解析几何复习建议答案.doc

专题4解析几何二轮复习建议引入绝标系，使点与坐标，Mi线与方程联系起來的处标方法对于数学发展起了巨人的作用 用处标法研究曲线（儿何图形），实际上要解决两个问题：第一是山曲线（儿何图形）求方 程；第二是利用方程讨论曲线（几何图形）的性质由曲线求方程，耍解决如何将曲线上的 点所满足的条件转化为曲线上点的坐标所适合的方程；在解析几何里，所讨论的曲线的性质 通常包括：曲线的范I韦I,曲线的对称性，曲线的截距，以及不同曲线所具冇的一些特殊性质, 例如过定点，过定线，最值等一些不变（量）性用处标法研究儿何问题，是数学小一•个很 大的课题，问题的大小、深浅差别很大坐标法是借助坐标系，以代数中数与式、方程的知识为基础来研究几何问题的一种数学方法 因此，要有一定的代数知识基础，特别是代数式变形和解方程纽的能力要求较高以下解析几何二轮复习建议，仅供参考基本题型一：求基本量1. 直线的儿何量主要是斜率、倾斜角、截距；圆的儿何量主要是圆心、半径这些量主要 通过两直线的平行与垂直、线性规划、直线与圆的位置关系等进行综合，作为题中的一个点 出现.2. 圆锥曲线的几何量主要包括轴、轴长、顶点、焦距、焦点、准线、渐近线、离心率。

在 己知方程求有关量时，首先是把方程化为标准方程，找准a, b, c, p的值，二是记准相应 量的计算公式.在已知图形中求有关量吋，要明确各个量的儿何意义和图形中的特征求方程 或不等式求几何量.例1•直线l：y[3x—y+m = 0与圆C： x2+y2—2x—2 = 0相切，则直线/在兀轴上的截距 . 解：因为OC方程可化为仗一1）2+歹2=（萌）2,所以圆心C（l, 0）,半径r=书,因为直线/ 与圆C相切，直线C到/的距离等于门即上邑宁土也=萌，解得加=—3前或萌. 当m=y[3时，直线/方程为羽x—y+羽=0,在兀轴上的截距为一1；当加=—3羽，直线/方程为y[3x—y~\—3萌=0,在x轴上的截距为3.x2 v2例2. （2008犬津）设椭^1-?+^—7=1（77?>1）±一点P到其左焦点的距离为3,到右焦点 fn m — 1的距离为1,则P到右准线的距离为 解：根据椭圆定义得2°=1十3，a = 2,即加=2, 肿_1 =羽，c=l, e=~=T,根据第二定义得P到右准线距离为2.例3・（2007安徽）如图，F】和E分别是双曲线R—产=1@＞0, 〃＞0）的两个焦点，A和3 是以。

为圆心，以|OFi|为半径的圆与该双川1线左支的两个交点，且△乙人〃是等边三角形,则双曲线的离心率为 ・解法一：不妨设O尸2=1，因为OFi = OF2 = OA,所以为直角三角形.所以AF1 = 1 • _所以 2a=AF2-AFi=^-\f 乂 2c=2,所以 €=》=芋+1.解法二：连接04,由△ABF?为等边三角形，可得A点的坐标为（一*c,爭c）.X去分母整理得腑+4（-如2 （爭cF因为4在双|111线上，所以一孑一一丄京一=1,=0,解得/=4±2寸5, £=萌±1.因为幺＞1,所以丘=萌+1.其右准线与x轴的交点为A,在椭関上存在点P满足线段昇P的垂直平分线过点F,则椭|员|离心率的取值范围是 例4・（2008 PN川）已知抛物线C： /=8x的焦点为F,准线与x轴的交点为K,点A在C分析：由题意，椭圆上存在点P,使得线段AP的垂肓平分线过点尺即F点到P点与A点的距离和等，IPF\ = \FA\. /ill果我们考虑儿何的大小，易知|PF|不超过4 + C,得到一•个关 于基本最a, b, c, 0的不等式，从而求出离心率0的范围；如果我们考虑，通过设椭圆 上的点P(x,j),注意到椭圆本身的范围，也可以求出离心率仑的范围。

解法1：由题意，椭鬪上存在点P,使得线段AP的垂直平分线过点尺 所^\PF\ = \FA\fa2而 FA = c , PF < a + c ,c所以——cWa + c,所以 a2 l,所以2e2+e-l>0,a即(2e-l)(e + l)>0,又Ovevl,所以- 0 ,e c a即(2e-l)(e + l)>0, 乂 Ovevl,所以-< e < 12基本题型二：求曲线方程1. 己知曲线的类型求曲线方程的棊木方法：直接法与待定系数法在川直接法求方程时，要注意条件的转化方向和手段，在用待定系数法求方程时，要注意方程形式的选择标准和一些常用的设方程的技巧。

2. 求一般轨迹方程常用方法：总接(译)法、参数法和数形结合法以总接(译)法为主,强化曲线与方程的对应关系，掌握求Illi线方程的一般步骤也是注意，相关点法、参数法和 数形结合法，有利丁•拓展思考问题的思路例6・已知直线/经过点P(T, 1),它被两平行直线爪x+2y-l= 0及I"兀+2厂3=0所截得的线段M1M2的中点M在直线厶：x-y-1=0±，试求直线/的方程.解法一：(1)当直线/斜率不存在时，直线/的方程是x=-l,与直线厶，“的交点分别为 31), M2(-l, 2).线段M1M2的中点(一1, R不在直线人上，不合.(2)当直线/斜率存在吋，设直线/的方程为y-\=k(x+l),分別为儿b联列解得M](—1,1)，\-2k 1+4£ 血(7工以’ T+2k)线段M1M2的中点为M(・—2k \+3k1+2F l+2k因为M在直线/3±,2代入得，k=~=j.代入得总线/的方程为2x+7y—5=0.解法二因为被两平行直线L ?2所截线段Mi%的中点在与/「b平行/2等距离的直线匕而与/】，＜2平行几与/1，/2等距离的直线方程为兀+2)，—2 = 0,又由已知线段M|M2 的中点M在岂线厶：x-y-l=0±,所以由方程组｛:二匚彎。

