高等数学88多元函数的极值及其求法.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,第八节,一、多元函数的极值,二、最值应用问题,三、条件极值,多元函数的极值及其求法,1,一、多元函数的极值,定义,:,若函数,则称函数在该点取得,极大值,(,极小值,),.,例如,:,在点,(0,0),有极小值,;,在点,(0,0),有极大值,;,在点,(0,0),无极值,.,极大值和极小值,统称为,极值,使函数取得极值的点称为,极值点,.,的某邻域内有,2,定理,1,(,必要条件,),函数,偏导数,证,:,据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立,.,取得极值,取得极值,取得极值,且在该点取得极值,则有,存在,故,3,4,仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，均称为函数的,驻点,.,驻点,极值点,问题：如何判定一个驻点是否为极值点？,注意：,5,时,具有极值,定理,2,(,充分条件,),的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数,且,令,则,:1),当,A0,时取极小值,.,2),当,3),当,时,没有极值,.,时,不能确定,需另行讨论,.,若函数,6,7,例1.,求函数,解,:,第一步 求驻点,.,得驻点,:(1,0),(1,2),(3,0),(3,2).,第二步 判别,.,在点,(1,0),处,为极小值,;,解方程组,的极值,.,求二阶偏导数,8,在点,(,3,0),处,不是极值,;,在点,(,3,2),处,为极大值,.,在点,(1,2),处,不是极值,;,9,解,10,11,12,二、最值应用问题,函数,f,在闭域上连续,函数,f,在闭域上可达到最值,最值可疑点,驻点,边界上的最值点,特别,当区域内部最值存在,且,只有一个,极值点,P,时,为极小 值,为最小 值,(,大,),(,大,),依据,13,解,如图,14,15,16,解,由,17,18,对于实际问题可根据实际问题的意义判断最大值和最小值的存在性。

例,5,某公司在生产中使用甲、两种原料,已知甲和乙两种,原料分别使用,x,单位和,y,单位可生产,Q,单位的产品，且,已知甲原料单价为,20,元,/,单位，乙原料单价为,30,元,/,单位，,产品每单位售价为,100,元，产品固定成本为,1000,元，求该,公司的最大利润解 利润函数,为,19,（利润函数）,解方程组,求得唯一驻点（,5,，,8,）,所以 在（,5,，,8,）取得极大值,20,无条件极值：,对自变量除了限制在定义域内外，并无其他条件,.,21,三、条件极值,极值问题,无条件极值,:,条 件 极 值,:,条件极值的求法,:,方法,1,代入法,.,求一元函数,的无条件极值问题,对自变量只有定义域限制,对自变量除定义域限制外,还有其它条件限制,例如,转化,22,方法,2,拉格朗日乘数法,.,如方法,1,所述,则问题等价于一元函数,可确定隐函数,的极值问题,极值点必满足,设,记,例如,故,故有,23,引入辅助函数,辅助函数,F,称为拉格朗日,(Lagrange),函数,.,利用拉格,极值点必满足,则,极值点满足,:,朗日函数求极值的方法称为,拉格朗日乘数法,.,24,推广,拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多个约束条件的情形,.,设,解方程组,可得到条件极值的可疑点,.,例如,求函数,下的极值,.,在条件,25,例,6,抛物面 被平面,x+y+z,=1,截成一个椭圆，求这个,椭圆到坐标原点的最长与最短距离,。

解 该问题即求函数,在条件 及,x+y+z=1,下的最大值与最小值求偏导得到可能的极值点：,26,由该问题的实际意义知该问题确实存在最大值与最小值，,其最大值与最小值为,27,解,则,28,例,8,某公司通过电台和报纸两种方式做销售其产品的广告，根据统计资料分析可知，销售收,入,R,（万元）与电台广告费,x,（万元）、报纸广告费,y,（万元）有如下经验公式：,R=15+14x+32y-8xy-2x,2,-10y,2,（,1,）在广告费用不限的情况下，求使销售净收入最大的广告策略；,（,2,）若提供的广告费用为,1.5,万元,求相应的最优广告策略,.,29,解,(1),销售净收入为,L=R-(x+y)=15+13x+31y-8xy-2x,2,-10y,2,由极值必要条件,L,x,=13-8y-4x=0 ,L,y,=31-8x-20y=0,得驻点,(x,0,y,0,)=(0.75,1.25),由于,L,xx,=-40,L,xy,=-8,L,yy,=-20,得,B,2,-AC=-160,(x,0,y,0,)=(0.75,1.25),为极大值点,亦最大值点,于是,电台广告费为,0.75,万元,报纸广告费为,1.25,万元时,销售净收入最大,最大值为,39.25,万元,.,30,31,例,9,某企业在两个互相分割的市场上出售同一种产品，两个市场的需求函数分别是,P,1,=18-2Q,1,P,2,=12-Q,2,总成本为,C=2Q+5,Q=Q,1,+Q,2,（,1,）如果该企业实行价格差别策略，试确定两个市场上该产品的销售量和价格，使该企业获得最大利润；,（,2,）如果该企业实行价格无差别策略，试确定两个市场上该产品的销售量和其统一的价格，使该企业的总利润最大化；,并比较两种价格策略下的总利润大小。

32,解（,1,）,33,（,2,）,34,例,10,：某公司准备用,2,百万元的资金，通过两种方式做广告，一,种是电台广播，一种是在日报上登广告，根据以王经验，销售收,入与广告费用之间有如下关系,费和日报广告费，单位均为百万元,.,试确定广告费使用的最佳方案，,使销售金额最大解,35,且为最大值,36,即,时有极大值，也就是最优方案37,例,11,设产品的产量是劳动力,x,和原料,y,的函数,为,假定每单位劳动力花费,100,元，每单位原料原料花费,200,元，现有资金,30000,元用于生产，应如何按排劳动力与原料，使产量达到最大,.,解,:,该问题是在劳动力,x,与原料,y,满足条件,100 x+200y=30000,的条件下，求目标函数 的最大值构造函数,:,38,求可能的极值点,得到唯一的驻点,x=225,，,y=37.5,，,=-4.44,，,仅,有一个可能的极值点，由,问题本身可知最大值一定,存在，所以,x=225,，,y=37.5,就是,最优解,39,P61,3,4,8,9,10,作业,40,。