2022年高考数学大一轮复习资料.pdf

7.5 直线与平面垂直一、选择题1.设，、是两条不同的直线，a,p,7是三个不同的平面，给出下列四个命题，其中正确命题的序号是（）若，J_a,n/a,则，_L；若 tn V a,则，_Ly；若，a,”a,则”?；若 a_Ly,P-7 贝!I a/?.A.和 B.和 C.和 D.和答案：A2.二面角一/一”的大小为锐角，尸 2/,PAa,P3U/?且 P 4 J J,贝 1 J（）A.N A P8的最大值等于二面角的平面角B.N A P8的最小值等于二面角的平面角C.二面角的平面角既不是N A P8的最大值，也不是N A P3的最小值D.N A P8就是二面角的平面角解析：如右图，在 平 面 4内 作 PC _L/,则N A PC 为二面角的平面角，cosNAP5=cosNBPCcos/APCW cosNAPC,即NA尸 B d N A P C,故选 B.答案：B3.二面角a-A 5-7?的平面角是锐角，CGa,C D L p,垂足为D,E&A B,且NCEB是锐角，则NCEB与N O E5的大小关系为（）A.NCEBNDEB B.NCEBVNDEBC.NCEBWNDEB D.N C E8与N O E8的大小关系不确定解析：如下图：作 OFLAB垂足为尸，连结C F 由三垂线定理知NCPD为二面角的平面角，可知NCE。

/O E 5 均为锐角，cosZCEB=cosZDEB cosZ CED NDEB*答案：A4.矩形4 5中，A 8=4,B C=3,沿 AC将矩形4BCZ）折成一个直二面角8 4一 ,则四面体ABCZ的外接球的体积为（）125 125-125-125A.-jjyzr3一 冗答案：c二、填空题5./?是两个不同的平面，?、是平面a 及/?之外的两条不同的直线，给出四个论断：/?；，_L a,以其本三个论断作为条件，剩余的一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题_.答案：可填0 与0 中的一个6.一条线段的两个端点分别在一个直二面角的两个面内，则这条线段与这两个平面所成的角 的 和 的 范 围 是.解析：作 ACJ_/垂足为C,作 8垂足为O,连结8C、AD,则NBAO和NABC分 别 为 直 线 和 平 面 a 和所成角.由 cosZAB=cosZABC-cosZDBCcosZABC,即 NABDZABC,ZABC+NBADW ZABD+ZBAD=90.答案：(0,907.已知是ABC所在平面a 外一点，是点P 在平面a 内的射影 若P到ABC的三个顶点的距离相等，则O是ABC的；(2)若 如、PB、PC与平面a 所成的角相等，则。

是A3C的；(3)若P到A8C三边距离相等，且O在4 3 C 的内部，则O是A3C的；(4)若平面PAB.PBC.PCA与平面a 所成的角相等，且O在A8C的内部，则 O 是4 A 8 c的;(5)若 玄、PB、尸 C 两两垂直，则是A8C的.答案：外 心 外 心 内 心(4讷 心 垂 心三 解答题8.若尸为48 C 所在平面外一点，且 R1_L平面ABC,平面R4CL平 面PBC,求证:BC1.AC.证明：平面R4CL平面P 8 C,作 4QJ_PC垂足为O,根据平面与平面垂直的性质定理知：AOJ_平面尸5 C,则 8CJL4O,又平面A 5 C,贝(.CLL平 面 出 C.因此BCL4c.9.如右图，在四棱锥旷一4 3中，底 面 A8CZ)是正方形，侧 面 0 1Z)是正三角形，平面必 1OJ_底面A3C证明A3J_平 面VAD；(2)求 面 E4O与 面 U3O所成的二面角的正切值.解答：(1)证明：,平面E 4O,底面A8C又 4B_LAO,贝！I 43_L,平面 UW.取 V中点E,连结AE、BE.Ml是正三角形，则 AEJLV由三垂线定理知8EJLVD:.NAEB为 面 VAD与 面 VBD所成二面角的平面角.A设 AB=L 在 RtZkAEO 中，AE=ADsin 60。

/.tanZAEB=AB _2y3AE=3,1 0.如下图所示，在正方体A8CO-4B1GO1中，P 是棱AO的中点，求二面角4 一5 一P 的大小.解答：平面A O iP,二平面AOiP_L平面A/.过户作PEJ_AOi垂足为E,则 PE_L平面 A D tB,作 EFl.BDlt 连结 PF,则由三垂线定理知PF_LBOi,则NPFE为二面角4 一81一尸的平面角，设 A 8=LV RtZkAEPs RtAADDi,祭=盖：.收=纥 匕 小=申,AU UUi AD 4在等腰尸8 U 中，笈尸=雪，B F=B D i=,.PF=NBp2_8严=坐,在 RtZkPE尸中，sin Z P F E=|,:.NPFE=3Q选做题1.如图，四棱锥S-A B C D 中,底面A BCD为平行四边形,侧面S 8 c l.底面A5CD已知ZABC=45,AB=2,BC=2巾,SA=SB=y/3.(1)证明 SABC；(2)求直线SD与平面SBC所成角的正弦值.解答：证明：作 S0_L 3C,垂足为0,连结A由侧面S5C_L底面A3C得 SOJL底面ABCD.因为S A=S 5,所以4 0=5 0.又N 45C=45。

故A 0 8 为等腰直角三角形，A O B O,由三垂线定理，得 SALBC.(2)由知 SA_L8C,依题设 AOB C,故 SA_LAO,由 A O=8 C=2 g,SA=小,A 0=y/2,得 SO=L S D=.SA8 的面积：St=1AB-JSA2-(|AB)2=V2.连结 D B,得ZM8 的面积 S2=AB ADsin 135=2.设到平面SAB的距离为儿 由丹_SAB=MS_AZ如 得 热 Si=：S0S2,解得力=也.设SD与平面SAB所成角为a,则 sin=忐=焉=隼.所以，直线S与平面SAB所成的角正弦值为隼.2.如下图，已知四棱锥尸一48cO,P B V A D,侧 面 RLD为边长等于2 的正三角形，底面ABCD为菱形，侧 面 PAD与底面A BCD所成的二面角为120.求 点 P 到平面ABCD的距离;求面AP8与 面CP8所成二面角的余弦值.解答：如下图，作POJ平面A8CD,垂足为连 结QB、0A、0D,0 8与AO交于,连结尸E,：ADLPB,：.ADA.0B,：PA=PD,：.0A=0D,于是0 8平分A O,点E为4的中点，.,PE_LAD由此知N尸E 5为面PAD与面ABCD所成二面角的平面角，:.NPEB=120,NPEO=60.由已知可求得P片=由，：.PO=PE sin 60。

小 乂*=；,即点P到平面ABCD的距离为右（2）如右图建立直角坐标系，其中O为坐标原点，工轴平行于DA.P（0,0,不，B（0,峥,O）,P B中点G的坐标为（0,季，当，连 结AG.6 L 4 4又知 A（l,学,0）,C（一 2,曜,0）,由此得到高=（1,一事,一年），茴=（0,季,一不，*L i L i 蒜_1奇，龟1奇，威，奇的夹角6等于所求二面角的平面角，-A于是cos 0=丝.上一邛,所求二面角的余弦值为一续IGAHBCI 7 7。