’解得线段中点M的 处标为(扌，|).从而直线/经过点P(T，1)和 碣，|),代入两点式得直线/的方程为"+7y_5=0.例7・已知点A(2, 2), 3(3, -1), C(5, 3),求ZUBC内切圆的方程.解：代入两点式得三边的方程分別是A3： 3x+y-8 = 0, BC： 2兀一)，一7 = 0, CA： x-3y+4=0.设的内心坐标为/(d, b),则由/到三边的距离相等得I 3°+方一8 |VioI 2a~b~7 |1 a~3b+4 1 ,根据/的位置和线性规划知识，可以Vio去绝对值得+(3a+b — 8) —(2d—b—7) +(a — 3b+4)Vio _ ~ Vio化简得d + 2b=6,(3+2 述)q —(迈一1於=8 + 7竝解得 a = 6_2y[i, b=y/2.半径尸山戸一谱卫V所以内切圆的方程为(%—6+2y[2)2 + (y—y[2)2=(y[\0 —y[5)2.例8.已知椭圆的中心在原点，焦点在朋标轴上，长轴长与短轴长的比为迈，且过点(一边,3）,则该椭圆的方程是 .解：根据条件对知椭圆为标准方程.2 2（1）当焦点在x轴上时，设椭圆的方程为★十話=1@>/7>0）.由条件得解得+：二、忆所求的椭圆方程为f= 1.（2）当焦点在y轴上吋，设椭圆的方程为=1(6/>/?>0).由条件得(a=7cT+解得仃2二所求的椭圆方程为 1・ 1^2-例&如图，在以点。

为圆心，AB=4为直径的半圆ADB中，0D1AB, P是半圆弧上一点,"03 = 60曲线C是满足M4+MB为定值的动点M的轨迹，且曲线C过点P.求曲线C的方程.解：如图建立平面直角坐标系,因为曲线C过点P,所以MA+MB为定值就是PA + PB,根据条件求得PA + PB=2(\+y[3)f 所以 MA+MB=2(\+y[3)>AB.根据椭圆定义可知，点M的轨迹是以A, 3为焦点，且 长轴长为2（1+^3）一 x2 V2的椭圆，在所建的坐标系中，方程形式为卩十話=1（°> 方 >0）.根据条件得 a=l+书,o=2, b2=a2—c2=12f2 2所以曲线C的方程为启歸+台=1・例9. （2010安徽）椭圆E经过点人（2,3）,对称轴为坐标轴，焦点件F?在x轴上，离心率1e = — o2（1）求椭圆£的方程；(II)求Z片力坊的角平分线所在直线I的方程X5若3兀一4丿+ 6 = 5工一1(),得x + 2y —8 = 0,其斜率为负，不合题意，舍去于是3兀一4丁 + 6 = —5兀+ 10,即2x-y-l = 0f所以，ZF,AF2的角平分线所在直线方程为2x-y-l = ()o例10. (2011南京一-模)在直角处标系入0)，中，小心在原点O,焦点在x轴上的椭圆C上 的点(2也，1)到两焦点的距离Z和为4羽. 求椭圆C的方程； 过椭圆C的右焦点F作直线/与椭関C分别交于A, B两点，其中点A在x轴下方，RAF=3FB.求过O, A, B三点的圆的方程.2 2解：⑴由题意，设椭圆C： ^+^=l(a>b>o)f则2a=4书,ct=2书.丫2 2 o 1因为点(2迈，1 )在椭圆卫+产=1,所以巨+产=1，解得b =萌 y2 解：(I)设椭圆E的方程为—+ ^ = 1,cT b*由e = — f 得—=—,b2 = a2 — c2 = 3c2,2 a 22 2 所以二+丄〒=1,将A点代入，得c2 =4,4c2 3c22 2 所以椭圆E的方程为：—+ ^ = 116 12(II )由(I )知 F[(-2,0), F2(2,0),所以直线 4F]方程为 j = |(x + 2),即3x-4j + 6 = 0,直线/IF?方程为x = 20由椭圆E的图形知，ZF.AF,的角平分线所在直线的斜率为正数。

设P(x,y)为ZF, AF2的角平分线所在直线上任意一点，则有|3“4y + 6|所以所求椭闘方程为青+=1.（2）设A（x[9力）,Bg 力）仙<0,力>0）•点F的坐标为F （3, 0）.由AF=3FB,得3—兀]=3（也—3）, —Vi =3歹2，X\= — 3%2 +12,》1 = _3陛又A, 3在椭圆C上所以（―3 兀2+12）2 （ — 3力）212 十 °X2 y2右+亍=1'r _ioI 兀2- 3， 解得]_返卜- 3 •所以〃（¥，¥）,代入①得力点坐标为（2,—返）.因为莎・AB = 0,所以OA丄A3.所以过O, A, B三点的圆就是以OB为直径的圆, 其方程为,+），—学一¥>=0.基本题型三：研究曲线性质1. 定值问题：解决定值问题主要通过两类方法，一是通过特殊位置得出定值，然后通过证 明在一般位置也成立•二是通过把所要证明为定值的量表示为另外一个或两个引起变化的量 的函数或方程，然后通过化简变形，证明结果与引起变化的量无关.2. 范围问题：主要通过寻找所求最。