高等数学考研大总结之四导数及微分.doc

第四章 导数与微分第一讲导数一， 导数的定义：1函数在*一点处的导数：设 在*个有定义,如果极限(其中称为函数在(,+)上的平均变化率(或差商)称此极限值为函数在处的变化率)存在则称函数在点可导.并称该极限值为在点的导数记为,假设记则==解析：⑴导数的实质是两个无穷小的比 即：函数相对于自变量变化快慢的程度,其绝对值越大,则函数在该点附近变化的速度越快⑵导数就是平均变化率(或差商)的极限,常用记法: ,,⑶函数在*一点处的导数是研究函数在点处函数的性质⑷导数定义给出了求函数在点处的导数的具体方法,即：①对于点处的自变量增量,求出函数的增量〔差分〕=②求函数增量与自变量增量之比③求极限假设存在,则极限值就是函数在点处的导数,假设极限不存在,则称函数在处不可导⑸在求极限的过程中,是常数,是变量, 求出的极限值一般依赖于⑹导数是由极限定义的但两者仍有不同，我们称当极限值为时通常叫做极限不存在，而导数则不同，因其具有实在的几何意义，故当在*点处左，右导数存在且为同一个广义实数值时我们称函数在*点可导实质是给导数的定义做了一个推广⑺注意: 假设函数在点处无定义,则函数在点处必无导数,但假设函数在点处有定义,则函数在点处未必可导。

2 单侧导数：设函数在*个〔或〕有定义，并且极限〔或〕存在，则称其极限值为在点的左〔右〕导数，记为：或〔或〕左导数和右导数统称为单侧导数函数在*一点处有导数的充要条件：左导数和右导数存在且相等3 函数在*一区间上的导数：⑴在可导：如果函数在开区间每一点都可导，则说在可导〔描述性〕⑵在可导：如果函数在可导且存在则说函数在上可导4 导函数：如果函数在区间I上可导，则对于任意一个都对应着唯一一个〔极限的唯一性〕确定的导数值，这样就构成了一个新的函数，称为函数的导函数记为：或或或，由此可知函数*一点处的导数实质是在点处的导函数值解析：〔1〕区别与：表示函数在点处的导函数值，而表示对函数值这个常数求导，其结果为零〔2〕与在*一区间可导的关系：在*一区间可导就是在该区间上存在导函数5可导与连续的关系：可导必连续，但连续不一定可导二，导数的几何意义：当y=表示一条曲线时,则表示曲线在点的切线的斜率，的正和负分别表示曲线在该点是上升还是下降.的大小则表示曲线在该点的邻域起伏的程度,越小说明曲线在该点的邻域近似水平,反之越大说明曲线在该点的邻域越陡,起伏明显解析：⑴用曲线上*点和增量点连线的割线的斜率的极限来表达曲线在*点的斜率。

⑵过曲线y=上的点(,)的方程:①切线方程-=(*-).②法线方程: -=(≠0)⑶如果点P(A,B)在曲线y=外,则过P点与曲线相切的切线有两条⑷假设=说明函数的曲线在点处的切线与*轴垂直假设=0则说明的曲线在点处的切线与*轴平行三，导数的四则运算如果函数及都在点具有导数,则其和差积商(除分母为零的点外)都在点具有导数⑴⑵⑶解析：和差积可推广为有限项即：⑴⑵四，几类函数的求导法则1反函数的求导法则：如果函数在区间单调且则它的反函数y=在区间也可导，且或即：ｙ是ｘ的函数反函数的导数等于直接函数导数的倒数解析：⑴且在点y处连续⑵反函数求导法则的几何意义：由于是函数的曲线上点*处的切线与*轴正向夹角的正切而反函数与y=在同一坐标系中有一样的曲线，只不过反函数的自变量是y所以导数就是y=曲线上*的对应点y处的同一条切线与y轴正向夹角的正切，因此：即：〔，之和为〕2 复合函数的求导法则〔链式求导〕：如果在点可导，而y=在点可导，则复合函数在点可导，且其导数为：或解析：⑴复合函数整体在*点是否可导与和在*点是否可导无关⑵逐层分解为简单函数在求导，不重，不漏3 隐函数求导法则：对方程所确定的隐函数求导，要把方程的两边分别对求导即可。

