2021-2022学年高中数学-第2章-直线和圆的方程章末综合提升学案-新人教A版选择性必修第一册.doc

2021-2022学年高中数学 第2章 直线和圆的方程章末综合提升学案 新人教A版选择性必修第一册2021-2022学年高中数学 第2章 直线和圆的方程章末综合提升学案 新人教A版选择性必修第一册年级：姓名：第2章 直线和圆的方程 类型1　求直线的方程求直线方程时，一是根据题目条件确定点和斜率或者确定两点，进而套用直线方程的几种形式，此法可称为直接法；二是利用直线在题目中具有的某些性质，先设出方程(含有参数或待定系数)，再确定方程(即求出参数值)，此时求直线方程的方法可称为间接法(即为待定系数法)，这是最常见的方法．【例1】　已知△ABC的顶点A(5,1)，AB边上的中线CM所在的直线方程为2x－y－5＝0，AC边上的高BH所在的直线方程为x－2y－5＝0.求：(1)AC所在的直线的方程；(2)点B的坐标．[解]　(1)因为AC⊥BH，所以设AC所在的直线的方程为2x＋y＋t＝0.把A(5,1)代入直线方程2x＋y＋t＝0中，解得t＝－11.所以AC所在的直线的方程为2x＋y－11＝0.(2)设B(x0，y0)，则AB的中点为.联立得方程组化简得解得故B(－1，－3)．[跟进训练]1．已知△ABC中，A(1,3)，AB，AC边上中线所在直线方程分别为x－2y＋1＝0和y－1＝0，求△ABC各边所在的直线方程. [解]　设AB，AC边上的中线分别为CD，BE，其中D，E为中点， ∵点B在中线y－1＝0上， ∴设点B的坐标为(xB,1)．∵点D为AB的中点，又点A的坐标为(1,3)，∴点D的坐标为.∵点D在中线CD：x－2y＋1＝0上，∴－2×2＋1＝0，∴xB＝5.∴点B的坐标为(5,1)．∵点C在直线x－2y＋1＝0上，∴设点C的坐标为(2t－1，t)．∴AC的中点E的坐标为.∵点E在中线BE：y＝1上，∴＝1，∴t＝－1.∴点C的坐标为(－3，－1)，∴△ABC各边所在直线的方程为AB：x＋2y－7＝0，BC：x－4y－1＝0，AC：x－y＋2＝0. 类型2　两条直线的位置关系(1)两条直线的位置关系如下表所示．项目斜截式一般式方程y＝k1x＋b1，y＝k2x＋b2A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0相交k1≠k2A1B2－A2B1≠0垂直k1k2＝－1A1A2＋B1B2＝0平行k1＝k2且b1≠b2或重合k1＝k2且b1＝b2A1B2－A2B1＝B1C2－B2C1＝A1C2－A2C1＝0(2)与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线方程为Ax＋By＋m＝0(m≠C)，与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线方程为Bx－Ay＋n＝0.【例2】　已知两条直线l1：ax－by＋4＝0，l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求分别满足下列条件的a，b的值．(1)直线l1过点(－3，－1)，并且直线l1与直线l2垂直；(2)直线l1与直线l2平行，并且坐标原点到l1，l2的距离相等．[解]　(1)∵l1⊥l2，∴a(a－1)＋(－b)·1＝0.即a2－a－b＝0.①又点(－3，－1)在l1上，∴－3a＋b＋4＝0.②由①②解得a＝2，b＝2.(2)∵l1∥l2且l2的斜率为1－a，∴l1的斜率也存在，＝1－a，即b＝.故l1和l2的方程可分别表示为l1：(a－1)x＋y＋＝0，l2：(a－1)x＋y＋＝0.∵原点到l1与l2的距离相等，∴4＝，解得a＝2或a＝.因此或[跟进训练]2．(1)“a＝1”是“直线(2a＋1)x＋ay＋1＝0和直线ax－3y＋3＝0垂直”的(　　)A．