辅助线--对称和平移变换.doc

. . . .对称变换、平移变换一、对称变换：对称变换是几何变换中的基本变换之一，利用轴对称变换作对称点，是我们研究“最短路线”的常用方法有利于把折线转化到同一直线上研究典型例题：例1.如图，在△ABC中，∠C＝90，将△ABC沿直线MN翻折后，顶点C恰好落在AB边上的点D处，已知MN∥AB，MC＝6，NC＝，则四边形MABN的面积是【 】A． B． C． D．例2.如图，圆柱形玻璃杯高为12cm、底面周长为18cm，在杯离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为 cm．例3.如图，菱形ABCD中，AB=2，∠A=120，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为【 】　 A． 1 B． C． 2 D．＋1例4.如图，四边形ABCD中，∠BAD＝120，∠B＝∠D＝90，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN周长最小时，则∠AMN＋∠ANM的度数为【 】A．130 B．120 C．110 D．100例5.如图，正方形ABCD中，AB=4，E是BC的中点，点P是对角线AC上一动点，则PE+PB的最小值为 ．二、平移变换：平移变换是几何变换中的基本变换之一，平移变换是使图形上的点沿同一方向平移同一距离得到新的图形。

平移变换前后的图形具有如下性质：（1）对应线段平行且相等；（2）对应角的两边平行且方向一致典型例题：例1.如图，∠APB=300，圆心在边PB上的⊙O半径为1cm，OP=3cm，若⊙O沿BP方向移动，当⊙O与PA相切时，圆心O移动的距离为 cm.例2.如图，有a、b、c三户家用电路接入电表，相邻电路的电线等距排列，则三户所用电线【 】　 A． a户最长 B．b户最长 C．c户最长 D． 三户一样长例3.如图：矩形ABCD的对角线AC=10，BC=8，则图中五个小矩形的周长之和为　 　．例4.如图，在等腰梯形ABCD中，ABDC，AB=3，DC=，高CE=2，对角线AC、BD交于H，平行于线段BD的两条直线MN、RQ同时从点A出发沿AC方向向点C匀速平移，分别交等腰梯形ABCD的边于M、N和R、Q，分别交对角线AC于F、G；当直线RQ到达点C时，两直线同时停止移动．记等腰梯形ABCD被直线MN扫过的图形面积为S1、被直线RQ扫过的图形面积为S2，若直线MN平移的速度为1单位/秒，直线RQ平移的速度为2单位/秒，设两直线移动的时间为x秒．（1）填空：∠AHB=　 　；AC=　 ；（2）若S2=3S1，求x；（3）设S2=mS1，求m的变化围．对称变换、平移变换一、对称变换：对称变换是几何变换中的基本变换之一，利用轴对称变换作对称点，是我们研究“最短路线”的常用方法。

有利于把折线转化到同一直线上研究典型例题：例1.如图，在△ABC中，∠C＝90，将△ABC沿直线MN翻折后，顶点C恰好落在AB边上的点D处，已知MN∥AB，MC＝6，NC＝，则四边形MABN的面积是【 】A． B． C． D．【分析】连接CD，交MN于E，∵将△ABC沿直线MN翻折后，顶点C恰好落在AB边上的点D处，∴MN⊥CD，且CE=DE∴CD=2CE∵MN∥AB，∴CD⊥AB∴△CMN∽△CAB∵在△CMN中，∠C=90，MC=6，NC= ，∴∴例2.如图，圆柱形玻璃杯高为12cm、底面周长为18cm，在杯离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为 ▲ cm．【分析】如图，圆柱形玻璃杯展开（沿点A竖直剖开）后侧面是一个长18宽12的矩形，作点A关于杯上沿MN的对称点B，连接BC交MN于点P，连接BM，过点C作AB的垂线交剖开线MA于点D 由轴对称的性质和三角形三边关系知AP＋PC为蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，且AP=BP 由已知和矩形的性质，得DC=9，BD=12。

在Rt△BCD中，由勾股定理得 ∴AP＋PC=BP＋PC=BC=15，即蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为15cm例3.如图，菱形ABCD中，AB=2，∠A=120，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为【 】　 A． 1 B． C． 2 D．＋1【分析】分两步分析： （1）若点P，Q固定，此时点K的位置：如图，作点P关于BD的对称点P1，连接P1Q，交BD于点K1 由线段中垂线上的点到线段两端距离相等的性质，得 P1K1 = P K1，P1K=PK 由三角形两边之和大于第三边的性质，得P1K＋QK＞P1Q= P1K1＋Q K1= P K1＋Q K1 ∴此时的K1就是使PK+QK最小的位置 （2）点P，Q变动，根据菱形的性质，点P关于BD的对称点P1在AB上，即不论点P在BC上任一点，点P1总在AB上 因此，根据直线外一点到直线的所有连线中垂直线段最短的性质，得，当P1Q⊥AB时P1Q最短 过点A作AQ1⊥DC于点Q1。

