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东北大学线性代数书后答案第二章矩阵———————————————————————————————— 作者：———————————————————————————————— 日期： 第二章 矩 阵教学根本要求：1. 理解矩阵的概念.2. 了解根本矩阵〔单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、上〔下〕三角矩阵、对称矩阵等〕及其根本性质.3. 掌握矩阵的各种运算〔加法、数乘、乘法和转置运算〕及其运算规律.4. 理解逆矩阵的概念，掌握可逆矩阵的性质，掌握矩阵可逆的充要条件.5. 了解分块矩阵的概念.6. 了解矩阵的初等变换概念，了解初等矩阵，掌握用初等变换求逆矩阵的方法.7. 了解矩阵等价的概念.8. 理解矩阵秩的概念，掌握求秩的方法.线性代数是“矩阵〞的代数，矩阵有着广泛的应用.一、矩阵的概念及其运算 1. 矩阵的概念 长方形数表：称为矩阵，常记作或或等.行数一样、列数也一样的矩阵称为同型矩阵.元素全是实数的矩阵称为实矩阵.以下只讨论实矩阵.2. 根本矩阵行矩阵——只有一行的矩阵，即.列矩阵——只有一列的矩阵，即.零矩阵——元素皆为零的矩阵，即.负矩阵——.n阶矩阵(n阶方阵)——行数与列数相等的矩阵，简记作或. 3. 矩阵运算及运算规律(1)相等 (2)加法(减法) 设，那么 ().运算规律：； (交换律〕；； (结合律) (零矩阵的加法作用)(3)数乘 设，那么.运算规律：；(分配律)(4)乘法 设，那么，其中.运算规律：〔结合律〕〔结合律〕〔左分配律〕〔右分配律〕〔单位矩阵的乘法作用〕 (零矩阵的乘法作用) 其中与皆为正整数. (方阵的幂)注意：乘法没有交换律、幂零律和消去律.例如，；；. (5)转置 ，.A为对称矩阵，即A=AT；A为反对称矩阵，即A=-AT.运算性质：， ，， .4. 矩阵应用设.(1)矩阵表示线性映射 .(2)矩阵表示线性方程组 .二、逆矩阵(P36) 逆矩阵在矩阵理论和应用中起着重要作用.1. 方阵的行列式(P36)设，那么行列式称为A的行列式，记作detA或.运算性质：设A,B均为n阶方阵，那么，，.(证明见第一章例1.7)例2.1 (1)设，计算.(2)设为3阶矩阵，且，求.(3)设四阶矩阵，且|A|=2, |B| =3，求|A +B|.例2.2 设矩阵，矩阵满足，求. 2. 伴随矩阵(P37)由方阵的行列式的每一个元素的代数余子式构成的矩阵称为的伴随矩阵，记作.事实上，.运算性质：， ， ，， ， .例2.3 (1)设，求.(2)设，求.解 总结：.3. 逆矩阵设A为n阶方阵，假设存在矩阵B使AB=BA=E，那么称矩阵A是可逆矩阵(或可逆的)，称为的逆矩阵，记为(读作的逆)；否那么，称是不可逆矩阵(或不可逆的).可逆矩阵又叫非奇异矩阵，不可逆矩阵又叫奇异矩阵.性质：(1)逆矩阵是惟一的.(2)矩阵A可逆的充分必要条件是detA≠0.且当detA≠0时，A-1=(1/detA) A*.推论 设A是方阵，假设存在矩阵B使AB=E〔或BA=E〕，那么A可逆，且A-1=B.(3)假设可逆，数，那么皆可逆，且，，，，.规定：假设A可逆，那么A0 =E，A-k=( A-1) k=(A k) -1，k为整数. 4. 矩阵可逆的判定(1)矩阵A可逆的充分必要条件是detA≠0.(2)矩阵A可逆的充分必要条件是存在矩阵B使AB=E〔或BA=E〕. 5. 逆矩阵的计算(1)伴随矩阵法 当detA≠0时，A-1=(1/detA) A*.(2)初等行变换法 (A | B) → (E | A-1). (原理见下面的四)(3)定义法 令AX=E，求出X，即为A-1.例2.4 .(例2.7 P38) 设矩阵满足，证明矩阵可逆.证 因为，所以，.故可逆，且.以后还会陆续给出新的判定矩阵可逆的条件，并给出计算逆矩阵的常用方法——初等变换法.三、分块矩阵1. 定义用横线与竖线将矩阵分成假设干“小矩阵〞块，称为子块或子矩阵，以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵.2. 分块矩阵的运算相等、加法、数乘、乘法、转置、逆.注意：(1)做分块矩阵相等和加法运算，要求矩阵同型且分块形式一样；(2)做分块矩阵乘法运算时，前面矩阵的列数不仅要与后面矩阵的行数相等，且前面矩阵的列块分法要与后面矩阵的行块分法一样；(3)分块矩阵的转置运算须进展“两转〞.(4)用拟矩阵定义求分块矩阵的逆.3. 分块对角矩阵对角线上的子块均是方阵，而其它子块皆为零矩阵的分块矩阵称为分块对角阵.即 (其中是方阵).运算性质：(1) ；(2) 假设，那么.(3) 设是分块完全一致的分块对角阵，那么.四、矩阵的初等变换 1. 矩阵的初等变换以下三种变换：(1)交换矩阵的两行；(2)矩阵的某行元素乘以同一个不为零的数；(3)矩阵的某行元素乘以同一个数后加到另一行对应元素上，分别称为矩阵的第一、二、三种初等行变换.