胡不归问题模型-胡不归例题模型.doc

胡不归问题模型及其应用原题重现：（来源：高邮市證化学校独立练习（6 ））如圉1所示•抛物线尸XT・2x・3与x轴交于A、B两点，过B的直线交飆物线于E r fitanzEB A=4/3 ,有一只蚂蚁从A出发，先以1单位/s的速度爬到线段BE上的点D处，再以1・25单位"的妾想解决这个所谓〃难题“，不得不提起一起若名的、大名鼎鼎的、古老的"胡不归〃问题.模型典故（"胡不归”问题）,下文来源于网络有一则古老的历史故事：说的是一个身在他乡的小伙子，得知父亲病危的消息后便日夜赶路回 家•然而,当他气喘吁吁地来到父亲的面前时，老人刚刚咽气了•人们告诉他，在弥留之际，老 人在不断哺喃地叨念："胡不归？胡不归？……“旦期的科学家曾为这则古老传说中的小伙子设想了一条路线：如图1J所示z A是出发地，B是 目的地；AC是一条驿道r而驿道靠目的地的一側全是砂土地帝•为了急切回家，小伙子选择了 直线路程AB•但是「他忽略了在驿道上行走要比在砂土地带行走快的这一因素如果他能选择一 条合适的路线（尽管这条路线长一些，但是速度却可以加快）,是可以提前抵达家门的.那么，他应该选择那条路线呢？显然，根据两种路面的状况和在其上行走的速度值，可以在A C上选定一点D r小伙子从A走到D f然后从D折往B r可望最早到达目的地B.用现代的数学语言表达出来就是：已知在驿道和砂地上行走的速度分别为VI和V2 f在AC上找一走点D ,使从A至D、再从D至B 的行走时间晶短.于是，问题在于如何去找出D点这个古老的’胡不归〃问题风靡了一干多年,一直到十七世纪 中叶，才由法国着名科学家费尔马掲开了它的面纱.二.模型解决第一步（设出时间t，将数学问題字母化）:设总时间为t,则t=芋+学，这里％〉匕，要求的就是t的最小值，这杲一个系数不为1的最值问题，而且有两个系数均不为1; 第二步（提取“大系数”,化为只有一个系数不为1的悬值问題）：一般情况下，遇 到两个系数不为1的最值问題，百先要将其转化为电个系数不为1的最值问题，这个转化 还是比镀好实现的，只需提取一个系数出来即可；问題是，该提取哪个系数比较好呢？一般情况下，提取数值比较大的那个系数：莹本例来说，由vx＞v.知I的表达式中两个系数丄＜丄，因而应该提取丄出来，即&• %冬 K丄（冬・Q + D3）,注意这里人与冬均为常数，这样要求i的最小值，只要求 冬％AD+DB的最小值即可，从而问題被转化为单个系数不为1的最值问题;第三步〈构造三角因数，化为系数均为1的常規最值冋題〉:如何求解食•AD+DB的最小值问题呢？还是要您办法处理不为1的系数，将系数都化为1. 但是问题来了，此时明显不能再用提取系数的办法了！那咋办？ 数学是门袖奇的科学，只有你想不到，没有她做不到的！联想到初中阶段学到的锐角三角函数，可以构造一个直角三角形，将不为1的系数无 形中化为1,这也是解决所谓“胡不归”问题的核心与难点所在，具体操作如下：由冬＜1联想到三角国数値，如图1・2所示，过定点A在直线AC的下方构造锐角ZCAE=a,使其满足sina二丄v\再过动点D作DG丄AE于点G,则鋅卜筈从而有DG#如要求#4+対最隔题，就被顺利转化曲+ Q忖小值问题，变成了一个系数均为1的常规最值问题;需要特别提醒大家的是，这里的关键角CX是依托于哪些考虑作出来的呢？注意到最原始的〃胡不归“问题是一个 炳走一动型"同值问题，只不过茶数不为1 了而已； 如團「2『点A和点B是两个定点，点D是一个动点，且定点A与动点D在同一条定直线AC上; 上面的角ex其实就是依托于这里的定点A及走直线AC做出的f即过走点A作一条射线与走直线 AC所交锐角为角a即可！