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研究生入学考试试题线性代数部分.pdf

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    • 全国硕士研究生入学考试试题(线性代数部分)全国硕士研究生入学考试试题(线性代数部分) 2003 年年 一、填空题: 1 . (数学 一 ) 从2R的 基1211,01αα⎛ ⎞⎛⎞==⎜ ⎟⎜⎟−⎝ ⎠⎝⎠到 基的 过 渡 矩 阵 为1211,12ββ⎛ ⎞⎛ ⎞==⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠23 12⎛⎞ ⎜⎟−−⎝⎠. 2. (数学二) 设α为 3 维列向量,Tα是α的转置. 若111 111111Tαα−⎛⎞ ⎜⎟= −−⎜⎟⎜⎟−⎝⎠, 则.3= =ααT3. (数学二)设三阶方阵,A B满足2A BABE−−=,其中为三阶单位矩阵,若,则E101 020201A⎛⎞ ⎜⎟=⎜⎟⎜⎟−⎝⎠21=B. 4. (数学三、四)设 n 维向量;为 n 阶单位矩阵,矩阵 ( ,0,,0, ) ,0Taaaα=L (C) 当时,向量组 I 必线性相关. rs2. (数学一)设有齐次线性方程组0Ax =和0Bx =,其中,A B均为m n×矩阵,现有 4 个命题: ① 若的解均是的解,则秩(A)秩(B); 0Ax =0Bx =≥ ② 若秩(A)秩(B) ,则≥0Ax =的解均是0Bx =的解; ③ 若与同解,则秩(A)=秩(B); 0Ax =0Bx = ④ 若秩(A)=秩(B),则与0Ax =0Bx =同解. 以上命题中正确的是 (A)①②. (B)①③ (C)②④. (D)③④ [B] 3. (数学三)设三阶矩阵abb Ababbba⎛⎞ ⎜⎟=⎜⎜⎟⎝⎠⎟0,若 A 的伴随矩阵的秩等于 1,则必有 (A)或ab=2ab+=. (B) ab=或2ab0+≠. (C)且ab≠2ab0+=. (D) ab≠且2ab0+≠. [C] 4. (数学三)设12,,,sα αLα均为 n 维向量,下列结论不正确的是 (A)若对于任意一组不全为零的数12,,,sk kkL,都有11220sskkkααα+++≠L,则12,,,sα αLα线性无关. (B)若12,,,sα αLα线性相关 ,则对于 任意一组 不全为零 的数12,,,sk kkL,有11220sskkkααα+++=L (C)12,,,sα αLα线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为 s. (D)12,,,sα αLα线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关. [B] 5. (数学四)设矩阵 001 010100B⎛⎞ ⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠已知 A 相似于 B,则秩(A-2E)与秩(A-E)之和等于 (A)2. (B)3. (C)4. (D)5. [C] 三、解答题: 1. (数学一)设矩阵1*322010 232 ,101 ,223001APBP A−⎛⎞⎛⎞ ⎜⎟⎜⎟===⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠2P,求BE+的特征值和特征向量,其中为 A 的伴随矩阵,*AE为 3 阶单位矩阵. 