专题18等差数列和等比数列ppt课件复习过程.ppt

专题【专题【1818】《等差数列和】《等差数列和等比数列》等比数列》pptppt课件课件等差数列和等比数列主￿干￿知￿识￿梳￿理热￿点￿分￿类￿突￿破真￿题￿与￿押￿题1.等等差差、、等等比比数数列列基基本本量量和和性性质质的的考考查查是是高高考考热热点，经常以小题形式出现点，经常以小题形式出现.2.数数列列求求和和及及数数列列与与函函数数、、不不等等式式的的综综合合问问题题是是高高考考考考查查的的重重点点，，考考查查分分析析问问题题、、解解决决问问题题的的综合能力．综合能力．考情解读3主干知识梳理1．．an与与Sn的关系的关系Sn＝＝a1＋＋a2＋＋……＋＋an，，an＝＝2.等差数列和等比数列等差数列和等比数列Ø热点一￿￿￿￿等差数列Ø热点二￿￿￿￿等比数列Ø热点三￿￿￿￿等差数列、等比数列的综合应用热点￿•￿分类突破例1　　(1)等等差差数数列列{an}的的前前n项项和和为为Sn，，若若a2＋＋a4＋＋a6＝＝12，则，则S7的值是的值是(　　　　)A.21 B.24 C.28 D.7热点一￿￿￿￿等差数列思维启迪 利利用用a1＋＋a7＝＝2a4建建立立S7和已知条件的联系；和已知条件的联系；解析　由题意可知，由题意可知，a2＋＋a6＝＝2a4，，则则3a4＝＝12，，a4＝＝4，，C(2)设设 等等 差差 数数 列列 {an}的的 前前 n项项 和和 为为 Sn，， 若若 －－10且且a6>|a5|，，Sn是是数列的前数列的前n项的和，则下列说法正确的是项的和，则下列说法正确的是(　　　　)A．．S1，，S2，，S3均小于均小于0，，S4，，S5，，S6……均大于均大于0B．．S1，，S2，，……S5均小于均小于0，，S6，，S7，，……均大于均大于0C．．S1，，S2，，……S9均小于均小于0，，S10，，S11……均大于均大于0D．．S1，，S2，，……S11均小于均小于0，，S12，，S13……均大于均大于0解析　由题意可知由题意可知a6＋＋a5>0，，答案　C例2　　(1)(2014·安安徽徽)数数列列{an}是是等等差差数数列列，，若若a1＋＋1，，a3＋＋3，，a5＋＋5构成公比为构成公比为q的等比数列，则的等比数列，则q＝＝______.热点二￿￿￿￿等比数列思维启迪 列列方方程程求求 出出 d，，代代 入入 q即即可；可；解析　设等差数列的公差为设等差数列的公差为d,则则a3＝＝a1＋＋2d,a5＝＝a1＋＋4d,∴∴(a1＋＋2d＋＋3)2＝＝(a1＋＋1)(a1＋＋4d＋＋5),解得解得d＝－＝－1，，1思维启迪 求求出出a1，，q，，代入化简．代入化简．答案　D(1){an}为等比数列，其性质如下：为等比数列，其性质如下：①①若若m、、n、、r、、s∈∈N*，，且且m＋＋n＝＝r＋＋s，，则则am·an＝＝ar·as；；②②an＝＝amqn－－m；；③③Sn，，S2n－－Sn，，S3n－－S2n成等比数列成等比数列(q≠≠－－1)．．思维升华(2)等比数列前等比数列前n项和公式项和公式Sn＝＝①①能能““知知三三求求二二””；；②②注注意意讨讨论论公公比比q是是否否为为1；；③③a1≠≠0.思维升华变式训练2 (1)已已知知各各项项不不为为0的的等等差差数数列列{an}满满足足a4－－2a ＋＋3a8＝＝0，数列，数列{bn}是等比数列，且是等比数列，且b7＝＝a7，则，则b2b8b11等于等于(　　　　)A．．1 B．．2 C．．4 D．．8D(2)在在等等比比数数列列{an}中中，，a1＋＋an＝＝34，，a2·an－－1＝＝64，，且前且前n项和项和Sn＝＝62，则项数，则项数n等于等于(　　　　)A．．4 B．．5 C．．6 D．．7解析　设等比数列设等比数列{an}的公比为的公比为q，，由由a2an－－1＝＝a1an＝＝64，，又又a1＋＋an＝＝34，解得，解得a1＝＝2，，an＝＝32或或a1＝＝32，，an＝＝2.