人教A版高中数学第五章第5节《三角恒等变换》解答题提升训练 (16)(含答案解析).pdf

第五章第5节 三角恒等变换解答题提升训练(16)一、解答题(本大题共30小题，共 360.0分)1.已知函数f (%)=-2sin2%+V3sin2x+1(1)求/(%)的最小正周期;(2)求/在区间生扪上的单调增区间.2.在 ABC中，内角A,8,C 所 对 的 边 分 别 为 c 且 满 足 石 溪 小=盘.求 cos A；(2)若a=3,求力+c的最大值.3.已知函数f (%)=2sin2(x 4-)-V3cos2x-1,x G.(I)求/(x)的单调递增区间;(n)若不等式If(x)-7n|2 在久%上恒成立，求实数，的取值范围.B4.已知团4BC中，角 A,B,C 的对边分别为a,b,c,且2=巴1.c sinC(1)求角8 的大小；(2)若b=4,团ABC的 面积为了，求团力BC的周长.5.已知P(3,4)为角a 终边上的一点，向量方=sin2x,|cos2x),b=(sina,cosa).(I)ta n(2 a +)fl;(口)若f(x)=a-b +3,求函数/(x)的单调递减区间及其图象的对称中心.6 .已知函数f(%)=2sinxcosx+2cos2x(x E /?).(1)求f (%)的最小正周期，并求f (%)的最小值及取得最小值时x的集合；(2)令g(x)=r a +-l,若g(x)a 2 对于x e 七 亭 恒 成 立，求实数。

的取值范围.7 .已知函数/(x)=s i n(2x+，)+s i n2x c os2x.(I )求/(%)的对称轴方程；(I I)若f(x)在-a,a 内有3 个单调区间，求正数a 的取值范围.8 .在4 4 B C 中，角 A、8、C的对边分别为a,b,c,已知向量记=(c os 苧,s i n为，元=(c os g s i n?),且满足际+同=V 3.(1)求角4 的大小；(2)若b +c =6a，试判断 ABC的形状.9.设函数/(x)=1 2 c os 2%4 g s i nx c os x -5.(1)求/(x)的最小正周期和值域.(2)在锐角团ABC中，角4、B、C的对边长分别为a、b,c,若/(A)=5,a=娼,求团力BC周长的取值范围.1 0.如图，在斜 ABC中，角A、B、C所对的边分别为、b、c,BL-c +-a=V 2 +-ac,为边B C上一点，A D=V 5 3，85，D C=4.(1)求角3的大小;(2)求Z L 4D C 的面积.1 1 .已知函数/1(X)=b s i nx -2 c os 2：+1.(I )若f (a)=2 V 3/(a+)求tana的值；(口)若函数/(x)图象上所有点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的 倍得到函数g(x)的图象,求函数g(x)在 0,自上的值域.1 2 .已知0 a 0 0)的图象的相邻两条对称轴间的距离为TT.(1)求/(%)的解析式；(2)将函数 X)的图象上各点的横坐标缩短到原来的也再向右平移?个单位长度得到g(x)的图象,求g(x)的图象的对称中心.1 4.已知函数/(x)=s i n2x s i n2 x.(1)讨论f (x)在区间(0,兀)的单调性；(2)证明：|f(x)|4 格O(3)设n E N*,证 明:s i n2x s i n22 x s i n24x s i n22nx 90,y7sinB+sinA=2.(1)求角A的大小；(2)求cos(2B+匀 的值.2 0 .在4 A B C 中，角 A、B、C 的对边分别为 a,b,c,已知向量记=(c os y,s i ny),n=(c os ps i n|),且满足|而+n|=V 3 o(1)求角A 的大小；(2)若b +c =V 5 a，试判断 A B C 的形状。