在求导过程中应注意是的函数，所以在对或的函数求导时应理解为复合函数的求导4 参数方程求导法则：由参数方程所确定的ｙ与ｘ的函数的导数为：解析：注意理解5 对数求导法则：是求幂指数型导数的有效方法即：对函数的两边同时取对数，然后根据对数的性质将作为指数的函数化为与相乘的一个因子，再利用上述方法求导6 两个结论：⑴可微分的周期函数其导数仍为具有一样周期的周期函数⑵可微分的偶函数的导函数为奇函数，而可微分的奇函数的导函数为偶函数这个事实说明：凡对称于轴的图形其对称点的切线也关于轴对称凡关于原点对称的图形，其对称点的切线互相平行五，常见函数的一阶导数⑴〔ｃ为常数〕⑵⑶⑷⑸⑹⑺⑻⑼⑽⑾⑿⒀⒁⒂⒃⒄⒅⒆⒇〔21〕〔22〕〔23〕六，高阶导数设是函数在I上的导数，并且也在I上可导，则称在I上二阶可导，并称的导函数是在I上二阶导数，记为：或，一般地，设是在区间I上的阶导函数并且也在I上可导则称在I上ｎ阶可导，并称的导函数是在区间I上的ｎ阶导函数记为：当函数由给出时的ｎ阶导数也可表示为：假设在点的ｎ阶导数常记为：解析：⑴规定函数的零阶导数为函数的本身⑵该定义的给出具有数学归纳法的性质，因此在求*一函数的高阶导数时常用数学归纳法。

⑶的ｎ阶导数是由的阶再一阶导而求得，所以其具有逐阶刻画的性质⑷高阶导数的常用求法：莱布尼茨(Leibniz)公式：上的ｎ阶连续函数〕其展开式为： 七，常见函数的高阶导数⑴〔Ｃ为常数〕⑵⑶⑷⑸⑹⑺⑻⑼⑽⑾⑿⒀设且则有⒁设且则有〔⒀，⒁用同一函数的思想求ｂ，ｃ〕⒂〔其中〕第二讲 微分一，微分的定义设在点的*个邻域中有定义如果存在常数A使则称函数在点可微，并称为在点处的微分，记为：其中称为函数增量的线性主部解析：⑴给出了求函数值的改变量的近似计算方法〔极限的无穷小判别法〕，简单地反映了函数增量与自变量增量的关系即：线性关系这是一种局部线性逼近的思想⑵令函数则这说明自变量的微分就是它的增量⑶导数与微分的关系：函数在点ｘ处可微的充要条件是函数在该点可导，并且有〔一种常见求微分的方法〕，所以导数称为微商⑷ 函数的微分是关于的线性函数，〔其中〕且函数的导数与无关二，导数与微分几何意义的比较三，微分的四则运算法则设均可微分则有：⑴⑵〔ｋ为常数〕⑶〔ｋ为常数〕四，复合函数一阶微分形式的不变性设函数，均可导，则复合函数的导数为故其微分为：注意，因此上式为：，无论ｕ是自变量还是中间变量都保持形式的不变性解析：第一类积分换元法〔凑微分〕的理论根底。

五，微分的近似计算及误差估计1 微分的近似计算：假设函数在点处可微，则当很小时，可用微分近似代替增量即：解析：⑴用微分进展近似计算的实质就是在微小局部将给定的函数线性化，将复杂函数简单化，从几何意义角度看就是用曲线在点处的切线来近似代替该曲线〔到达化曲为直的目的〕另一种理解就是寻求其等价无穷小量⑵用函数微分近似计算时要注意：①不一定是无穷小量但应比较小②应是一个不依赖于ｘ的增量⑶一般利用微分解决四个方面的问题：①计算函数增量的近似值即：②计算函数的近似值即：③求方程的近似解即：④按照误差的精度要求进展近似计算2 微分在误差估计中的实际应用：设*量的测量值为ａ，准确值为A如果则正数称为测量的绝对误差称为测量的相对误差，而在实际应用中相对误差多用来计算解析：分清准确值与测量值六，高阶微分由于对自变量来说=与无关，因此可微函数的微分仍是的函数这样假设还可微，则把它的微分叫做函数的二阶微分，并将记作：，把记作：，于是二阶微分为由此可以更一般地假设的阶微分仍可微，则把它的微分：叫做的ｎ阶微分，这时称函数ｎ阶可微，二阶与二阶以上的微分称为高阶微分解析：⑴其描述过程具有数学归纳法的性质，所以求解高阶微分的一般方法为数学归纳法。

