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初中数学-圆知识点归纳 《圆》章节知识点复习 名词解释： 1.弦——连接圆上任意两点的线段叫做弦 2.弧——圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧 3.半圆——圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，第一条弧都叫做半圆 4.等圆——能够重合的两个圆叫做等圆 5.等弧——在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧 6.圆心角——顶点在圆心的角叫做圆心角 7.圆周角——顶点在圆上，且两边都与圆相交的角叫做圆周角 8.圆内接多边形——如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆 9.外心——外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做这个三角形外心 10.内心——三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心 11.内切圆——与三角形各边相切的圆叫做三角形的内切圆 12.割线——直线和圆有两个公共点（直线和圆相交），这条直线叫做圆的割线 13.切线——直线和圆只有一个公共点（直线和圆相切），这条直线叫做圆的切线，这 个点叫做切点。

14.切线长——经边圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到 圆的切线长 15.圆心距——两个圆圆心的距离叫做圆心距 16.中心——正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心 17.中心角——正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角 18.边心距——中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距 19.扇形——由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形 20.母线——连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线 一、圆的概念 集合形式的概念： 1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合； 2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合； 3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 轨迹形式的概念： 1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆； 2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；（补充） A B 3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线； 4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线； 5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。

二、点与圆的位置关系 1、点在圆内 ? d r ? 点A 在圆外； 三、直线与圆的位置关系 1、直线与圆相离 ? d r > ? 无交点； 2、直线与圆相切 ? d r = ? 有一个交点； 3、直线与圆相交 ? d r +； 外切（图2）? 有一个交点 ? d R r =+； 相交（图3）? 有两个交点 ? R r d R r -<<+； 内切（图4）? 有一个交点 ? d R r =-内含（图5）? 无交点 ? d R r <- 五、垂径定理 推论1： （1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； 图4 （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； （3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即： ①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论。

推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等 即：在⊙O 中，∵AB ∥CD ∴弧AC =弧BD 六、圆心角定理 圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等 此定理也称1推3定理，即上述四个结论中， 只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论， 即：①AOB DOE ∠=∠； ②AB DE =； ③OC OF =； ④ 弧BA =弧BD 七、圆周角定理 1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半 即：∵AOB ∠和ACB ∠是弧AB 所对的圆心角和圆周角 ∴2AOB ACB ∠=∠ 2、圆周角定理的推论： 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆 周角所对的弧是等弧； 即：在⊙O 中，∵C ∠、D ∠都是所对的圆周角 ∴C D ∠=∠ 推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对 的弧是半圆，所对的弦是直径 即：在⊙O 中，∵AB 是直径 或∵90C ∠=? ∴90C ∠=? ∴AB 是直径 D B A E D C B A P B O 推论3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

即：在△AB C 中，∵OC OA OB == ∴△ABC 是直角三角形或90C ∠=? 注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理 八、圆内接四边形 圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于 它的内对角 即：在⊙O 中， ∵四边形ABCD 是内接四边形 ∴180C BAD ∠+∠=? 180B D ∠+∠=? DAE C ∠=∠ 九、切线的性质与判定定理 （1）切线判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线； 两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可 即：∵MN OA ⊥且MN 过半径OA 外端 ∴MN 是⊙O 的切线 （2）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图） 推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点 推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心 以上三个定理及推论也称二推一定理： 即：①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个 十、切线长定理 切线长定理： 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。

即：∵PA 、PB 是的两条切线 ∴PA PB = PO 平分BPA ∠ O P O D C B A D E C B P A O 推论1：圆的外切四边形的两组对边的和相等 十一、圆幂定理 （1）相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的 乘积相等 即：在⊙O 中， ∵弦AB 、CD 相交于点P ， ∴PA PB PC PD ?=? （2）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径 所成的两条线段的比例中项 即：在⊙O 中，∵直径AB CD ⊥， ∴2CE AE BE =? （3）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项 即：在⊙O 中， ∵PA 是切线，PB 是割线 ∴ 2PA PC PB =? （4）割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等（如上图） 即：在⊙O 中， ∵PB 、PE 是割线 ∴PC PB PD PE ?=? （5）弦切角定理： 弦切角等于它所夹的弧对的圆周角 推论1：如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等 十二、两圆公共弦定理 圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦。

O E D C A O B A O B A O 如图：12O O 垂直平分AB 即：∵⊙1O 、⊙2O 相交于A 、B 两点 ∴12O O 垂直平分AB 十三、圆的公切线 两圆公切线长的计算公式： （1）外公切线长： CD 2 = L 2 + (R-r)2 （2）内公切线长： AB 2 = L 2 + (R+r)2 十四、圆内正多边形的计算 定理：把圆分成n(n ≥3): ⑴依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n 边形 ⑵经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n 边 形 推论1：任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆 推论2：正n 边形的每个内角都等于（n-2）×180°／n 推论3：正n 边形的半径和边心距把正n 边形分成2n 个全等的直角三角形 推论4：正n 边形的面积S n =p n r n ／2 p 表示正n 边形的周长 推论5：如果在一个顶点周围有k 个正n 边形的角，由于这些角的和应为360°， 因此k (n-2)180°／n=360°化为（n-2）(k-2)=4 特例： （1）正三角形 在⊙O 中△ABC 是正三角形，有关计算在Rt BOD ?中进行：::1:3:2OD BD OB =； 正三角形面积√3a 2／4 ，a 表示边长 B A O1 O2C O C B l O （2）正四边形 同理，四边形的有关计算在Rt OAE ?中进行，::OE AE OA = （3）正六边形 同理，六边形的有关计算在Rt OAB ?中进行，::2AB OB OA =. 十五、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式 1、扇形：（1）弧长公式：180 n R l π= ； （2）扇形面积公式： 21 3602 n R S lR π= = n ：圆心角 R ：扇形多对应的圆的半径 l ：扇形弧长 S ：扇 形面积 2、圆柱： （1）圆柱侧面展开图 2S S S =+侧表底=222rh r ππ+ （2）圆柱的体积：2V r h π= 3、圆锥侧面展开图 （1）S S 。