又又an＝＝a1qn－－1，所以，所以2××2n－－1＝＝2n＝＝32，解得，解得n＝＝5.综上，项数综上，项数n等于等于5，故选，故选B.答案　B例3　　已已知知等等差差数数列列{an}的的公公差差为为－－1，，且且a2＋＋a7＋＋a12＝－＝－6.(1)求数列求数列{an}的通项公式的通项公式an与前与前n项和项和Sn；；热点三￿￿￿￿等差数列、等比数列的综合应用思维启迪 利用方程思想求出利用方程思想求出a1，代入公式求出，代入公式求出an和和Sn；；解　由由a2＋＋a7＋＋a12＝－＝－6得得a7＝－＝－2，，∴∴a1＝＝4，，(2)将将数数列列{an}的的前前4项项抽抽去去其其中中一一项项后后，，剩剩下下三三项项按按原原来来顺顺序序恰恰为为等等比比数数列列{bn}的的前前3项项，，记记{bn}的的前前n项项和和为为Tn，，若若存存在在m∈∈N*，，使使对对任任意意n∈∈N*，，总总有有Sn6.即实数即实数λ的取值范围为的取值范围为(6，＋，＋∞∞)．．等差等差(比比)数列的综合问题的常见类型及解法数列的综合问题的常见类型及解法(1)等等差差数数列列与与等等比比数数列列交交汇汇的的问问题题，，常常用用““基基本本量量法法””求求解解，，但但有有时时灵灵活活地地运运用用性性质质，，可可使使运算简便．运算简便．(2)等等差差数数列列、、等等比比数数列列与与函函数数、、方方程程、、不不等等式式等等的的交交汇汇问问题题，，求求解解时时用用等等差差(比比)数数列列的的相相关关知知识识，，将将问问题题转转化化为为相相应应的的函函数数、、方方程程、、不不等等式式等问题求解即可．等问题求解即可．思维升华变式训练3已已知知数数列列{an}前前n项项和和为为Sn，，首首项项为为a1，，且且 ，，an，，Sn成等差数列．成等差数列．(1)求数列求数列{an}的通项公式；的通项公式；证明　　bn＝＝(log2a2n＋＋1)××(log2a2n＋＋3)＝＝log222n＋＋1－－2××log222n＋＋3－－2＝＝(2n－－1)(2n＋＋1)，，1.在在等等差差(比比)数数列列中中，，a1，，d(q)，，n，，an，，Sn五五个个量量中中知知道道其其中中任任意意三三个个，，就就可可以以求求出出其其他他两两个个．．解解这这类类问问题题时时，，一一般般是是转化为首项转化为首项a1和公差和公差d(公比公比q)这两个基本量的有关运算．这两个基本量的有关运算．2.等等差差、、等等比比数数列列的的性性质质是是两两种种数数列列基基本本规规律律的的深深刻刻体体现现，，是是解解决决等等差差、、等等比比数数列列问问题题既既快快捷捷又又方方便便的的工工具具，，应应有有意意识识地地去去应应用用．．但但在在应应用用性性质质时时要要注注意意性性质质的的前前提提条条件件，，有有时时需需要进行适当变形．要进行适当变形．本讲规律总结3．等差、等比数列的单调性．等差、等比数列的单调性(1)等差数列的单调性等差数列的单调性d>0⇔⇔{an}为递增数列，为递增数列，Sn有最小值．有最小值．d<0⇔⇔{an}为递减数列，为递减数列，Sn有最大值．有最大值．d＝＝0⇔⇔{an}为常数列．为常数列．(2)等比数列的单调性等比数列的单调性4.常用结论常用结论(1)若若{an}，，{bn}均均是是等等差差数数列列，，Sn是是{an}的的前前n项项和和，，则则{man＋＋kbn}，，{ }仍仍为为等等差差数数列列，，其其中中m，，k为为常常数．数．(2)若若{an}，，{bn}均均是是等等比比数数列列，，则则{can}(c≠≠0)，，{|an|}，，{an·bn}，，{manbn}(m为为常常数数)，，{a }，，{ }仍仍为为等等比比数列．数列．(3)公公比比不不为为1的的等等比比数数列列，，其其相相邻邻两两项项的的差差也也依依次次成成等等比比数数列列，，且且公公比比不不变变，，即即a2－－a1，，a3－－a2，，a4－－a3，，……，，成等比数列，且公比为成等比数列，且公比为 ＝＝q.