对称性在二重积分中应用.ppt

—对称性在二重积分中的应用,《高等数学》（同济大学第五版）,主讲：张晓斌,中国民航大学理学院,中国民航大学理学院 张晓斌,一、 常用的有关二重积分的对称性定理,二、定理的应用（典型例题分析）,三、小结,主要内容,中国民航大学理学院 张晓斌,一、 常用的有关二重积分的对称性定理,定义 1：若二元函数 的定义域 关于轴对称，且满足 （或 ），则称 关于 为奇（偶）函数定义 2：若二元函数 的定义域 关于轴对称，且满足 （或 ），则称 关于 为奇（偶）函数中国民航大学理学院 张晓斌,定义 3：若二元函数 的定义域 关于 直线 对称，且满足 ， 则称 关于 和 对称定理 1 若有界闭区域 关于 轴对称， 在区域 上连续， 则,当 关于 为奇函数时,当 关于 为偶函数时,中国民航大学理学院 张晓斌,,定理 1’ 若有界闭区域 关于 轴对称， 在区域 上连续， 则,当 关于 为奇函数时,当 关于 为偶函数时,中国民航大学理学院 张晓斌,,推论 1.1 若 有界闭区域 关于 轴 和 轴都 对称， 在区域 上连续，且 关于 和 均为偶函数，则,中国民航大学理学院 张晓斌,定理 2 若有界闭区域 与区域 关于直线 对称， 在区域 上连续，则,,,,,中国民航大学理学院 张晓斌,推论 2.1 若 有界闭区域 关于直线 对称， 在区域 上连续，则,,,,,中国民航大学理学院 张晓斌,例1.,如图，由于积分区域 关于 轴， 轴都对称，且 和 中的被积函数分别关于 是奇函数，根据定理1和定理1’得,计算 其中,解：,中国民航大学理学院 张晓斌,二、定理的应用,,例2. （总习题九 1(2)）.,则,提示: 如图 ，,A,设有平面闭区域,中国民航大学理学院 张晓斌,例3. 有一个平面薄片, 在 平面上占有区域 其面密度为 ，求该薄片的质量M。

由于积分区域 关于 轴， 轴都对称，且 被积函 数关于 都是偶函数，根据推论1.1得,中国民航大学理学院 张晓斌,解：根据二重积分的物理意义，,,,2014.3,例4. 设 在 连续，且,证明,证明:,补区域 使其与区域,,注意到被积函数关于 和 对称,考虑利用定理2，,关于直线 对称例5.,中国民航大学理学院 张晓斌,设 为取值恒大于0的连续函数，区域 ， 与 是两个 非零常数，则二重积分,,解：由于区域 关于直线 对称，根据 推论2.1可得,从而,中国民航大学理学院 张晓斌,三、小结,本节给出了几种常用的有关二重积分的对称性定理，并通过例题分析对这些定理做了应用，讨论了利用积分区域的对称性及被积函数的奇偶性简化二重积分的计算中国民航大学理学院 张晓斌,谢谢！,中国民航大学理学院 张晓斌,。