考研数学高数题型分析（4）.doc

考研数学高数题型分析（4）方*程根的个数问题（一）纵观考研数学多年來的考试大纲和考试真题试卷，总体上讲变化不大每年的考试范围和知识 点基木相同或相近，考试题型的变化幅度也不是很大，其中有一些重要题型是年年考或经常考，如 果考生能完全掌握这些重要题型的解题思路和方法，并能熟练地解答这些题型，则对于顺利地通过 考研数学考试将有极大帮助为了帮助备位考生学会并提高解答数学重要题型的水平，文部老师许 对丿力年考研数学中的重要题熨进行深入解剖，分析提炼出备种常考重要题熨及方法，供考生们参考 下面主要分析高等数学中关于方程根的个数问题这类重要题熨及解题方法题型：方程根的个数问题（一）方程/（兀）=0的根，也就是函数）u /（X）的零点，有关方程根的问题一般可以利用函数的有关 理论加以分析和解决主要的分析解决工具包括：1） 函数零点定理：若函数/（朗在［d,上连续，且/«）•/（/” <0,则至少存在一点cw（dE）, 使/（c） = 0（C称为函数的零点）2） 函数单调性:若函数/（兀）在［a,b］上连续且单调（单调增加或单调减少）,则：1 ）当f（a）・f（b） < 0 时，/（兀）在［d,切上有唯一零点；2）当f（a）-f（b）> 0时,/（力在［。

方］上没有零点3） 罗尔中值定理：若函数/（幻在［么切上连续，在@,方）上可导，且f（a）=f（b）,则至少存在一点 口讪,使广@） = 0一般求解步骤：1） 先看有无明显的实根；2） 引入相应函数，写出定义域，判断端点函数值和特殊点函数值的正负；3）求导数，找出驻点和单调区间，讨论在各单调区间上的实根个数典型例题 例1.求方程arctanx-x = O不同实根的个数，其中k为参数(2011年考研数学一第17题)解析：显然兀=0 是一个实根令/(兀)=k arctan x - x, x g (-00,4-00),则 /(0)=0 , lim /(x) = +00 , lim /(x) = -oo, f\x) = — <-l ；若 k 1,贝 f(x) = 0 O x = 土Jk -1 ,当 x e y)k-\)时，f\x) > 0 , /(x)单调增加,而 /(o)=o ,所以 /(-VT^T) < 0, /(VT^T)> 0 ；当兀 w(—oo,—QT)u(QT,+oo)时， 广⑴ v0, /(x)单调减少；由此得：/(X)在区间(一00, — 丁£ 一1),(一丁£ 一1, -l),(Jk 一1,+00)上各有一个零点，即原方程在这3个区间上备有一个实根。

综上得：当£51时，方程只有一个实根；当比>1时，方程有3个不同实根例2.设有方程y?+/u*-l = 0,其中乃为正整数，证明此方程存在唯一正实根益，并证明当a〉1时,8级数工巧收敛 (2004年考研数学一第18题)/?=1解析：设f(x) = xn+nx-\, W/(0) = -l<0,/(l) = 7z>0,由零点定理知/(X)在(0,1)上至少 有一个零点而广= +n〉0(x>0),故/(x)在(0, +8)上单调增加，因此，/(工)在(0 , +oo)上只存在唯 个零点 ％”，且 o< <1 ,由 f(xj = xll" +nxn -1=0,得1 8 1nxn-\1时，级数工匚收敛，由正项级数的比较审敛法知， n n=\ Hg I―收敛注：n次方稈有n个根，因此方程xn+nx-\= 0的负实根可能有很多个(可能还有复数根)上面就是考研数学Z高等数学中的方程根的个数问题这类重要题型及解题方法，供考生们参考 借鉴在以后的时间里，文都老师们还会陆续向考生们介绍其它常考重要题型及解题方法，希望各 位考生留意杳看最后预祝备位考生在2015考研中取得佳绩。