⑵高阶微分没有微分形式不变性第三讲 导数的应用一，函数的单调性：设函数在上连续，在可导⑴如果在则函数在上单调增加⑵如果在则函数在上单调减少解析：⑴区间具有任意性，无论开闭还是有穷，无穷均可⑵假设在则严格单增，假设在则严格单减⑶在该定理中我们研究的是导函数值域的性质，并不是*一点导函数值的性质，而是区间上任意点导函数值的性质⑷此定理为充要条件，所以结合定义域可求出*函数的单调增〔减〕区间，与此同时一定要针对函数的单调区间去谈函数的单调性⑸几何意义：由函数的导数的正负来判断曲线的升降，进而判断其单调性⑹该定理具有逐层描述的特性，即：二阶导函数的正负决定一阶导函数的增减性，可推广到ｎ阶二，函数的极值1函数极值的定义：设函数在点的*邻域有定义，如果对于其去心邻域的任一ｘ有〔〕则称是函数的一个极大值〔或极小值〕函数的极大值与极小值统称为函数的极值使函数取得极值的点称为极值点解析：⑴在研究函数在点处的极值时，一般要求函数是连续函数即：应考察函数在点及其附近是否有定义⑵极值是一个局部性定义，它只与一点及其附近的函数值有关，而与整个定义域或定义域*个区间上的一切函数值无关，因此对于同一个函数来说在一点的极大值也可能小于另一点的极小值。

在一个区间可能取得多个极值〔极值与最值的区别〕⑶极值点处函数曲线的切线平行于ｘ轴，即：导数为0，但导数为0的点〔或称稳定点，临界点，驻点〕不一定是极值点换句话说，费马(Fermat)引理只是可导函数极值的必要条件⑷函数极值与方程根的个数有一定的关系2 常用两种极值的判别法〔两个充分条件〕：⑴第一判别法：设函数在连续在上可导①假设当时，当时则在取得极大值②假设当时，当时则在取得极小值解析：⑴反映了单调性与极值的关系⑵按此法求极值的步骤：①确定函数的定义域②求函数的导数③令求出函数的所有驻点和不可导点④检查在各驻点附近左右的值的符号，如果左正右负则在这个驻点取得极大值，如果左负右正则在这个驻点取得极小值，如果左右同号，则函数在这个驻点不取得极值⑤求出函数在所有极值点的函数值就得到函数的各极值⑵第二判别法：设函数在处具有二阶导数且则①当时函数在处取得极大值②当时函数在处取得极小值解析：⑴其与函数的凸凹性是统一的⑵有时多用第一，二判别法综合起来使用⑶按此法求极值的步骤：①确定函数的定义域且函数在定义域有二阶导数②求函数的一阶导数和二阶导数③令求出函数的所有驻点和不可导点④计算各驻点〔有不可导点时用列表法〕的二阶导数值，假设二阶导数值为正则函数在该点取得极小值，假设二阶导数值为负则函数在该点取得极大值。

假设二阶导数值为0则此法失效⑤求出函数在所有极值点的函数值就得到函数的各极值⑶定理推广：假设函数在上至少存在阶导数且而则⑴ｎ为奇数则函数在不取得极值⑵ｎ为偶数则函数在取得极大值；ｎ为偶数则在取得极小值解析：上述等式可用高阶泰勒(Taylor)公式证明三，函数的最值1函数的最值与极值的区别与联系：⑴从研究围看函数的极值是局部性的，它只与*一点及其附近的函数值有关，因此对于整个区间来说可能存在多个极值而函数的最值则不然，它与闭区间上的任意一点的函数值有关是对整个区间来说的，因此是唯一的⑵最值与极值没有必然的联系即：如果在区间部取得函数的最值，它不一定是极值同理取得函数的极值，它不一定是最值并且最大值不一定比极小值大⑶求函数在*点的极值时仅把该点的函数值与该点附近的左右函数值相比较，而求函数在闭区间上的最值时，需要与开区间的所有函数值比较并且还要与端点处的函数值比较2 求闭区间上函数最值的步骤：⑴求函数的导数⑵令求出函数在开区间的所有驻点和不可导点⑶求出开区间的所有可能的极值〔包括驻点和不可导点处的值〕和区间端点的函数值⑷比较上述所有函数值，选出最大者为函数在上的最大值，最小者为函数在上的最小值。