充分不必要条件　 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件(2)已知直线l1：mx＋4y－2＝0与l2：2x－5y＋n＝0互相垂直，共垂足为(1，p)，则m＋p＝________，n＝________.(1)A　(2)8　－12　[(1)当a＝1时，直线(2a＋1)x＋ay＋1＝0的斜率为－3，直线ax－3y＋3＝0的斜率为，两直线垂直；当两直线垂直时，可得a(2a＋1)－3a＝0，解得a＝0或1，所以“a＝1”是“直线(2a＋1)x＋ay＋1＝0和直线ax－3y＋3＝0垂直”的充分不必要条件．故选A．(2)∵直线mx＋4y－2＝0与2x－5y＋n＝0垂直，∴×＝－1∴m＝10.直线mx＋4y－2＝0即5x＋2y－1＝0，垂足为(1，p)代入得5＋2p－1＝0，∴p＝－2，∴m＋p＝8，把(1，－2)代入2x－5y＋n＝0可得n＝－12.] 类型3　距离问题解决解析几何中的距离问题时，往往是代数运算与几何图形直观分析相结合．三种距离是高考考查的热点，公式如下表：类型已知条件公式两点间的距离A(x1，y1)，B(x2，y2)|AB|＝点到直线的距离P(x0，y0) l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，d＝(A2＋B2≠0)两平行直线的距离l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0(A2＋B2≠0，C1≠C2)d＝【例3】　直线l在两坐标轴上的截距相等，且P(4,3)到直线l的距离为3，求直线l的方程．[解]　当直线过原点时，设所求直线方程为kx－y＝0，则＝3.解得k＝±－6，∴y＝x.当直线不经过原点时，设所求直线方程为x＋y＝a，则＝3，解得a＝13或a＝1，∴x＋y－13＝0或x＋y－1＝0.综上，所求直线方程为y＝x或x＋y－13＝0或x＋y－1＝0.[跟进训练]3．已知直线l经过直线2x＋y－5＝0与x－2y＝0的交点．(1)点A(5,0)到l的距离为3，求l的方程；(2)求点A(5,0)到l的距离的最大值．[解]　(1)经过两已知直线交点的直线系方程为2x＋y－5＋λ(x－2y)＝0, 即(2＋λ)x＋(1－2λ)y－5＝0，所以＝3，即2λ2－5λ＋2＝0，所以λ＝或λ＝2.所以l的方程为x＝2或4x－3y－5＝0.(2)由解得交点P(2,1)，过P作任一直线l(图略)，设d为点A到l的距离，则d≤|PA|(当l⊥PA时等号成立)．所以dmax＝|PA|＝. 类型4　对称问题(1)点关于点的对称问题，是对称问题中最基础最重要的一类，其余几类对称问题均可以化归为点关于点的对称进行求解．熟练掌握和灵活运用中点坐标公式是处理这类问题的关键．(2)点关于直线的对称问题是点关于点的对称问题的延伸，处理这类问题主要抓住两个方面：①两点连线与已知直线斜率乘积等于－1；②两点的中点在已知直线上．(3)直线关于点的对称问题，可转化为直线上的点关于此点对称的问题，这里需要注意的是两对称直线是平行的．我们往往利用平行直线系去求解．【例4】　光线通过点A(2, 3)，在直线l：x＋y＋1＝0上反射，反射光线经过点B(1,1)，试求入射光线和反射光线所在直线的方程．[解]　设点A(2,3)关于直线l的对称点为A′(x0，y0)，则解之得，A′(－4，－3)．由于反射光线经过点A′(－4，－3)和B(1,1)，所以反射光线所在直线的方程为y－1＝(x－1)·，即4x－5y＋1＝0.解方程组得反射点P.所以入射光线所在直线的方程为y－3＝(x－2)·，即5x－4y＋2＝0.综上，入射光线和反射光线所在直线的方程分别为5x－4y＋2＝0,4x－5y＋1＝0.1．在本例条件不变的情况下，求光线从A经反射后到达B点所经过的路程．[解]　由本例解析知，点A(2,3)关于直线l的对称点为A′(－4，－3)．