说到底就是〃抓不变量"的解题策略，依托于定点A及定直线AC作 角J使其满足sina =V2/V1 r即可顺利将所谓’胡不归〃"难题"转化为系数均为1的常规 最值问题！第四步（利用“垂线段最矩原理”,解决系数均为1的常規最值冋題〉：注意到构造 的AE也是一条定射线，要求DG + DB的最小值冋题，其实就是在两定言线AC、AE上 分别找点D、G,且DG丄AE，使DG + DB最小.先利用“两点之间线段最短”易知DG + D328G ,当且仅当B. D. G三点共线时 取爹号；如图1・3所示，再利用“垂线段最短”只需过点B作BG丄AE于点G此时BG最小， 则BG与AC的交点即为所要寻找的点Di图1・3E因而忖丄(冬・Q + DE)二丄(DG+DB) »丄BG丄 AB sinZBAG，其中久、 人％ V. 耳 冬AB及ZBAG均为常值，故所求时间的最小值为—-ylB sin ABAG・V.至此，“胡不归"模型得到完芙解决！如果奄奄一息的父亲能够坚持到1-JB sinZBJGiA个时间，那么就能够见他的儿子最后一面了！三、原题解决回到我们最初的考題上，设蚂奴从点A到点E所需的时间为t,如團1-4,则t=—+ —= JD + —,要求的就是t的最小值，即AD + — 的最小值：1 1.25 5 5很明显，这就是一个典型的“胡不归，'问题，可按照上述解块模型的步骤进行操作：图1・44第一步（构三角国数，化系数为1〉：由系数£ V联想到三角函数值，如图1-5所示,4 过定直线EB1的定点E在直线EB的上方构造锐角ZBEF=a,使其満足sma=| ;再过动点D作DG丄EF于点G，则= 从而有DG= - DE y—5 DE 5第二步（寻题目特殊性，重新谓整图形〉：但先不要忙于计算，我们还要敏锐地意识4 4到此题有个角很特殊，那就是tanZEEA=-,由此易知sinZEBA二一，因而刚刚我们所作3 5的ZBEF=ZEBA,从而发现此题的特殊性，即EF"次轴，接下来我们把图形调整成图-6;图1・6第三步（利用“垂线段最短原理",解决系数均为1的常奴最伯问題〉：注意到构造 的EF也罡一条定射线，要求AD+DG的最小值问题，其实就罡在两定直线EB、EF上分别找 点D、G,且DG丄EF,使AD+DG 1小・先利用“两点之间线段最迈”易知+ 当且仅当A、D、G三点共线时取等号；如囹1・7所示，再利用“垂线段最短”只需过点A作AG丄EF于点G,此时AG最小， 则AG与EF的交点即为所要寻找的A Di4 DE因而t=JD + =AD+DG>AG,故所求时间t的最小値即为AG的长，即点E的纵坐5标的值，下面求出点E的坐标即可；图1・7 第四步（求定点E的坐标）：这里提供两种方法求点E的坐标；方法一（求交点坐标）：设直线EB与y轴交于点如图1・8所示，由題易知点B 4的坐标为（3, 0） ＞在RtAMOB中由tanZEBA=-^10M=4,则点H坐标为〈0, 4）;3由B （3, 0〉及夏＜0, 4）可得直线EB的解析式为y=-\+4j[,=_4 *联立直线EB与抛物线的解析式得：' ■~3X* , Pnr-2x-3 = --x+4，即[y=x2・2;r3 33r-2x-21=0,解之得X! = -- , x,=3 （舍去》,故点E的坐标为 3・ 3 9方法二（设坐标法八设点E的坐标为（t, 〃-2—3〉，过点E作EH丄x轴于点H,如图1・9所示，在RtAEHB中由tanZEBA=-可得—=-,即,即 3 BH 3 3-r 3—（r +1） = — ^解得r = —9故点E的坐标为（——）；3 3 3 9因此，所求时间t=JD + —的最小值为里.5 9此題搞定，所谓的“难題”看来也不是太难啊，玩的都是“套路”！图1・8鱗题后反思：平时“套路“积累多了，真的遇到了所谓的’‘套路题”,同学们就能立于不败之 地了！