2 1 .在平面直角坐标系x O y中，锐角a 的顶点是坐标原点0,始边为x 轴的非负半轴，终边上有一点P(l,2).(1)求c os 2 a+tan a 的值；(2)若疝MQ 8)=，且 6(0(),求角3的值.2 2 .已知 A A B C 的内角 A,B,C 的对边分别为a,b,c,若4c c os?：+b =2(a+b c os A+ac os B).(I )求 C;(1 1)若4,求 A B C 的面积的最大值.2 3 己知/(a)=sin2(-a)sin，+a)tan(-?r+a)cos(+a)tan(-a+37r)(1)化简/(a)；(2)若f(Q)=p 且乎 a x-)+2 c os2 3 x,其中3 0,且函数/(x)的最小正周期为(1)求3的值;(2)求/(x)的单调增区间；(3)若函数g(x)=f(%)-a在区间-不孑上有两个零点，求实数的取值范围.28.已知函数/(x)=2sin(x+1)cos(x*)+1.(1)求函数/(x)的最小正周期和最大值；(2)求函数/(x)的单调减区间.29.已知函数/(%)=V 3sina)xcosa)x+cos2a)x(a)0),周期是(1)求/(x)的解析式，以及 6 -，会 时 的 值 域；(2)将/(x)图像上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，再向左平移W 个单位，最后将整个函数图像向上平移|个单位后得到函数g(久)的图像，若|g(x)-刈 1成立的充分条件是0 W x S H，求实数机的取值范围.3 0.已知ta na =4 V 3,si n(a -0)=噂 3 R.0 a -.求 si na 和c osa；(2)求0 的值.【答案与解析】1 .答案：解：(1)/(%)=-2 si n2%+V 3 si n2 x 4-1 =c os2 x +V 3 si n2 x1=2(-(s 2./H 2j,)=2xin (2 ，所以最小正周期丁=手=7 T.(2)令-9-2k7T:，-：VlkTT.kZ,H-A T T J T W +k T T,A Z ,3 6又因为%-be =c2 4-b2 9=-be=(b+c)2 9.5 5 2bc S 5因为b e 4(若9，所以(b+c)2 9 4：n (b+c)?1 0,b+c4当且仅当b=c =时等号成立，故b+c 的最大值为国.解析：本题考查三角恒等变换，正余弦定理，以及基本不等式求最值，属于中档题.(1)根据正弦定理和恒成变换化简，得到5 si n4 c osA =-4 s i n 4 即可求出c osA =-%(2)利用余弦定理得至l j|be =(b+c)2-9结合基本不等式即可求出b+c V W.3.答案：解：(/)由于/(无)=2 si M(x +力一於c os2 x -1 =2 si n(2 x *)又x 黑 ,则.2x-y,则令看 2 x-=p 解得：x碧.故/(x)的单调递增区间为居(H)若不等式|f(%)-m|2 在x e 上恒成立=-2+m /(x)2 +m.由于当芯弓,7 2X-,故f(x)=2 si n(2 x-g 的值域为 1,2 .由此 7 nJ J,故0 m 2解析：本题考查函数y =4 si n(3 x +(p)的图象与性质，考查三角函数的化简与辅助角公式的应用，属于中档题.(I )利用降基公式将f(x)和辅助角公式化简为/(%)=2 si n(2 x -，即可求得/(x)的单调递增区间；(n)|/(x)-m 2/(x)-2 m f(x)+2,而无碎,可求得打 一 注，争，从而可求得/(%)值域，于是可求实数机的取值范围.B B4.答案：解：(1)因为2 =学 1,由正弦定理得陋=生，c sinC sinC sinC所以si nB =c osI，所以2 si ng c osg =c os|,因为B e(0,兀)，所以g e(o(),所以cosge(0,1),所以Sin2=3所以2=3所以B=W(2)由(1)得B=或所以 ABC的面积S-ac-sinB=-ac-sin-=,得ac=,2 2 3 3 3由余弦定理得产=a2+c2-2accosB=a2+c2 ac=(a+c)2 3ac,又因为b=4,ac=m，所以 16=(a+c)2-3 x 弓，解得a+c=6,所以 ABC的周长为Q+b+c=6+4=10.