空间向量与空间角.doc

空间向量与空间角一、 知识与方法：（一）空间向量1、向量共线定理：方向相同或者相反的非零向量叫做平行向量（也叫共线向量），向量与非零向量共线的充要条件是：有且只有一个实数，使＝λ，（其中为非零向量）推论：如果为经过已知点且平行于已知非零向量的直线，那么对于任意一点，点在直线上的充要条件是：存在实数满足等式其中向量叫做直线的方向向量2、共面向量：在同一平面内或平行于的向量显然空间任意的两个向量都是共面向量3、共面向量定理：如果两个向量不共线，与向量共面的充要条件是存在实数 使由此推出：空间一点在平面内的充分必要条件是存在有序实数对，使①，或对空间任一点，有 ②或，且 ③4、空间向量基本定理：如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组，使若三个向量不共面，就称为空间的一个基底，叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底5、运用向量判定线、面平行的方法（1）两条不重合直线平行的判定：；（2）直线与平面平行的判定：① 设平面的法向量为，则//；② 设是平面的一组基底，则；（3）两个平面平行：设不重合的平面的法向量分别为，则① ； ② ； ③ 6、运用向量判定线、面垂直的方法（1）两条直线垂直的判定：；（2）直线与平面垂直的判定：①设平面的法向量为，则； （3）平面的法向量分别为，则。

7、平面的法向量：若直线，则直线的方向向量叫做平面的法向量二）空间角1、异面直线所成的角：范围① 平移法：过空间上一点（注意取图形中的特殊点）作、，则与所成的锐角或直角就是异面直线所成的角；（书写时要分三步：作— 指— 求）② 证明，则与的夹角为；③ 向量法：求，（)，再确定异面直线与所成的角()2、直线与平面所成的角：范围① 定义法：找出直线在平面内的射影（射影怎么找），则锐角就是直线与平面所成的角；（书写时要分三步：作— 指— 求）② 证明(或)，则直线与平面所成的角（或）；③ 向量法：求与的法向量所成的角，则直线与平面所成的角为或，总之有3、二面角① 直接法：直接作出二面角的平面角（书写时要分三步：作— 指— 求）；② 向量法：设平面的法向量与平面的法向量所成的角为，则所求的二面角为 或（要依图形确定是取，还是取）二、例题例1、已知平行六面体中，，，求的长解： ， 所以，例2、已知四棱锥的底面为直角梯形，，底面，且，是的中点（1）证明：平面平面；（2）求异面直线与所成的角的余弦值；（3）求直线与平面所成角的正弦值；答案：（1）证明：平面，故平面平面；（2）解：建系，因（3）设为平面的一个法向量，则，即，令，则，故，则设直线与平面所成角为，则。

三、练习题：1、已知正方体中，点为上底面的中心，若，则_________2、已知为不共线的三点，平面，平面，且满足，则_________3、若为共线向量，则______4、正三棱柱，（1）若侧棱长与底面边长相等，则与侧面所成角的正弦等于____； （2）若侧棱长为，底面三角形的边长为，则与侧面所成的角是 ；5、已知分别是正方体的棱的中点，则截面与底面所成二面角的正弦值是_________6、正方体中，为的交点，则与所成的角的余弦值等于______7、从点引出的三条射线，每两条的夹角都是，则直线与平面所 A B C V E 成的角的余弦是__________8、如图，在底面边长为的正三棱锥中，是的中点，若的面积是，则侧棱与底面所成角的正切值为 9、长方体中，，点为上一点，且，点段上，，（1）求；（2）求 直线与平面所成的角的正切值；（3） 平面与底面所成角（锐角）的余弦值解： (1) 以A为原点，AB、AD、AA1所在直线为x轴，y轴，z 轴， 则D(0,8,0)，A1 (0，0，4)，M(5,2,4) ∵ ∴ (2) 由(1)知A1D⊥AM，又由已知A1D⊥AN，平面AMN，垂足为N。

因此AD与平面所成的角即是易知 (3) ∵平面ABCD，A1N平面AMN， ∴分别成为平面ABCD和平面AMN的法向量 设平面AMN与平面ABCD所成的角（锐角）为，则 10、如图，已知四棱锥的底面是直角梯形，，，侧面底面1）与是否相互垂直，请证明你的结论；（2）求二面角的正切值；（3）求证：平面⊥平面．解：（1）与相互垂直.证明如下：取的中点，连结，交于点；连结．∵，∴．又∵平面⊥平面，平面∩平面，∴⊥平面．在梯形中，可得，∴，即， ∴2）连结，由⊥平面，，可得，∴为二面角的平面角，设，则在中，3）取的中点，连结，由题意知：平面⊥平面，则由（1）可得平面，取的中点，连结，则由，，得四边形为平行四边形 ∴，∴⊥平面．∴平面⊥平面11、矩形中，，沿对角线将三角形向上折起，使点 移动到点，使点在底面上的射影在上1）求证：； （2）求二面角的正弦值； （3）求直线与平面D所成角的正弦值1）证明：∵四边形ABCD为矩形，∴BC⊥CD，DA⊥AB，∵A点移动到了P点， ∴PD⊥PB，又∵P点在平面BCD上的射影在CD上，∴过P点作PF⊥CD∴PF⊥面BCD，∴BC⊥面PCD，∴BC⊥PD，∴PD⊥面PBC， ∴PD⊥PC（2）解：∵PF⊥面BCD， ∴过点F作FE⊥BD，连结PE，∴∠PEF为二面角P—BD—C的平面角，∵PD⊥PC，∴△CPD为Rt△， 又∵在中，，∴PE＝. （3）解：过F点作FG⊥PE，由（2）可知FG⊥面PBD，连结GD ∴∠GDF为直线CD与平面PDB所成的角∵在中，，∴DF＝2 ∵在中，，，。