这题也给我们的教学_走的启发性•即应该重视模型教学这一块！有人说”成也模型■ 败也模型"，但我想说如貝真的不讲模型或者说不先经历模型过程”真的潮总出模型达到更高 境界也是痴心妄想！初中阶段学生还是应该重视模型的积累与应用过程,可以这样说「每一节 新课，毎一道题目可能都能称之为一个模型！其实名称都是回事，或者说叫某某模型也无所 谓,之所以起名称，更主要的还是希盅学生能做到”顾名思义”之效,最终达到熟能生巧之目 的！【来龙】，有一则历史故事说的是，一个身在他乡的小伙子得知父亲病危的消息后便日夜赶路回 家。

然而，当他气喘吁吁地来到父亲面前时，老人刚刚咽气了人们告诉他，在弥留之际, 老人还在不断喃喃的叨念：“胡不归？胡不归？ •••••• ” 2早期的科学家曾为这贝怙老的传说中的小伙子设想了一条路线(见图1〉是出发地, 方罡目的地，FC是一条释道，而驿道幕目的地的一侧全是砂土地带为了急切回気 小伙 子选择了直线路程仙a但是他忽略了在驿道上行走要比在砂土地帯行走快的这一因素如果他能选择一条合适 的路线(尽管这条路线长一些，但罡速度可以加快〉、罡可以提前抵达家门的"那么这应该是哪条路线呢？显然，根抿两种路面的状况和在其上面行走的速度值，可以 在M上选走一点亠小伙子从人走到6然后从D折往可望最早到达民卩用现代的科学语言表达就是：“已知在驿道和砂地上行走的速度分别为力和V2,在 M上求一个定点0使得川〜小时亍走时间最短于是问题在于如何去找出D点a°起点,和终点B固定，在过/点的定直线上取一点6使得f= —+ —的值最小，V1 V2可以转化为求—DB (0<-<1 )或-^DA-DB (0<-<1〉型的最值冋题*m mm m【解模】"具体例子：如图，一条笔直的公路/穿过草原，公路边有一消防站戏，距离公路5千米 的地方有一居民点禺.4、B的直线距离是13千米.一天，居民点B看火，消防员受命欲前 往救火，若消防车在公路上的最快速度是80千米/小时，而在草地上的最快速度是40千米/ 小时，则消防车在出发后最快经过—小时可到达居民点皮(友惰提醉：消防车可从公路 的任意位蚤进入草地行驶・)卜13/ |解析:设消防车从公路上点D进入草地行驶。

问题:是範匾产晋+学=$百加+ DB) 80 40 40 2的最小值，问题立即转化为求】D4 + DB的最小值213接下来就是“套路”:构造一条线段等于卩,并将新线段与线段沏“接起来”,在 初中数学中我们学习过三个“一半"走理：丘直角三角形中30°锐角所对直角边等于斜边 一半伽301);②三角形中位线平行第三边麻王第三边长的一半；③直角三角形斜 边上的中线等于斜边的一半它们罡解决线段倍分去系的利器我们^据血30电来解决任务：在直线/的下方作厶沙=30° ,过点D作％_L4M于点则再往下来就太容易了2问题转为求折线段DB3的最小值你会解决了吗？直接上图算了由“垂线段最姮” 的基本数学事实出发，可叹过点刃作疔丄于点尸，交川C于点则点Q即为所求， 此时v 2由对顶三角形显然有ZC3D>30° ,进而可解，求出CD：和刃财长后，就能求 出此题的最终答案了2ZCBDf=30°, CDf=7310 5M、.【归纳】3胡不归问题模型的解題方案："S弊1:将所求线段和转换为巴・加-助<0<-<1）的形式（以上题为例〉；♦m m阴2:在直线/的异干曲的一侧作厶，使其正弦值为上；“ mW3:过点BfSjZa的月一边上引垂线段，其与直线？的交点即为所求。

"S吶:剩下的就罡计算了，可叹借助三角函数、相似形、勾股定理尊知识完成用模】a重，点感受一下中考里面罡女m可考查"胡不归问题”的例1、如图，在△JCE中，CA=CE, ZCAE=3Oa, OO。