2. (数学一、二)已知平面上三条不同直线的方程分别为 123:23:23:23laxbyclbxcyalcxayb0,0,0++=++=++=试证这三条直线交于一点的充分必要条件为0.abc++= 3. (数学二)若矩阵220 82006Aa⎛⎞ ⎜⎟=⎜⎜⎟⎝⎠⎟相似于对角矩阵Λ,试确定常数的值;并求可逆矩阵P 使. a1P AP−= Λ4. (数学三)已知齐次线性方程组 1122331 122331 122331 12233()()()()nnnnnnnnab xa xa xa xa xab xa xa xa xa xab xa xa xa xa xab x+++++=⎧ ⎪+++++=⎪⎪+++++=⎨ ⎪ ⎪ +++++=⎪⎩LLLLLLLLLL L0000其中,试讨论和满足何种关系时, 10ni ia=≠∑12,,,na aaLb(I) 方程组仅有零解; (II) 方程组有非零解.在有非零解时,求此方程组得一个基础解系. 5. (数学三)设二次型 222 12312313(,,)222(0)Tf x xxX AXaxxxbx x b==+−+> 其中二次型的矩阵 A 的特征值之和为 1,特征值之积为-12. (I) 求的值; , a b(II) 利用正交变换将二次型f化为标准形,并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵. 6.(数学四) 设有向量组 (I) :和向量组 (II) : .试问:当为何值时,向量组(I)123(1,0,2) ,(1,1,3) ,(1, 1,2)TTaααα===−T+Ta123(1,2,3) ,(2,1,6) ,(2,1,4)TTaaβββ=+=+=+a与(II)等价?当为何值时,向量组(I)与(II)不等价? a7. (数学四)设矩阵可逆,向量是矩阵的一个特征向量,211 12111Aa⎛⎞ ⎜⎟=⎜⎜⎟⎝⎠⎟11bα⎛ ⎞ ⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠*Aλ是α对应的特征值,其中为 A 的伴随矩阵,试求和*A, a bλ的值. 2004 年年 一、填空题: 1. (数学一、二)设矩阵,矩阵 B 满足210 120001A⎛⎞ ⎜⎟=⎜⎜⎟⎝⎠⎟**2ABABAE=+,其中为 A 的伴随矩阵,是单位矩阵,则*AE1 9B =. 2. (数学三)二次型22 123122331(,,)()()()2f x xxxxxxxx=++−++的秩为2. 3 . ( 数 学 四 ) 设1010 100,001ABP AP−−⎛⎞ ⎜⎟==⎜⎟⎜⎟−⎝⎠, 其 中 P 为 三 阶 可 逆 矩 阵 , 则20042300 2030001BA⎛⎞ ⎜⎟−=⎜⎟⎜⎟−⎝⎠. 4. (数学四)设3 3()ijAa×=是实正交矩阵,且,则线性方程组的解是111,(1,0,0)Tab==Axb=(1,0,0)T. 二、选择题: 1. (数学一、二)设A是三阶矩阵,将 A 的第 1 列与 A 的第 2 列交换得 B,再把 B 的第 2 列 加到第 3 列得 C,则满足 AQ=C 的可逆矩阵 Q 为 010 (A) 100101⎛⎞ ⎜⎟ ⎜⎟⎜⎟⎝⎠[D] 010 (B) 101001⎛⎞ ⎜⎟ ⎜⎟⎜⎟⎝⎠010 (C) 100011⎛⎞ ⎜⎟ ⎜⎟⎜⎟⎝⎠011 (D) 100001⎛⎞ ⎜⎟ ⎜⎜⎟⎝⎠⎟2. (数学一、二)设,A B为满足0AB =的任意两个非零矩阵,则必有 (A) A 的列向量组线性相关,B 的行向量组线性相关. (B) A 的列向量组线性相关,B 的列向量组线性相关. (C) A 的行向量组线性相关,B 的行向量组线性相关. (D) A 的行向量组线性相关,B 的列向量组线性相关. [A] 3. (数学三、四)设 n 阶矩阵 A 与 B 等价,则必有 (A) 当(0Aa a=≠ )时,.Ba= (B) 当(0Aa a=≠ )时,.Ba= − (C) 当0A ≠时,0.B = (D) 当0A =时,0.B = [D] 4. (数学三) 设 n 阶矩阵 A 的伴随矩阵*0A≠, 若1234,,,ξ ξ ξ ξ是非齐次线性方程组的互不相等的解,则对应的齐次线性方程组Axb=0Ax =的基础解系 (A) 不存在. (B) 仅含一个非零解向量. (C) 含有两个线性无关的解向量. (D) 含有三个线性无关的解向量. [B] 三、解答题: 1. (数学一)设有已知齐次线性方程组 121212(1)0,2(2)0,(2()0,nnna xxxxa xxnnxnxna x++++=⎧ ⎪++++=⎪≥⎨ ⎪ ⎪++++=⎩LLLLLLLLL L) 试问 a 取何值时,该方程组有非零解,并求出其通解. 