∵∠A=120，∴∠DA Q1=30 又∵AD=AB=2，∴P1Q=AQ1=ADcos300= 综上所述，PK+QK的最小值为例4.如图，四边形ABCD中，∠BAD＝120，∠B＝∠D＝90，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN周长最小时，则∠AMN＋∠ANM的度数为【 】A．130 B．120 C．110 D．100例5.如图，正方形ABCD中，AB=4，E是BC的中点，点P是对角线AC上一动点，则PE+PB的最小值为 ．【分析】连接DE，交BD于点P，连接BD∵点B与点D关于AC对称，∴DE的长即为PE+PB的最小值∵AB=4，E是BC的中点，∴CE=2在Rt△CDE中，二、平移变换：平移变换是几何变换中的基本变换之一，平移变换是使图形上的点沿同一方向平移同一距离得到新的图形平移变换前后的图形具有如下性质：（1）对应线段平行且相等；（2）对应角的两边平行且方向一致典型例题：例1.如图，∠APB=300，圆心在边PB上的⊙O半径为1cm，OP=3cm，若⊙O沿BP方向移动，当⊙O与PA相切时，圆心O移动的距离为 cm.【分析】如图，设⊙O移动到⊙O1，⊙O2位置时与PA相切。

当⊙O移动到⊙O1时，∠O1DP=900 ∵∠APB=300，O1D=1，∴PO1=2 ∵OP=3，∴OO1=1当⊙O移动到⊙O2时，∠O2EP=900 ∵∠APB=300，O2D=1，∴∠O2PE=300，PO2=2 ∵OP=3，∴OO1=5 综上所述，当⊙O与PA相切时，圆心O移动的距离为1cm或5 cm例2.如图，有a、b、c三户家用电路接入电表，相邻电路的电线等距排列，则三户所用电线【 】　 A． a户最长 B．b户最长 C．c户最长 D． 三户一样长【分析】根据平移的性质，对于电线中横的和竖的线段分别采用割补法将线段向右进行平移，便可直观观察到都是相等的因此a b c三线长度相等例3.如图：矩形ABCD的对角线AC=10，BC=8，则图中五个小矩形的周长之和为　 　．【分析】由勾股定理，得AB=，将五个小矩形的所有上边平移至AD，所有下边平移至BC，所有左边平移至AB，所有右边平移至CD，∴五个小矩形的周长之和=2（AB+CD）=2（6+8）=28例4.如图，在等腰梯形ABCD中，ABDC，AB=3，DC=，高CE=2，对角线AC、BD交于H，平行于线段BD的两条直线MN、RQ同时从点A出发沿AC方向向点C匀速平移，分别交等腰梯形ABCD的边于M、N和R、Q，分别交对角线AC于F、G；当直线RQ到达点C时，两直线同时停止移动．记等腰梯形ABCD被直线MN扫过的图形面积为S1、被直线RQ扫过的图形面积为S2，若直线MN平移的速度为1单位/秒，直线RQ平移的速度为2单位/秒，设两直线移动的时间为x秒．（1）填空：∠AHB=　 　；AC=　 ；（2）若S2=3S1，求x；（3）设S2=mS1，求m的变化围．解：（1）90；4。

2）直线移动有两种情况：0＜x＜及≤x≤2①当0＜x＜时，∵MN∥BD，∴△AMN∽△ARQ∵直线MN平移的速度为1单位/秒，直线RQ平移的速度为2单位/秒，∴△AMN和△ARQ的相似比为1：2∴S2=4S1，与题设S2=3S1矛盾∴当0＜x＜时，不存在x使S2=3S1②当≤x≤2时， ∵AB∥CD，∴△ABH∽△CDH∴CH：AH=CD：AB=DH：BH=1：3∴CH=DH=AC=1，AH═BH=4﹣1=3∵CG=4﹣2x，AC⊥BD，∴S△BCD=41=2∵RQ∥BD，∴△CRQ∽△CDB又，∵MN∥BD，∴△AMN∽△ADB∴，∴S1=x2，S2=8﹣8（2﹣x）2∵S2=3S1，∴8﹣8（2﹣x）2=3x2，解得：x1=（舍去），x2=2∴x的值为23）由（2）得：当0＜x＜时，m=4，当≤x≤2时，∵S2=mS1，∴∴m是的二次函数，当≤x≤2时，即当时，m随的增大而增大，∴当x=时，m最大，最大值为4；当x=2时，m最小，最小值为3∴m的变化围为：3≤m≤4配套练习练习题：1.点A、Ｂ均在由面积为1的相同小矩形组成的网格的格点上，建立平面直角坐标系如图所示．若P是x轴上使得的值最大的点，Q是y轴上使得QA十QB的值最小的点，则＝　　　　．2.如图，MN为⊙O的直径，A、B是O上的两点，过A作AC⊥MN于点C，过B作BD⊥MN于点D，P为DC上的任意一点，若MN＝20，AC＝8，BD＝6，则PA＋PB的最小值是　　　　。

3.在学习轴对称的时候，老师让同学们思考课本中的探究题如图（1），要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气．泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？你可以在l上找几个点试一试，能发现什么规律？你可以在上找几个点试一试，能发现什么规律？聪明的小华通过独立思考，很快得出了解决这个问题的正确办法．他把管道l看成一条直线（图（2）），问题就转化为，要在直线l上找一点P，使AP与BP的和最小．他的做法是这样的：①作点B关于直线l的对称点B′．②连接AB′交直线l于点P，则点P为所求．请。