假设把“行〞换成“列〞矩阵的初等变换.初等变换是可逆变换.如果矩阵A可以经过有限次的初等变换化为矩阵B，那么称A与B等价，记为A～B.矩阵等价的性质：(1)反身性：A～A；(2)对称性：假设A～B，那么B～A；(3)传递性：假设A～B，B～C，那么A～C.2. 行阶梯形矩阵和行最简形矩阵(P45-46)行阶梯形矩阵和行最简形矩阵在矩阵秩的理论和线性方程组的求解理论中有着重要的作用.每一行的第一个不为零元素的下方及左下方的所有元素都是0的矩阵称为行阶梯形矩阵.第i个元素不为零但其以下元素全为零的列称为第i阶梯列.假设第i阶梯列的第i个元素为1其余元素都为0，那么称为第i标准列.各阶梯中都有标准列的行阶梯形矩阵称为行最简形矩阵.例如，，是行阶梯形矩阵.，是行最简形矩阵.定理 P46) 任何矩阵都可以经过初等行变换化为行阶梯形矩阵和行最简形矩阵.  例2.6(例2.10 P46) 用初等行变换把矩阵变化为行阶梯形矩阵和行最简形矩阵.(定理2.5 P46) 任意矩阵A都与形为的矩阵等价，其中为阶单位矩阵(为A的秩，由A唯一决定). 称为A的等价标准形.例如，的等价标准形为.矩阵的初等变换可以推广到分块矩阵上(P47).五、初等矩阵1. 初等矩阵初等矩阵——对单位矩阵作一次初等变换所得到的矩阵.初等矩阵有如下三种类型：——单位矩阵的第i, j两行(列)互换所得到的矩阵；——单位矩阵的第i行(列)乘以非零常数k所得到的矩阵；——单位矩阵的第j行(第i列)的k倍加到第i行(第j列)所得到的矩阵.(定理2.6 P49) 初等矩阵是可逆的，其逆矩阵是同类型的初等矩阵. .(定理2.6 P49) 对矩阵作一次初等行变换，等同于在的左侧乘以相应于该变换的阶初等行矩阵；对矩阵作一次初等列变换，等同于在的右侧乘以相应于该变换的阶初等列矩阵.该定理的数学语言为 () () ()例如，表示的变换过程为.例2.7 设A是3阶方阵，将A的第1列与第2列交换得B，再把B的第2列加到第3列得C，求满足AQ=C的可逆矩阵Q.解 ，即.所以. 定理(定理2.7 P49) 矩阵A，B等价的充分必要条件是存在有限个初等矩阵P1, P2,… ,Pl与Q1, Q2,…, Qt，使A=PlP2…P1BQ1Q2…Qt.定理(定理2.8 P49) 可逆矩阵的逆矩阵等于有限个初等矩阵的乘积.推论(推论 P50) 矩阵A，B等价的充分必要条件是存在可逆矩阵P，Q，使PAQ=B.2. 初等变换求逆矩阵设A可逆，那么存在，并且根据定理2.6，设，代入上式即得上式说明：如果对矩阵A做某些初等行变换，就对同阶的单位矩阵E做完全一样的初等行变换，那么当这些初等行变换把A变为E时，就会把E变为，即. 例2.8 试用初等变换法求矩阵 的逆矩阵.解 (1).. 初等矩阵及其性质，可以推广到分块矩阵上(P50-52).3. 逆矩阵的应用(1)利用逆矩阵解线性方程组..例2.9 解矩阵方程.解 因为，所以例2.10 解矩阵方程.解 .所以.(2)利用逆矩阵求线性映射的逆映射.例2.11 求线性映射的逆映射.解 由上例可知，，故所求逆映射为.类似地，初等矩阵及其性质也可以推广到分块矩阵上(P50).六、矩阵应用实例[实例2-1] 利用矩阵的根本运算解决实际问题[实例2-2] 人口迁移问题[实例2-3] 密码问题七、习题(P57)选择题： 1. 提示：|A|=2,|B|=3 显然，可以排除C、D，所以选B.2. 提示： 3. 选D.4. 选C.5. 选D.6. 提示：A2=O E–A2= E–O (E–A)(E+A)=E 选D.填空题： 2. 提示：A≠O，Aij+aij=0(i,j=1,2,3) A*=AT, |A|≠0 AAT=–AA*=–|A|E |A|2=–|A|3 |A|= –1 .3. 提示：B2004=(P-1AP)(P-1AP)…(P-1AP)=P-1A2004P A2=, A4=E B2004–2A2=P-1A2004P–2A2=P-1P–2A2=E–2A2=.4. 提示：A–3B=(–2α1, –2α2, –2α3, α–3β) |A–3B|=|–2α1, –2α2, –2α3, α–3β|=(–2)3|α1, α2, α3, α–3β| =–8(|α1, α2, α3, α|+|α1, α2, α3, –3β|)=–8(|A|–3|B|)= 565. 提示：令X=ei(i=1,2,…,n), 依次带入AX=O中，即可得A=O.解答题：1. 此题的意义：矩阵乘法不具有交换律，所以矩阵一般不具有数的平方差、立方差……等公式，但可交换矩阵是具有平方差、立方差……等公式的. 方阵与单位矩阵可交换.2.3. 提示： 4. 提示：假设，即，那么 设B=P-1AP，那么B=，5.(1)提示：分块对角阵 (2)提示：方法一 方法二 初等变换法 略.6. 提示：解矩阵方程 (E–A)X=B (E–A | B) → (E | A-1B)7. 证 ∵ ∴ 8. 证 设. 假设，那么，于是. 由于为实数矩阵，因此，。