质数 合数 分解质因数.docx

质数质数 合数合数 分解质因数分解质因数在自然数中，一个数除 1 和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数，也叫做素数．例如2，3，5，7，11，……都是质数．一个数除了 1 和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数．例如4，6，8，9，12，……都是合数． 1 既不是质数，也不是合数．这样，自然数在按约数个数分类，可以分成：质数、合数和 1．偶数中只有 2 是质数，而且是所有质数中最小的一个．除 2 以外所有的偶数都是合数，除 2 以外所有的质数都是奇数．每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，这几个质数就叫做这个合数的质因数．例如，因为70=2×5×7，所以 2，5，7 是 70 的质因数．把一个合数用质数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数．例如，60=2×2×3×5=22×3×5，把60 这个合数用 2×2×3×5 或 22×3×5 的形式来表示，就是把 60 分解质因数．例 1 两个质数的积是 46，求这两个质数的和．分析：两个质数的积是 46，46 是偶数，只能是一个奇质数与一个偶质数的积，而偶质数只有2，因此很容易得出另外的质数，从而问题得以解决．解：因为 46 是偶数，因此它必是一个奇质数与一个偶质数的积，而偶质数只有 2，另一质数46÷2=23，所以 2 与 23 的和为 25．例 2 用 2，3，4，5 中的三个数能组成哪些三位质数？分析：首先考虑个位数字是几，如果个位数字是 2 或 4，这样的三位数必能被 2 整除，因此这样的三位数不会是质数，如果个位数字是 5，这样的三位数必能被 5 整除，这样的三位数也不会是质数，所以个位数字只能是 3，再由剩下的三个数字组成百位、十位，得出个位数字是 3 的三位数为：243，423，253，523，453，543，最后根据质数的判断方法，得到所求的质数．解：如果组成的三位数的个位数字是 2、4、5时，这个数必能被 2 或 5 整除，因此个位数字只能是 3，而个位数字是 3 的三位数有243，423，253，523，453，543，其中243，423，453，543 均能被 3 整除，253 能被 11整除，所以只有 523 是质数．质数的判断方法是，当一个数比较小时，用定义直接判断，但这个数比较大时，通常采用查质数表，最好记住 100 以内的所有质数．在没有质数表的情况下，可以用质数从小到大的顺序逐个地去试除．如果能被其中某一个质数整除，就说明这个数是合数，如果除到商已比试除的质数小，还不能被这些质数中的任何一个整除，那么这个数一定是质数．例如，判断 100 以内的数是否是质数，只需用2、3、5、7 这四个质数去试除，如果没有一个能整除它，这个数一定是质数，否则不是质数．判断97 是不是质数，因为 97 不能被 2，3，5，7 中的任何一个整除，因此 97 是质数．为什么不必去试除比 97 小的所有的质数呢？因为 97 不能被2，3，5，7 中的任何一个整除，它就一定不能被4，6，8，9，10 等数（分别为 2，3，5 的倍数）整除，又因为，如果用 11 或大于 11 的质数去试除，97÷11=8…9， 97÷13=7…6，其商为 8、7，比除数还小，都已试除过，因此判断 100 以内的数是否是质数只需用 2，3，5，7 去试除．判断 200 以内的数是否是质数，只需用2，3，5，7，11，13，17 这七个质数去试除；判断 300 以内的质数，只需用 2 到 17 这七个质数去试除；判断 400 以内的质数，只需用 20 以内的八个质数与去试除；判断 500 以内的质数，只需 2到 23 的质数去试除．其余可用类似的方法推出，你可以思考一下 1000 以内的质数如何判断？例 3 将 40，44，45，63，65，78，99，105这八个数平分成两组，使每组四个数的乘积相等．分析：如果采用观察、计算调整的方法是比较麻烦的．要使两组数的乘积相等，只有两组数中的质因数相同，而且质因数的个数也相同，就可以了，所以从这八个数分解质因数入手，根据各质因数的个数，进行适当的搭配，便能找出问题的答案．解：将八个数分解成质因数：40=23×5 44=22×1145=32×5 63=32×765=5×13 78=2×3×1399=32×11 105=3×5×7这八个数分解质因数后一共有 6 个 2，8 个3，4 个 5，2 个 7，2 个 11，2 个 13．因此，这八个数被分成两组后，每一组应含有 3 个 2，4 个3，2 个 5，1 个 7，1 个 11，1 个 13，这样可以得到两组分别为：40，63，65，99 和44，45，78，105．例 4 360 有多少个约数？分析：如果先求 360 的所有约数，再数出它们的个数，显然比较麻烦．为此，先将 360 分解质因数：360=23×32×5，360 的任意一个约数均由若干个 2 或 3 或 5 组成，我们将 360 的所有约数列成下面的数阵：1 2 22 233 2×3 22×3 23×332 2×32 22×32 23×325 2×5 22×5 23×53×5 2×3×5 22×3×5 23×3×532×5 2×32×5 22×32×5 23×32×5这个数阵共 6 行，每行 4 个约数，所以 360 共有 4×6=24 个，而 24=（3+1）×（2+1）×（1+1） ，这里 3，2，1 恰好是 360 分解质数式子中 2，3，5的个数，从而得到下面关于约数个数的一个重要结论：一个大于 1 的整数的约数个数，等于它的质因数分解式中每个质因数的个数加 1 的连乘积．用数字式子表示为：如果 A 分解质因数为：则 A 的全体约数的个数为：（r1+1）×（r2+1）×…×（rn+1）例 5 有 30 个约数的最小自然数是多少？