所以从A发出光线经l反射后到达B的路程为|A′B|.即|A′B|＝＝.2．把本例条件中“直线l：x＋y＋1＝0”改为“直线l为x轴”，其他条件不变，试求入射光线和反射光线所在直线的方程．[解]　点A(2,3)关于x轴对称点为A′(2，－3)．∴反射光线方程为＝，即4x＋y－5＝0.又∵反射光线与x轴交点为.∴入射光线方程为＝，即4x－y－5＝0. 类型5　求圆的方程求圆的方程是考查圆的方程问题中的一个基本点，一般涉及圆的性质、直线与圆的位置关系等，主要依据圆的标准方程、一般方程、直线与圆的几何性质，运用几何方法或代数方法解决问题，多以选择题、填空题为主，属于基础题．(1)圆的方程中有三个参数，即标准方程中的a，b，r，或一般式中的D，E，F，因此需要三个独立条件建立方程组求解．(2)求圆的方程时，首选几何法，即先分析给出的条件的几何意义，或直接利用待定系数法求解．【例5】　一个圆C和已知圆x2＋y2－2x＝0相外切，并与直线l：x＋y＝0相切于点M(3，－)，求圆C的方程．[解]　由x2＋y2－2x＝0得(x－1)2＋y2＝1，故其圆心为(1,0)，半径为1.∵圆C与圆x2＋y2－2x＝0相外切，故两个圆心之间的距离等于半径的和，又∵圆C与直线l：x＋y＝0相切于点M(3，－)，可得圆心与点M(3，－)的连线与直线x＋y＝0垂直，其斜率为.设圆C的圆心为(a，b)，半径为r，则解得a＝4，b＝0，r＝2或a＝0，b＝－4，r＝6，∴圆C的方程为(x－4)2＋y2＝4或x2＋(y＋4)2＝36.[跟进训练]4．已知直线l经过两条直线2x－y－3＝0和4x－3y－5＝0的交点，且与直线x＋y－2＝0垂直．(1)求直线l的方程；(2)若圆C过点(1,0)，且圆心在x轴的正半轴上，直线l被该圆所截得的弦长为2，求圆C的标准方程．[解]　(1)由解得两直线交点为(2,1)，∵l与x＋y－2＝0垂直，∴kl＝1.又∵l过点(2,1)，∴l的方程y－1＝x－2即x－y－1＝0.(2)设圆C的标准方程为(x－a)2＋y 2＝r2(a>0)，则解得a＝3，r＝2.∴圆C的标准方程为(x－3)2＋y2＝4. 类型6　直线与圆的位置关系判断直线和圆的位置关系，一般用代数法或几何法，为避免繁杂的运算，最好用几何法，其解题思路是：先求出圆心到直线的距离d，然后比较所求距离d与半径r的大小关系，进而判断直线和圆的位置关系．【例6】　如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M：x2＋y2－12x－14y＋60＝0及其上一点A(2,4)．(1)设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x＝6上，求圆N的标准方程；(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B，C两点，且BC＝OA，求直线l的方程．[解]　圆M的标准方程为(x－6)2＋(y－7)2＝25，所以圆心M(6,7)，半径为5.(1)由圆心N在直线x＝6上，可设N(6，y0)．因为N与x轴相切，与圆M外切，所以0＜y0＜7，于是圆N的半径为y0，从而7－y0＝5＋y0，解得y0＝1.因此，圆N的标准方程为(x－6)2＋(y－1)2＝1.(2)因为直线l∥OA，所以直线l的斜率为＝2.设直线l的方程为y＝2x＋m，即2x－y＋m＝0，则圆心M到直线l的距离d＝＝.因为BC＝OA＝＝2，而MC2＝d2＋，所以25＝＋5，解得m＝5或m＝－15.故直线l的方程为2x－y＋5＝0或2x－y－15＝0.[跟进训练]5．已知直线l：2mx－y－8m－3＝0和圆C：x2＋y2－6x＋12y＋20＝0.(1)m∈R时，证明l与C总相交；(2)m取何值时，l被C截得的弦长最短，求此弦长．[解]　(1)证明：直线的方程可化为y＋3＝2m(x－。