(4)等等比比数数列列(q≠≠－－1)中中连连续续k项项的的和和成成等等比比数数列列，，即即Sk，，S2k－－Sk，，S3k－－S2k，，……，成等比数列，其公差为，成等比数列，其公差为qk.等等差差数数列列中中连连续续k项项的的和和成成等等差差数数列列，，即即Sk，，S2k－－Sk，，S3k－－S2k，，……，成等差数列，公差为，成等差数列，公差为k2d.5．易错提醒．易错提醒(1)应应用用关关系系式式an＝＝ 时时，，一一定定要要注注意意分分n＝＝1，，n≥≥2两两种种情情况况，，在在求求出出结结果果后后，，看看看看这这两种情况能否整合在一起．两种情况能否整合在一起．(2)三三个个数数a，，b，，c成成等等差差数数列列的的充充要要条条件件是是b＝＝ ，，但三个数但三个数a，，b，，c成等比数列的充要条件是成等比数列的充要条件是b2＝＝ac.Ø真题感悟Ø押题精练真题与押题12真题感悟1.(2014·大大纲纲全全国国)等等比比数数列列{an}中中，，a4＝＝2，，a5＝＝5，，则数列则数列{lg an}的前的前8项和等于项和等于(　　　　)A.6 B.5 C.4 D.3解析　数列数列{lg an}的前的前8项和项和S8＝＝lg a1＋＋lg a2＋＋……＋＋lg a8＝＝lg(a1·a2·……·a8)＝＝lg(a1·a8)4＝＝lg(a4·a5)4＝＝lg(2××5)4＝＝4.C真题感悟212.(2014·北北京京)若若等等差差数数列列{an}满满足足a7＋＋a8＋＋a9>0，，a7＋＋a10<0，则当，则当n＝＝________时，时，{an}的前的前n项和最大项和最大.解析　∵∵a7＋＋a8＋＋a9＝＝3a8>0，，∴∴a8>0.∵∵a7＋＋a10＝＝a8＋＋a9<0，，∴∴a9<－－a8<0.∴∴数列的前数列的前8项和最大，即项和最大，即n＝＝8.8押题精练1231.已已知知等等比比数数列列{an}的的前前n项项和和为为Sn，，则则下下列列一一定定成成立的是立的是(　　　　)A.若若a3>0，则，则a2 013<0 B.若若a4>0，则，则a2 014<0C.若若a3>0，则，则a2 013>0 D.若若a4>0，则，则a2 014>0解析　因因为为a3＝＝a1q2，，a2 013＝＝a1q2 012，，而而q2与与q2 012均均为正数，为正数，若若a3>0，则，则a1>0，所以，所以a2 013>0，故选，故选C.C押题精练1232.已已知知数数列列{an}是是首首项项为为a，，公公差差为为1的的等等差差数数列列，，bn＝＝ .若若对对任任意意的的n∈∈N*，，都都有有bn≥≥b8成成立立，，则则实数实数a的取值范围为的取值范围为________.解析　an＝＝a＋＋(n－－1)××1＝＝n＋＋a－－1，，押题精练123因为对任意的因为对任意的n∈∈N*，都有，都有bn≥≥b8成立，成立，答案　(－－8，－，－7)押题精练1233.设各项均为正数的数列设各项均为正数的数列{an}的前的前n项和为项和为Sn，满足，满足 ＝＝4Sn＋＋4n＋＋1，，n∈∈N*，，且且a2，，a5，，a14恰恰好好是是等等比数列比数列{bn}的前三项的前三项.(1)求数列求数列{an}，，{bn}的通项公式；的通项公式；押题精练123∵∵an>0，，∴∴an＋＋1＝＝an＋＋2.∴∴当当n≥≥2时，时，{an}是公差是公差d＝＝2的等差数列的等差数列.∵∵a2，，a5，，a14构成等比数列，构成等比数列，∵∵a2－－a1＝＝3－－1＝＝2，，∴∴{an}是首项是首项a1＝＝1，公差，公差d＝＝2的等差数列的等差数列.押题精练123∴∴等差数列等差数列{an}的通项公式为的通项公式为an＝＝2n－－1.∴∴等比数列等比数列{bn}的通项公式为的通项公式为bn＝＝3n.押题精练123(2)记记数数列列{bn}的的前前n项项和和为为Tn，，若若对对任任意意的的n∈∈N*，，(Tn＋＋ )k≥≥3n－－6恒成立，求实数恒成立，求实数k的取值范围的取值范围.押题精练123当当n≤≤3时，时，cn>cn－－1；；当当n≥≥4时，时，cn