不等式的证明方法综述.doc

目 录1 引言………………………………………………………………………………12 文献综述…………………………………………………………………………12.1国内外研究现状…………………………………………………………………12.2国内外研究现状评价………………………………………………………… 22.3提出问题…………………………………………………………………………23 预备知识 ………………………………………………………………………24 不等式的概率证法…………………………………………………………… 34.1 概率方法中利用事件的性质来证明的一类不等式……………………………34.2 概率方法中运用数学期望来证明的一类不等式………………………………55 结论……………………………………………………………………………165.1 主要发现 ………………………………………………………………………165.2 启示 ……………………………………………………………………………165.3 局限性 …………………………………………………………………………175.4 努力方向 ………………………………………………………………………17参考文献………………………………………………………………………181 引言不等式的证明方法很多，技巧也很灵活，可以用初等数学的方法证明，也可以用高等数学的方法证明，不少问题需要几种方法综合使用才能解决．而概率论作为数学领域中的一个重要分支，与数学各个分支之间有着广泛的联系，因此通过不等式来探讨它们之间的内在联系具有十分重要的意义．本文就利用了概率空间中所对应的形式来证明数学中一类常见的不等式，用以显示概率论思想在解决某些数学问题时所具有的独特而简洁的功效. 运用概率论方法证明不等式的关键是根据不同的数学问题建立相应的随机概率模型，然后利用函数、概率之间的相关性质作出问题的解答．本文较全面的总结了用概率思想证明不等式的几种方法，为不等式的证明提供了一些具有概率背景的思路和方法.2 文献综述2.1国内外研究现状概率论的发展是建立在微积分的基础之上的，微积分的思想方法渗透在概率论的各个方面，没有微积分的推动就没有概率论的理论和系统化，概率论就难以形成一门独立的学科．概率论已广泛应用在社会经济生活的各个领域，同时在高等数学的教学过程中，把概率论的思想方法渗透到不等式的证明中以是重要研究方向之一．现查阅到的国内外参考文献[1-15]中，王林书在文献[1]中介绍了概率的相关知识，但用概率来证明不等式只是提到，未进行研究； 华东师大数学系编的数学分析上册（第三版）即文献[2]中也只是提到了用概率来证明不等式的思想； 李子强、茆诗松等2人分别在文献[3-4]中都介绍了概率的一些知识； 王利霞、黄旭玲等2人分别在文献[5-6]中研究了概率方法在证明一些不等式等数学问题中的巧妙应用； 侯茂文在文献[7]中研究了一类与凸函数有关的不等式的概率证法； 钱小燕在文献[8]中研究了数学分析中一些著名不等式和极限式的概率证法；李智明在文献[9]中介绍了概率方法在其他数学问题中的应用；戴朝寿、林正炎、刘南山、刘龙章、贾兆丽等5人分别文献[9-14]中不同程度研究了不等式的概率证法；翁耀明在文献[15]中对不等式的概率证法给出了相应的理论方法并给出了一些应用，但研究都集中在比较简单的情形，对较一般的一类不等式并没有进行深入的研究．这些文献大多集中在概率论在一类不等式证明中的理论研究，并没有对其应用加以系统的阐述． 2.2国内外研究现状评价在查阅到的国内文献[1-15]中，国内外研究比较多的是概率论在一类特殊不等式证明中的理论方法和应用的研究，而对于在解决高等数学中较一般的一类不等式的证明并没有进行太多的研究，并且这方面的资料极少，研究也不是很深入，因此，对概率论方法在一类不等式证明中的研究有着重要的意义．2.3提出问题概率论是对随机现象统计规律演绎的研究，随机现象的普遍性使得概率论具有极其广泛的应用，而不等式的证明是数学中常见的问题，也始终是数学中的难 点，因此，为了解决一类不等式的证明问题，本文运用了一种巧妙的方法——概率方法．即根据不等式的主要特征结合概率论的一些基本概念和公式，通过建立一个适当的概率模型，赋予一些随机事件或随机变量的具体涵义，再利用概率论的理论加以证明，从而使一类不等式的证明大大简化．3 预备知识（1）联合密度函数当随机变量相互独立时，我们规定.