数确定后，其余三 个位置有A35种排法，故满足条件的四位数有A35=60 （个）。

4） 是5的倍数的四位数，个位数巳确定，必须是5, 其余三位置有A35种排法，故满足条件的四位数有A35=60（个）例2：有4名男生，3名女生排成一行，按下列情况， 问各有多少种不同排法？（1） 甲必须站在某一固定位置；（2） 甲必须不站在两端；（3） 甲必须站在中间，乙必须站在甲的旁边；（4） 甲乙必须相邻；（5） 男、女生各排在一起；（6） 女生不能相邻排解：（1）因甲只能站在某一固定位置，其余6人在剩下 的位置排列有A66种排法，故满足要求的不同排法有： A66=720 （种）2）方法一（元素分析法）；因甲不站在两端，故甲有 5个位置，有A15种不同排法，甲在某一位置站好后，其余 位置由其余6人排，有A66种排法，故满足要求的不同排法 有 A15 • A66=3600 （种）方法二（位置分析法）：甲不站在两端，故两端可由其 余6人中选出两人站好，而余的位置可由包括甲在内的5人 排列，故满足条件的不同排列数为A26・A55=3600 （种）方法三（间接法）：①先不考虑限制条件，7人全排有 A77种排法;②考虑不符合限制条件的排法，即甲站在两端的排法有 A12・A66种排法;因此，满足限制条件的排法有A77-A12 • A66=3600（种）。

注：①一题多解是活跃思维、掌握多种解题技巧，检验 结果的重要手段②较复杂的排列、组合问题往往对选取的元素加以限 制，这类问题的解法是抓住题目的限制条件，以正反两方面 进行分析，运用不同的方法求解，有时间接解法比直接解法 简洁3） 元素分析法：甲站在中间位置，乙必须站在甲的 旁边，则乙有两个位置可站，有A12种站法，乙站好后，其 余5人有A55种站法，故满足条件的不同站法有A12 • A55=240 （种）位置分析法：甲站在中间位置，与中间位置相邻的两个 位置可由乙与其余5人中的1人去站，有A15A22 （种），相 邻两个位置站好后，余下的四个位置其余4人站有A44种站 法，故满足条件的不同站法有：A15 - A25 - A44=240 （种）4） 方法一：甲乙相邻有A22种排法，甲乙作为一个 整体（新元素）再与其余5人排成一行，相当于6个元素排 列，有A66种站法，故满足条件的不同站法有A66 • A22=1440 （种）方法二（插空法）：先不管乙，将其余6人排好有A66 种排法，然后将乙插入甲的左或右面的空间中，故共有A66・ A12=1440 （种）5） 男生连排在一起有A44种排法，女生连排在一起 有A33种排法，又男，女生作为两个整体有A22种排法，故 有A44 • A33 • A22=288种不同排法。

6） 插空法：先将男生排成一行有A44种排法，再将 女生插入男生之间或两头有A35种排法，故满足条件的不同 站法有 A44 • A35=1440 （种）一般来说，插空法是先将一部分较多的元素排好，再将 另一部分较少元素按限制条件插入空间中例3：平面上有9条直线，其中（1） 有4条互相平行，其余的没有任何两条平行，也 没有任何三条共点，可构成多少个三角形？（2） 有四条共点，其余的没有任何三条共点，也没有 任何两条平行，可构成多少个三角形？解：（1）方法一（直接法）：从4条平行线中取一条， 从其余5条直线中取两条，可构成C14・C25个三角形；从 其余五条中取三条，可构成C35个三角形，故共可构成三角 形 C14 • C25+C35=50 （个）方法二（间接法）：从9条直线中任取三条有C39种取 法，但其中不能构成三角形的是从互相平行的4条中取三条 有C34种取法和从4条平行线中取二条、从其余5条中取一 条有C24・C15种取法，故可构成三角形有C39-C34-C24 • C15=50 （个）2）方法一（直接法）：从四条共点的直线中取一条， 从其余5条中取2条构成C14 • C25个三角形，从4条共点 的直线中取2条，从其余的5条中取1条有C24 • C15个三 角形，从其余5条中取3条有C35个三角形，故可构成三角 形 C14 • C25+C24 • C15+C35=80 （个）。

方法二（间接解法）：从9条中任取3条有C39种取法, 但不能构成三角形的是从共点的4条中取3条有C34种，故 构成三角形有C39-C34=80 （个）不难看出直接法是从满足题目里的限制条件出发来分 类，然后把每一类再分步，运用加法原理和乘法原理进行解 题的应该指出的是在分类时要注意以下三点：第一、各类之间应当没有互相重复的情况；第二、每一类都必须满足题目的限制条件；第三、不能遗漏某些满足题目条件的情况间接法是从不考虑题目里的限制条件出发，即在没有限 制条件的情况下，找出所有的排列（或组合）的种数，而这 些种数包括满足限制条件的和不满足限制条件的两类从所 有的排列（或组合）的种数里减去不满足限制条件的一类种 数，就得到满足限制条件的排列（或组合）的种数例4：从1、2、3、4、5、6、7、8、9九个数字中，任 取两个作对数的底数和真数，可得多少个不同的对数值？解：分两步，第一步选底数，第二步选真数因1不能 为底数，只能从余下的八个数字中任取一个为C18种，第二 步再选真数，只能从选底数余下的七个数字加上1共八个数 字中任选一个，故有C18种，共得C18・C18=64个对数而 这些对数中，1当真数时有8个，这时对数的值都为0,故 应扣去七个，另外还有2为底4为真数、3为底9为真数两 个值一样，2为底3为真数、4为底9为真数时对数值一样, 4为底2为真数与9为底3为真数时值一样；3为底2为真 数与9为底4为真数时值一样，故应扣去4种，因此可得 64-11=53个不同的对数值。

排列、组合的解题方法较独特，形式较多，有时其中的 条件比较隐晦，答数又较大，需要有较强的分析能力，因此, 深刻地理解概念，掌握排列、组合的基本原理和解法尤为重 要。