新定义四边形探究-徐州教育信息网.docx

新定义边形探究江苏省沛县初级中学 黄慧 221600新定义是体现课标“数学学习内容应当是现实的，冇意义的，富有挑战性的, 这些内容要有利于学生主动地进行观察、发现、猜测、验证、推理与交流等数学 活动”要求的一种新题型文字叙述较长，常冇淫生阅读不细致，定义不理解， 形不成知识迁移，不能类比应用现以新定义四边形为例探究思路如下：一. 定义等对边四边形例1 (2007北京市)我们知道：冇两条边相等的三角形叫做等腰三角形 类似地我们定义：至少有一组对边相等的四边形叫做等对边四边形1) 请写出一个你学过的特殊四边形中是等对边四边形的图形的名称2) 如图，在ZiABC中，点D、E分别在AB、AC上，设CD、BE相交于点0,若ZA=60 , ZDCB=ZEBC=丄 ZA ,请你写出图2中一个与ZA相等的角，并猜想图中哪个 四边形是等对边四边形3) 在AABC中，如果ZA是不等于60的锐角，点 D、E 分别在 AB、AC 上,且ZDCB=ZEBC=丄 ZA2 探究：满足上述条件的图形中是否存在等对边四边 形，并证明你的结论解析:(1) 按照至少冇一组对边相等的条件判定，学过的特殊四边形中是等对边四边形的有：平行四边形、等腰梯形、矩形、菱形、正方形等。

2) 显然ZB0D(或ZC0E)二 Z0CB+Z0BC=ZA , 猜想，四边形DBCE是等对边四边形3) 满足上述条件的图形中存在等对边四边形DBCEo 作 ZBCF=ZDBC 交 BE 于 F,则 竺ACFB, BD=CF , ZBDC=ZCFB , 可知 ZADC二ZCFE 又 ZBOD=ZDCB+ZEBC=ZA , 有四边形AD0E内接于圆，ZCEF=ZADC o故 ZCEF =ZCFE , CE=CE因此BD=CE ,四边形DBCE是等对边四边形本题以新定义等对边四边形为契机，结合教材内容，提供探索空间，让学 生经历观察、实验、猜想、推理、反思等活动，学会创新学习的本领二、定义等对角线四边形例2 （2006北京市）我们给出如下定义：若一个四边形的两条对角线相等， 则称这个四边形为等对角线四边形，请解答下列问题：（1） 写出你所学过的特殊四边形中是等对角线四边形的两种图形的名称2） 探究:当等对角线四边形中两条对角线所夹锐角为60时，这对 60角所对的两边之和与其中一条对角线的大小关系，并证明你的结 论解析：（1）根据等对角线四边形定义，学过的图形中有矩形、等腰梯形、正方形等2）等对角线四边形中两条对角线所夹锐角为60。

时，这对60角 所对的两边之和大于或等于一条对角线的长可证明如下：已知：四边形ABCD中，对角线AC、BD交于0点，AC=BD，且ZA0D= 60 求证:BC+ADMAC证明：作DF〃 AC ,并在DF上截取DE=AC① 当BC与CE不在同一条直线上吋，连结BE、CE , N / \则四边形ACED是平行四边形， \Z/ 、ZED0=ZA0D=60 , LA / \故ABDE是等边三角形,CE二AD , DE=BE=AC b… 讨在 ZXECE 中，由 BC+CE>BE，知 BC+AD>AC c p② 当BC与CE在同一条直线上时，则BC+CE二BE a D由①知 CE=AD , DE=BE=AC ,因此 BC+AD=AC综合①、②得BC+AD2AC /木题运用特殊与一般的辨证关系,把一个复杂、 气 》----一般的问题退到简单、特殊的情况入手，由此获得启 发和感悟，进而找到解决问题的止确途径三. 定义凸四边形的准内点例3 （2009年浙江台州）定义：到凸四边形一组对边距离相等，到另一•组对 边距离也相等的点叫凸四边形的准内点•如图h PH =PJ , PI = PG，则点P就• • •是四边形ABCD的准内点.（1） 如图2, ZAFD与ZDEC的角平分线FP,EP相交于点P. 求证：点P是四边形ABCD的准内点.（2） 分别画出图3平行四边形和图4梯形的准内点.（作图工具不限，不写作法，但要有必要的说明）（3） 判断下列命题的真假，在括号内填“真”或“假”.① 任意凸四边形一定存在准内点.（ ）② 任意凸四边形一定只有一个准内点•（）③ 若P是任意凸四边形ABCQ的准内点，贝\\PA + PB = PC + PD或 PA + PC = PB + PD.（ ）解析：（1）如图2,过点P作PG丄AB,PH丄BC,PI丄CD,PJ丄AQ ,由EP平分ZDEC,得PJ = PH •同理PG = PI •贝UP是四边形ABCD 的准内点.(2)DG图4平行四边形对角线AC, BD的交点片就是准内点，如图3 （1）・或者取平行四边形两对边中点连线的交点片就是准内点，如图3 （2）；梯形两腰夹角的平分线与梯形中位线的交点戶2就是准内点.如图4.（3）真；真；假.四. 定义四边形的准等距点例4. （2007年浙江省宁波市）定义：四边形一条对角线 所在直线上的点，如果到这条对角线的两端点的距离不相等， 但到另一对角线的两个端点的距离相等，则称这点为这个四边 形的准等距点•如图1,点P为四边形ABCD对角线AC所在直线 上的一点，PD二PB, PAHPC,则点P为四边形ABCD的准等距点.（1）如图2,画出菱形ABCD的一个准等距点.（2）如图3,作出四边形ABCD的一个准等距点（尺规作图，保留作图痕迹,不要求写作法）・⑶如图4,在四边形ABCDp, P是AC上的点，PAHPC,延长BP交CD于点R,延长DP交BC于点F,且ZCDF=ZCBE, CE二CF.求证：点P是四边形 AB CD的准等距点.（4）试研究四边形的准等距点个数的情况（说出相应四边形的特征及准等距 点的个数，不必证明）.图2解析：(1)如图2,点P即为所画点.Q图2(2) 如图3,点P即为所作点.(3) 如图4,连结DB,[!]△ DCF^ABCE 得到 CD=CB,则 ZCDB=ZCBD. ZPDB二ZPBD,从而PD二PB,又 PAHPC则点P是四边形ABCD的准等距点.(4) ①当四边形的对角线互相垂直且任何一 条对角线不平分另一对角线或者对角线互相平分 口不垂直时，准等距点的个数为0个；② 当四边形的对角线不互相垂直，又不互相平分， 经过另一对角线的中点时，准等距点的个数为1个；③ 当四边形的对角线既不互相垂直又不互相平分，且任何一条对角线的中垂 线都不经过另一条对角线的中点时，准等距点的个数为2个；④ 四边形的对角线互相垂直口至少有一条对角线平分另一对角线时，准等距 点有无数个.此题创设了一个全新的概念——四边形准等距点，既形象又抽象，设计新 颖，语言精炼，设问流畅，层次感强。

解决此题的关键是止确理解“四边形的准 等距点”这个新概念，实质上这个“准等距点”必须满足两个条件：一是它必须在这 种个四边形的对角线上；二是它必须到所在对角线的两端点的距离不相等，且到 另一对角线的两个端点的距离相等这两个条件缺一不可，只要抓住这两条，问 题就容易解决了八、、•C且有一条对角线的中垂线由上可见：阅读理解，模拟判断，合理猜想，细心说明是解决新定义四边形 问题的常用方法。