
高三数学7向量法求空间角试题通用.doc
5页高三数学 7向量法求空间角试题1利用向量求直线与平面所成的角 【例4】(2020届四川省南充市高三第一次高考适应)已知某几何体的直观图和三视图如下如所示,其正视图为矩形,侧视图为等腰直角三角形,俯视图为直角梯形.设直线C1N与CNB1所成的角为,则的值为 .【解析】 该几何体的正视图其正视图为矩形,侧视图为等腰直角三角形,俯视图为直角梯形 则,,两两垂直.以,,分别为,,轴建立空间直角坐标系,则,,,,设为平面的一个法向量,则 即,令,则又则,从而.【评注】 由三视图确定几何体利用向量求线面角,要理清向量的夹角与空间角的关系,如:异面直线PA与DE所成的角的取值范围是(0,],向量与所成的角〈,〉的取值范围是[0,π],线面角θ的范围是[0,],且sin θ=|cos〈,n〉|=. 【变式1】四棱柱中利用向量求线面角(2020上海高考19) 如图,在长方体中,,,、分别是、的中点.证明、、、四点共面,并求直线与平面所成的角的大小.因此直线与平面所成的角的大小为.【变式2】四棱锥中利用向量求线面角(2020厦门市高三上学期质检)如图,菱形的边长为,对角线交于点,.若,上一点满足,则直线与平面所成角的正弦值为 2. .【解析】∵DE⊥平面ABCD,OF∥DE,∴OF⊥平面ABCD,以O为原点OA,OB,OF分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,如图所示:则,设平面BCE的法向量为,则取,则设直线AF和平面BCE所成的角为,则sin=.2利用向量求二面角 【例5】(2020陕西高考理)如图,在直角梯形中,,,,,是的中点,是与的交点.将沿折起到的位置,如图. (I)证明:平面;(II)若平面平面,求平面与平面夹角的余弦值.【解析】(I)在图1中,因为AB=BC=1,AD=2,E是AD的中点,BAD=,所以BE AC即在图2中,BE ,BE OC从而BE平面又CDBE,所以CD平面.(II) 由已知,平面平面BCDE,又由(1)知,BE ,BE OC所以为二面角的平面角,所以.如图,以O为原点,建立空间直角坐标系,因为, 所以得 ,.设平面的法向量,平面的法向量,平面与平面夹角为,则,得,取,,得,取,从而,即平面与平面夹角的余弦值为.【评注】 在处理二面角问题时先求两平面的法向量的夹角,设m,n分别为平面α,β的法向量,则二面角θ与
【变式1】三棱柱中利用向量求二面角(2020·新课标全国卷Ⅰ)如图三棱柱中,侧面为菱形,.若,,AB=BC,则二面角的余弦值为 1.【解析】注意题设的特殊性,合理建系算出二面角, 因为AC⊥AB1,且O为B1C的中点,所以AO=CO.又因为AB=BC,所以△BOA△BOC,故OA⊥OB,从而OA,OB,OB1两两垂直.以O为坐标原点,的方向为x轴的正方向,为单位长度,建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz.因为,所以△CBB1为等边三角形,又AB=BC,.,.设是平面AA1B1的的法向量,则,即,所以可取.设是平面A1B1C1的法向量,则,同理可取.则,所以二面角的余弦值为. 【变式2】三棱柱中利用向量求二面角(15年广州市上学期期中)在三棱柱ABC—A1B1C1中,已知,,在底面的射影是线段的中点.则二面角的余弦值为 2. 【解析】 如图,分别以OA,OB, 所在直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,则,由,得点E的坐标是,易知平面的一个法向量为设平面的法向量是,由得可取,所以. 。