2. (数学一、二)设矩阵123 14315Aa−⎛⎞ ⎜⎟= −−⎜⎜⎟⎝⎠⎟,,,的特征方程有一个二重根,求 a 的值,并讨论A 是否可相似对角化. 3. (数学二)设有已知齐次线性方程组 1234123412341234(1)0,2(2)22033(3)20444(4)0a xxxxxa xxxxxa xxxxxa x++++=⎧ ⎪++++=⎪⎨++++=⎪ ⎪++++=⎩试问 a 取何值时,该方程组有非零解,并求出其通解. 4. (数学三)设 123(1,2,0) ,(1,2, 3 ) ,( 1,2,2 ) ,(1,3, 3)TTTaababαααβ==+−= − − −+=T−, 试讨论当为何值时, , a b(I)β不能由123,,α α α线性表示; (II)β可由123,,α α α惟一地线性表示,并求出表示式; (III)β可由123,,α α α线性表示,但表示式不惟一,并求出表示式. 5. (数学三)设 n 阶矩阵 1 11bb bbAbb⎛⎞ ⎜⎟ ⎜⎟=⎜⎟ ⎜⎟⎝⎠L L MMM L(I)求 A 的特征值和特征向量; (II)求可逆矩阵 P,使得为对角矩阵. 1P AP−6. (数学四)设线性方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=+++++=+++=+++, 14)4()2(3, 022, 0432143214321xxxxxxxxxxxxμλμλ已知是该方程组的一个解,试求 (1, 1,1, 1)T−−(I) 方程组的全部解,并用对应的齐次线性方程组的基础解系表示全部解; (II) 该方程组满足23xx=的全部解. 7. (数学四)设三阶实对称矩阵 A 的秩为 2,126λλ==是 A 的二重特征值.若都是 A 的属于特征值 6 的特征向量, 123(1,1,0) ,(2,1,1) ,( 1,2, 3)TTααα=== −T−(I)求 A 的另一特征值和对应的特征向量; (II)求矩阵 A. 2005 年 2005 年 一、填空题: 1. (数学一、二、四)设123,,α α α均为 3 维列向量,记矩阵 123123123123(,,),(,24,39)ABα α αααα ααα ααα==++++++ 如果1A =,那么2 .B = 2. (数学三、四)设行向量组(线性相关,且,则2,1,1,1),(2,1, , ),(3,2,1, ),(4,3,2,1)a aa1a ≠1 2a =. 二、选择题: 1. (数学一、二、三)设12,λ λ是矩阵 A 的两个不同的特征值,对应的特征向量分别为12,α α,则11, ()A2ααα+线性无关的充分必要条件是 (A)10λ≠. (B)20λ≠. (C)10λ=. (D)20λ=. [B] 2. (数学一、二)设 A 为阶可逆矩阵,交换 A 的第 1 行与第 2 行得矩阵 B,分别为(2n n≥)**,A B,A B的伴随矩阵,则 (A) 交换的第 1 列与第 2 列得*A*B. (B) 交换的第 1 行与第 2 行得*A*B. (C) 交换的第 1 列与第 2 列得*A*B−. (D) 交换的第 1 行与第 2 行得*A*B−. [C] 3. (数学三)设矩阵满足3 3()ijAa×=*TAA=,其中为*AA的伴随矩阵,为TAA的转置矩阵,若为三个相等的正数,则为 111213,,aaa11a3(A).3(B ) 3.1(C).3(D)3. [A] 4.(数学四) 设 A,B,C 均为 n 阶矩阵, E 为 n 阶单位矩阵, 若,BEAB CACA=+=+, 则BC−为 (A).E (B).。

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