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第五讲 中值定理的证明技巧一、 考试要求1、 理解闭区间上连续函数的性质（最大值、最小值定理，有界性定理，介值定理），并会应用这些性质2、 理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理、泰勒定理，了解并会用柯西中值定理掌握这四个定理的简单应用（经济）3、 了解定积分中值定理 二、 内容提要1、 介值定理（根的存在性定理） （1）介值定理 在闭区间上连续的函数必取得介于最大值 M 与最小值m之间的任何值. （2）零点定理设f(x)在[a、b]连续，且f(a)f(b)＜0，则至少存在一点,c(a、b)，使得f(c)=02、 罗尔定理若函数满足：（1）在上连续（2）在内可导（3）则一定存在使得3、 拉格朗日中值定理若函数满足：（1）在上连续（2）在内可导则一定存在，使得4、 柯西中值定理若函数满足:（1）在上连续（2）在内可导（3）则至少有一点使得5、 泰勒公式如果函数在含有的某个开区间内具有直到阶导数, 则当在内时, 可以表示为的一个次多项式与一个余项之和，即其中 (介于与之间).在需要用到泰勒公式时，必须要搞清楚三点：1．展开的基点；2．展开的阶数；3．余项的形式．其中余项的形式，一般在求极限时用的是带皮亚诺余项的泰勒公式，在证明不等式时用的是带拉格朗日余项的泰勒公式．而基点和阶数，要根据具体的问题来确定．6、 积分中值定理 若f(x)在[a、b]上连续，则至少存在一点c∈[a、b]，使得f(x)dx=f(c)(b-a)三、 典型题型与例题题型一 、与连续函数相关的问题（证明存在使或方程f(x)=0有根）方法：大多用介值定理 f(x)满足：在[a,b]上连续；f(a)f(b)<0.思路：1）直接法 2）间接法或辅助函数法例1、设在[a,b]上连续，，证明存在 ，使得 例2、设在[a,b]上连续、单调递增，且，证明存在 使得 *例3、设在[a,b]上连续且，证明存在使得 。

例4、设在[a,b]上连续，证明存在使得 例5、设f(x)在[0,1]上连续，且f(x)<1. 证明：在(0,1)内有且仅有一个实根例6、设实数满足关系式，证明方程 ，在内至少有一实根 例7、（0234，6分） 设函数f(x),g(x)在[a,b]上连续，且g(x)>0,利用闭区间上连续函数的性质，证明存在一点使得 题型二、 验证满足某中值定理例8、验证函数，在[0，2]上满足拉格朗日中值定理，并求满足定理的题型三、 证明存在, 使(n=1,2,…) 方法：1、用费马定理 2、用罗尔定理（或多次用罗尔定理） 3、用泰勒公式 思路：可考虑函数例9、设在[a,b]上可导且，证明至少存在一个使得例10、设在[0,3]上连续，在（0,3）内可导，且，证明存在一个使得*例11、设在[0,2]上连续，在（0，2）内具有二阶导数且，证明存在使得题型四、 证明存在, 使方法：1）用罗尔定理（原函数法，常微分方程法），2）直接用拉格朗日中值定理和柯西中值定理（要求a,b分离）思路：1）换为2）恒等变形，便于积分3）积分或解微分方程4）分离常数：即为辅助函数(1) 用罗尔定理 1) 原函数法: 步骤：将x换为x; 恒等变形，便于积分； 求原函数，取c=0； 移项，得F(x).例12、设在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且，求证存在使得例13、（0134）设f(x)在[0,1]上连续，(0,1)内可导，且 证明：在(0,1)内至少存在一点x, 使 例14、 设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f(a)f(b)>0,f(a) g(x)在[a,b]上连续，试证对.*例15、 设f(x)在[0，1]上连续，在（0，1）内一阶可导，且.试证：使得 .. 2) 常微分方程法: 适用: 步骤： 解方程 令 例16、设在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且，证明存在使得*例17、设f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且 f(0)=0, f(1)=1, 证明：对任意实数 , 使得(2) 直接用拉格朗日或柯西中值定理例18、设在上连续，在内可导，求证存在，使得 例19、设在上连续，在内可导，求证存在，使得 例20、设在上连续，在内可导，求证存在，使得 例21、设在上连续，在内可导，求证存在，使得 题型5、 含有(或更高阶导数)的介值问题方法：1）原函数法（对仍用微分中值定理:罗尔定理，拉格朗日，柯西中值定理）；2）泰勒公式例22、 设f(x)在[0,1]上二阶可导，且f(0)=f(1), 试证至少存在一个, 使 例23、（012，8分）设在上具有二阶连续导数，f(0)=0(1) 写出f(x)的带拉氏余项的一阶麦克劳林公式。

2) 证明在上至少存在一个使得 例24、 设f(x)在[－1, 1]上具有三阶连续导数，且f(-1)=0, f(1)=1, f¢(0)=0, 证明: 在(-1,1)内存在一点x，使得 . 例25、（103）设函数f (x)在闭区间[0, 3]上连续, 在开区间(0, 3)内二阶可导, 且2 f (0)== f (2)+ f (3). (I) 证明存在 h Î(0, 2), 使得f(h)= f (0) ; (II) 证明存在 x Î(0, 3), 使得 f¢²(x)=0 ..题型6、 双介值问题 方法：1）同时两次用拉格朗日中值定理或柯西中值定理 2）用一次后再用一次中值定理例26、设在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，，求证存在使得例27、（051，12分）已知函数在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且证明：（1）存在，使得 （2）存在两个不同的点使得题型7、 综合题*例29、（011，7分） 设函数在（-1,1）内具有二阶连续导数，且，试证（1） 对于(-1,1)内的任意,存在唯一的使得 成立（2）例29、试证明若在[a,b]上存在二阶导数，且，则存在使得*例30、设e