微积分343相关变化率.doc

AOBO，微积分STYLE 3.4.3 相关变化率 若两个变量之间有某种关系，并且两个变量又是另外一个变量t的函数 ，并且若已知变化率，去推倒另外一个变量的变化率，我们称之为 相关变化率问题 解决相关变化率问题的步骤：1、利用几何或者物理等方面条件建立两个变量间的函数关系；2、等式的两边对时间t求微商；3、将已知的指定时刻t的相关值代入等式；4、由给定的条件求出相关变化率例1：一气球从离开观察员500米处离地面垂直上升，其速率为140米/秒当气球高度为500米时，观察员视线仰角的增加率是多少？ 解：设气球上升t秒后，高度为x，观察员仰角为 根据题意，则有：（步骤1）在等式的两边对时间求微商，则有步骤2）将已知的条件：，代入等式步骤3）求得=步骤4）故，观察员视线仰角的增加率为7/50(弧度/秒）孩子，简单吧微积分就这样，好好学吧，加油哦！对应习题：一长为5米的梯子斜靠在墙上，如果梯子下端以0.5米/秒的速率滑离墙壁，试求：（1） 梯子下端离墙3米时，梯子上端向下滑落的速度；（2） 梯子与墙的夹角为时，该夹角的增加率。

例2：河水以的体流量流入水库中，水库的形状是长为4000米，顶角为的水槽，问水深为20米时，水面每个小时上升几米？解：设水面高为h,水库内的水的体积为V，时间为t亲，注意前后时间单位哦！由体积公式得，由题意得到即，同时对方程两边求微商，得到，将h=20代入其中，得到 对应习题：注入水深8米，上顶直径8米的正圆锥形容器中，其速率为每分钟4立方米，当水深为5米时，其表面上升的速率是多少？ 小结习题1. 在中午十二点整甲船以6公里/小时的速率向东行驶，乙船在甲船的北面16公里，以8公里/小时的速率向南行驶，问下午一点整两船距离的变化速率是多少？2. 一块石头投入水中使平静的湖面产生波纹若最外圈的波纹向外传播的速度是60厘米/秒，求5秒时波纹围成的面积的增加率 习题参考答案例1对应习题 解：设梯子的上下端距离墙角为x,y.（1） 由题意得到，同时对方程两边求微商，得到。

由题意可得x=4,y=3,=0.5代入其中，得到=3/8 故，梯子上端向下滑落的速度为3/8米每秒2） 设梯子上端与墙壁的夹角为，根据题意有：同时对方程两边求微商，得到由已知得到，，代入其中，得到（弧度/秒）例2对应习题 解：设时间为t,水面高度为h，容器内的水的体积为V由题意得到,而且V=4t.则有对方程两边同时求微商，得到由已知得到h=5,代入其中，得到= 故，当水深5米时，其表面的上升速率是米/分钟 小结习题1. 解：如图所示，设甲，乙离路口距离为x、y，甲乙之间的距离为h由题意得到对方程的两边同时求微商，得到 由题意得到，代入得到=-2.8km/h.故，下午一点整时两车的距离的变化率是-2.8km/h.2. 解：设时间为t，波纹围成的面积为S根据题意，有,，得到：对方程的两边同时求微商，得到：当，=36000. 故，5秒时，波纹围成的面积的变化率是36000 。