分析：设所求的数为 A，则 A 有 30 个约数，因为 30= 30×1=2×15=6×5=10×3=2×3×5，要使 A 最小，一般使 A 的质因数的幂指数尽可能小，质因数的个数尽可能少， 所以 A 必为下列形式：其中 a1，a2，a3 为互不相同的质数．要使 A 最小，a1，a2，a3 尽可能小，显然a3=2，a2=3，a1=5，这样A=24×32×5=720解：因为30=30×1=2×15=6×5=10×3=2×3×5，而且题中要求a2、a3 为互不相等的质数，为了使 A 最小，a3=2，a2=3，a1=5，所以 A=24×32×5=720．例 6 九个连续自然数中至多有四个质数，例如 1 至 9 中有 2、3、5、7 四个质数．请在 200 以内再找出五组这样的质数．分析：9 个连续自然数中至多有 5 个奇数．在两位数中，个位是 5 的数必能被 5 整除，而且三个连续的奇数必有一个能被 3 整除，所以只有当个位数字为 5 的两位数又能被 3 整除时，其余的四个奇数才有可能是质数．当找到一组这样的两位以上的质数时，另一组与这组对应的数的差必定是 30 的倍数．按照上述办法找出后，再根据质数的判断方法去筛选就可得出结果．首先容易得出 3，5，7，11；5，7，11，13；在两位数中，按照上面的方法可得出以下各组数：11，13，15，17，19；41，43，45，47，49；71，73，75，77，79；101，103，105，107，109；131，133，135，137，139；161，163，165，167，169；191，193，195，197，199；根据质数的判断方法可以得出两位数中还有11，13，17，19；101，103，107，109；191，193，197，199 这三组符合条件．解：200 以内另外五组这样的质数为：3，5，7，11；5，7，11，13；11，13，17，19；101，103，107，109；191，193，197，199．在自然数中，一个数除 1 和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数，也叫做素数．例如2，3，5，7，11，……都是质数．一个数除了 1 和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数．例如4，6，8，9，12，……都是合数． 1 既不是质数，也不是合数．这样，自然数在按约数个数分类，可以分成：质数、合数和 1．偶数中只有 2 是质数，而且是所有质数中最小的一个．除 2 以外所有的偶数都是合数，除 2 以外所有的质数都是奇数．每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，这几个质数就叫做这个合数的质因数．例如，因为70=2×5×7，所以 2，5，7 是 70 的质因数．把一个合数用质数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数．例如，60=2×2×3×5=22×3×5，把60 这个合数用 2×2×3×5 或 22×3×5 的形式来表示，就是把 60 分解质因数．例 1 两个质数的积是 46，求这两个质数的和．分析：两个质数的积是 46，46 是偶数，只能是一个奇质数与一个偶质数的积，而偶质数只有2，因此很容易得出另外的质数，从而问题得以解决．解：因为 46 是偶数，因此它必是一个奇质数与一个偶质数的积，而偶质数只有 2，另一质数46÷2=23，所以 2 与 23 的和为 25．例 2 用 2，3，4，5 中的三个数能组成哪些三位质数？分析：首先考虑个位数字是几，如果个位数字是 2 或 4，这样的三位数必能被 2 整除，因此这样的三位数不会是质数，如果个位数字是 5，这样的三位数必能被 5 整除，这样的三位数也不会是质数，所以个位数字只能是 3，再由剩下的三个数字组成百位、十位，得出个位数字是 3 的三位数为：243，423，253，523，453，543，最后根据质数的判断方法，得到所求的质数．解：如果组成的三位数的个位数字是 2、4、5时，这个数必能被 2 或 5 整除，因此个位数字只能是 3，而个位数字是 3 的三位数有243，423，253，523，453，543，其中243，423，453，543 均能被 3 整除，253 能被 11整除，所以只有 523 是质数．质数的判断方法是，当一个数比较小时，用定义直接判断，但这个数比较大时，通常采用查质数表，最好记住 100 以内的所有质数．在没有质数表的情况下，可以用质数从小到大的顺序逐个地去试除．如果能被其中某一个质数整除，就说明这个数是合数，如果除到商已比试除的质数小，还不能被这些质数中的任何一个整除，那么这个数一定是质数．例如，判断 100 以内的数是否是质数，只需用2、3、5、7 这四个质数去试除，如果没有一个能整除它，这个数一定是质数，否则不是质数．判断97 是不是质数，因为 97 不能被 2，3，5，7 中的任何一个整除，因此 97 是质数．为什么不必去试除比 97 小的所有的质数呢？因为 97 不能被2，3，5，7 中的任何一个整除，它就一定不能被4，6，8，9，10 等数（分别为 2，3，5 的倍数）整除，又因为，如果用 11 或大于 11 的质数去试除，97÷11=8…9， 97÷13=7…6，其商为 8、7，比除数还小，都已试除过，因此判断 100 以内的数是否是质数只需用 2，3，5，7 去试除．判断 200 以内的数是否是质数，只需用2，3，5，7，11，13，17 这七个质数去试除；判断 300 以内的质数，只需用 2 到 17 这七个质数去试除；判断 400 以内的质数，只需用 20 以内的八个质数与去试除；判断 500 以内的质数，只需 2到 23 的质数去试除．其余可用类似的方法推出，你可以思考一下 1000 以内的质数如何判断？例 3 将 40，44，45，63，65，78，99，105这八个数平分成两组，使每组四个数的乘积相等．分析：如果采用观察、计算调整的方法是比较麻烦的．要使两组数的乘积相等，只有两组数中的质因数相同，而且质因数的个数也相同，就可以了，所以从这八个数分解质因数入手，根据各质因数的个数，进行适当的搭配，便能找出问题的答案。