为其联合密度函数(其中分别为的边际密度函数)． （2）数学期望当时， 当时 ，为离散型 ，为连续型.（3）詹森Jensen不等式若为上的连续凸函数，则对任意 ，有.（4）随机变量概率分布的性质若为上的随机变量， 为定义在某区间上的连续凸函数，则的数学期望的函数值小于等于其函数值的数学期望，即 . 若为定义在某区间上的连续凹函数，则的数学期望的函数值大于等于其函数值的数学期望，即. （5）施瓦茨(Schwarz)不等式设的数学期望和方差都存在，则.（6）对随机变量，当存在时，有.（7）对任意两个事件若，则.（8）对任意两个事件，.4 不等式的概率证法4.1概率方法中利用事件的性质来证明的不等式 命题1. 若，则.证法一：要证 ，即证 而 .又因为.所以 . (1)即得 .即 . 证法二：由方法一中的（1）我们已经知道要证明结论成立，只需证明.我们先建立一个概率模型，设事件相互独立，且事件发生的概率为，事件发生的概率为，即 ， ..而因为事件相互独立，所以 . 又因为 所以 .即.结论得证命题2. 若都是大于等于0小于等于1的数，则有. 证法一：因为.所以结论即证证法二：通过观察要证的不等式，我们可以发现很像是概率的一些运算，所以我们想到构造这样的概率事件，设是概率分别为的相互独立的事件，则由概率中事件之间的关系及运算得：.又 . 又因为是相互独立的事件，得. 同理可得 . 而.因此. 从这两个例子中我们看到，尽管普通运算可能在步骤上简单些，但适当的使用概率方法使得解题思路很清晰、简洁，把抽象的数学问题具体化，具有创造性．4.2概率方法中运用数学期望来证明的一类不等式命题3. 证法一：先证明不等式的前半部分，设，因为 所以 为连续的凸函数，由詹森不等式得令 ，则 .即 .所以 .再证明不等式的后半部分要证 , 即证 ,即 . 而 后半部分得证，所以 .证法二：与证法一类似，先证明不等式的前半部分再证后半部分，先构造离散的随机变量，设其概率函数为， .则的数学期望为 .设 则 的数学期望为.因为 所以为连续的凹函数，故有. 即 .所以 .后半部分的证明: 因为 .根据,得.即 .所以 .命题4. （柯西不等式）.证法一：令，因为在时为连续的凸函数，由詹森不等式知. 令，得 。

即 .令 ,,.则 .即 .所以 .两边同时让从1加到时不等式的右边为1，得，所以，.即得 .证法二: 先构造一个二维的随机变量它的联合分布为 … 0 0 0 0 0 0… 0 0 … 0 … 0 0 0 … 由离散随机变量函数的数学期望的公式得 .，的数学期望分别为 ， .由施瓦茨不等式 ， 得.所以 .命题5. （Holder不等式）设 是组正数， 且 ，则 .证法一：令 () ，则 ， 所以为连续的凸函数，由詹森不等式 ，有 .即 .所以. 令 , .则 .两边同时对求和，不等式的左边为，所以 .即 .证法二: 先构造一个随机变量，其分布为离散型分布 ，.取，由知它在上是连续的凹函数，又数学期望为.而的数学期望为.又 .得 .即 . 令， ，…， ，将其代入得.两边同时让从1加到，左边的和为1，则().命题6.（平均不等式）设， () 则有.证法一：令()，则，则为连续的凸函数，由詹森不等式，，即 .令 ，.即所以证法二：首先我们注意到不等式的右端=.而，很像是在求数学期望，所以我们构造一个离散随机变量，其分布列为 ，则其数学期望为.再构造一个函数， ()知它在上是凸函数，所以.而 即.故得证.命题7. （Hadamar不等式）已知是上的二阶可导函数，且为凸函数，则 ． 证法一：先证明前半部分，因为为上的凸函数，所以对任意的，任意的，有.当时，有.所以 ， 有 .又因为 在上连续，对上述式子关于求积分，即 [].令,有[]=.所以 .再证后部分: 任意的, 则令,.所以结论得证. 方法二：由中间的式子观察发现，此式子很像是在求均匀分布函数为的数学期望，所以我们可以先构造一个连续的随机变量为上的均匀分布，其密度函数为.则.而.又因为在闭区间上是连续的凸函数，而，所以.下证后半部分：若用概率方法还得使用(为凸函数时),而我们观察,如果能构造一个函数分布使其数学期望就行了所以我们想到构造一个离散的随机变量，当为时，；当为时，.所以 . .而 .又因为在闭区间上是连续的凸函数，所以.得 且.不等式两边从到求积分，即得.所以 有.即证 .命题8. 设在闭区间上可积，且，若在上二阶可导．且，则. 证法一：因为在上二阶可导，所以 又因为 所以 (9)因为 所以 所以有 令。