解析：【试题解析】本题考查二倍角公式及其应用、正弦定理、余弦定理、三角形面积公式，属于中档题.(1)由正弦定理得出sinB=c o s 1 利用二倍角公式得出sing=%即可求出结果；(2)由三角形面积公式得出ac=g,利用余弦定理得出a+c=6,即可求出结果.5.答案：解：(1)因为点P(3,4)为角a 终边上的一点，所以sin a=jc o s a=g,tan a=:,所以tan2a=2tanal-ta n2a(2)由题意，得/(x)=方9+3=sin 2 x sin a jcos2xcosa+3=V 3sin2x cos2x+3=2sin(2x-)4-36令2kli 4 W 2x 4 2/C T T+,k E.Z 9 解得T T H W%工 kTC d-,k W Z,262 3 6所以函数/(X)的单调递减区间为M +p/C7l+,/c e Z.令2x Y =k7r,kez,解得 =手 +卷/ez,所以函数/(x)图象的对称中心咛+2 3),k ez.解析：本题主要考查了三角函数的定义，二倍角公式，两角和与差的三角函数公式，向量的数量积，三角函数的图象和性质，属于中档题.解：(1)由三角函数的定义得出sin a =，,c o s a =|,ta n a=/利用二倍角正切公式求出ta n 2a的值,再利用两角和的正切公式求解；(2)由题意利用向量的数量积公式以及辅助角公式得出f(x)=2sin(2x-9 +3,利用正弦函数的单调性以及对称性求解.6.答案：解：(l)/(x)=sin2x+cos2x 4-1 =V 2sin(2x+彳)+1,其最小正周期是7=与=兀，又当2%+?=一/2，即“一 詈(忆6 Z)时，函数/(x)的最小值为1 一代，此时x的集合为 x|x=/o t k Z ；(2)由题意可得g(x)=/(%+-1 =&sin 2(x+)+3 4-1 -1 =&cos2x,V6 _ _ 3，T T ,C,2兀 一 尸2 x W于故当X =。

时，y/2cos2x有最大值为方，故 2+V 2,故实数a的取值范围是(2+V 2,+0 0).解析：本题考查三角函数的恒等变换，三角函数的周期性以及三角函数的最值，函数的恒成立问题，求出g(x)的解析式是解题的关键.(1)根据二倍角公式，和辅助角公式，将函数/(为=2$)立S2%化成正弦型函数，进而根据正弦型函数的性质判断出f(x)的最小正周期，然后求f(x)的最小值.即可得解.(2)由题意求得g(x)=V2cos2x,根据x 的范围求得2x的范围，由此求得g(x)=2cos2x的最大值V 2,根据题意可得e a-2,从而求得实数a的取值范围.7.答案：解：(I )/(x)=sin (2x+sin 2x-c o s2xV32V321+-c o s2x c o s2x1-c o s2xQX-s i n令2工一；,j+fc r,k Z ,得工=；+J.k Z，l i -3 2所以/(x)的 对 称 轴 方 程 为 工,+S，k Z；27r 7T 7T 耳 TT(口)由(I)可得)，轴附近的对称轴为上=一三,1=一0 ,1 7因为/(x)在 一见a 内有3 个单调区间，27r 7T所以/6,解得三 一 4.7r /诵7r 3 J a$3 6 97r即正数a的取值范围为(:解析：本题考查了函数y =Z sm(3 x+R)的图象与性质和三角恒等变换，是中档题.(I )先由三角恒等变换得/=sin (2%-),令2r -；=：+k Z ,可得/(x)的对称轴方程；(1 1)先得出)，轴附近的对称轴为，=一？：，H=一 ，：，工=,因为/(x)在-a,a 内有33 ()62?r-7TT S -a V -7个单调区间，所以 3 6,解出即可.7T 57r a 3 68.答案：解：(1)由|沅+记|=百得适之+元2+2记元=3即 1 +1 +2(c o s c o s-+。