近世代数课件陪集指数和定理.ppt

近世代数第二章 群论 §7陪集、指数和Lagrange定理 Date一、集合的积 设设 为为群,是群 子集, 定义义若，则则的两个非空Date二、陪集的引入 引例 整数加群，模4的剩余类类：构成的一个分类类：现现利用群的观观点，分析此分类类的特点：①分类类中存在一个特殊的类类[0]是子群, 而其余的类类都不是子群.②每个类类正好是这这个子群乘上这这个类类中 任取定的一个元素.[i]=i+[0].Date三、子群陪集的定义 定义义1 设设,. 称群 的子集和分别为别为在中的左陪集与右陪集.思考题题1 若, 又设设,那么“”成立吗吗?为为什么?不一定是交换换群,所以未必成立.答：由于Date例1①②在中的全部不同的左陪集有:Date例1③在中的全部不同的右陪集有:④⑤Date四、陪集的性质及陪集分解 左陪集的性质质及左陪集分解2）3）4）1）群中每个元素属于且只属于一个左陪集， 可以按照其子群的左陪集分类类.的按照其子群的左陪集分类类中除去外，再无子群因此群群存在.Date定义2设设是子群在群 中的所有不同的左陪集，称等式为为群关于子群的左陪集分解，而称为为群的一个左陪集代表系.关于子群Date右陪集的性质及右陪集分解1）2）3）4）Date五、右陪集与左陪集的对应关系 定理 1 设设，则则群 陪集含有相同个数的元素；且在中是到的一一映射; 是,则则 是到映射.的任何两个证证明 集的个数与右陪集的个数相同.左陪到的一一 映射; , 的一一Date由定理1知，，即是群关于子群的一是群的一个右陪集代表系.个左陪集代表系，则则关于子群Date思考题2？ （×）（√）？Date六、指数和Lagrange定理 定义义 3 称群 的子群的不同左(右)在中的指数..陪集的个数(有限或无限)为为记记作定理 2 (Lagrange定理) 有限群， ，则则.例1中DateLagrange定理证明证证明 因为为, 所以也是有限群，，且由定理1, 且所以, 在中左陪集的个数也有限. 设设从而Date推论推论论1 有限群子群的阶阶整除群的阶阶.的任一元素的阶阶都能推论论3 设设群 的阶阶数是n, 则对则对 任意的 , .推论论2 有限群整除群的阶数. Date。