年高考数学 专家讲坛 第讲 圆锥曲线的综合问题含试题含点评.doc

第十三讲　圆锥曲线的综合问题真题试做►———————————————————1．(2013·高考陕西卷)已知动点M(x，y)到直线l：x＝4的距离是它到点N(1，0)的距离的2倍． (1)求动点M的轨迹C的方程； (2)过点P(0，3)的直线m与轨迹C交于A，B两点，若A是PB的中点， 求直线m的斜率. 2．(2013·高考广东卷)已知抛物线C的顶点为原点，其焦点F(0，c)(c＞0)到直线l：x－y－2＝0的距离为. 设P为直线l上的点，过点P作抛物线C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点．(1)求抛物线C的方程；(2)当点P(x0，y0)为直线l上的定点时，求直线AB的方程；(3)当点P在直线l上移动时，求|AF|·|BF|的最小值．考情分析►———————————————————　　　圆锥曲线的综合问题包括：轨迹问题、探索性问题、定点与定值问题、范围与最值问题等，一般试题难度较大．这类问题以直线和圆锥曲线的位置关系为载体，以参数处理为核心，需要综合运用函数与方程、不等式、平面向量等诸多知识以及数形结合、分类讨论等多种数学思想方法进行求解，对考生的代数恒等变形能力、计算能力等有较高的要求．考点一　轨迹问题求轨迹方程是高考的常见题型，主要考查轨迹方程的求法以及利用轨迹方程研究曲线的几何性质．(1)已知直线l：2x＋4y＋3＝0，P为l上的动点，O为坐标原点．若2＝，则点Q的轨迹方程是________；(2)(2013·高考课标全国卷Ⅰ改编)已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C，C的方程为________．【思路点拨】　(1)用Q点坐标表示P点坐标，代入直线方程即可．(2)结合圆的几何性质和椭圆的定义求解．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(1)求轨迹方程时，先看轨迹的形状能否预知，若能预先知道轨迹为何种圆锥曲线，则可考虑用定义法求解或用待定系数法求解．(2)讨论轨迹方程的解与轨迹上的点是否对应，要注意字母的取值范围．强化训练1　已知平面上一定点C(2，0)和直线l：x＝8，P为该平面上一动点，作PQ⊥l于Q，且(＋)·(－)＝0.问点P在什么曲线上？并求出该曲线的方程．考点二　圆锥曲线中的定点、定值问题定点、定值问题是解析几何解答题的考查重点．此类问题定中有动，动中有定，并且常与轨迹问题、曲线系问题等相结合，深入考查直线与圆、圆锥曲线、直线和圆锥曲线位置关系等相关知识．(2013·高考江西卷)椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率e＝，a＋b＝3.(1)求椭圆C的方程；(2)如图所示，A，B，D是椭圆C的顶点，P是椭圆C上除顶点外的任意一点，直线DP交x轴于点N，直线AD交BP于点M，设BP的斜率为k，MN的斜率为m，证明：2m－k为定值．【思路点拨】　(1)根据题中a，b，c的关系求出a，b的值；(2)设出直线BP的斜率k，得到直线BP的方程，结合椭圆的方程求出点P的坐标，联立直线AD和BP的方程解得点M的坐标，根据D，P，N三点共线得到点N的坐标，求出直线MN的斜率后代入所求的式子即可解得答案．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　解圆锥曲线中的定点、定值问题可以先研究一下特殊情况，找出定点或定值，再视具体情况进行研究．同时，也要掌握巧妙利用特殊值解决相关的定值、定点问题的选择题或填空题，如将过焦点的弦特殊化，变成垂直于对称轴的弦来研究等．强化训练2　(2013·陕西省质量检测)如图，经过点P(2，3)，且中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆M的离心率为.(1)求椭圆M的方程；(2)若椭圆M的弦PA、PB所在直线分别交x轴于点C、D，且|PC|＝|PD|，求证：直线AB的斜率为定值．考点三　圆锥曲线中的最值、范围问题(2013·高考浙江卷) 已知抛物线C的顶点为O(0，0)，焦点为F(0，1)． (1)求抛物线C的方程； (2)过点F作直线交抛物线C于A，B两点，若直线AO，BO分别交直线l：y＝x－2于M，N两点， 求|MN|的最小值. 【思路点拨】　(1)根据条件和抛物线的标准方程，可直接求出；(2)根据直线方程及抛物线方程写出MN长度的解析式，再根据求出的解析式选择适当的方法求最值．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　求最值或范围常见的解法：(1)几何法．若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，可考虑利用图形性质来解决；(2)代数法．若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求最值．强化训练3　(2013·武汉市武昌区联合考试)设点P是圆x2＋y2＝4上任意一点，由点P向x轴作垂线PP0，垂足为P0，且＝.(1)求点M的轨迹C的方程；(2)设直线l：y＝kx＋m(m≠0)与(1)中的轨迹C交于不同的两点A，B.若直线OA，AB，OB的斜率成等比数列，求实数m的取值范围．考点四　圆锥曲线中的存在性问题存在性问题属探索性问题的范畴，是近几年高考的热点题型，主要探索是否存在满足某些条件的点或直线、数值等．(2013·高考江西卷)如图，椭圆C：＋＝1(a>b>0)经过点P，离心率e＝，直线l的方程为x＝4.(1)求椭圆C的方程；(2)AB是经过右焦点F的任一弦(不经过点P)，设直线AB与直线l相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3，问：是否存在常数λ，使得k1＋k2＝λk3？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．【思路点拨】　(1)由点在椭圆上和离心率建立方程组求出椭圆的方程；(2)设出直线的方程，将其与椭圆的方程结合得到一个一元二次方程，根据根与系数的关系得出A，B两点的坐标之间的关系和点M的坐标，由此得出相应的直线的斜率，根据A，F，B三点共线得出相应的坐标之间的关系从而求出常数的值．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(1)解决存在性问题的关注点求解存在性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在；若结论不正确则不存在．①当条件和结论不唯一时要分类讨论．②当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件．(2)存在性问题的解题步骤强化训练4　(2013·安徽省“江南十校”联考)在圆C1：x2＋y2＝1上任取一点P，过P作y轴的垂线段PD，D为垂足，动点M满足＝2.当点P在圆C1上运动时，点M的轨迹为曲线C2.(1)求曲线C2的方程；(2)是否存在过点A(2，0)的直线l交曲线C2于点B，使＝(＋)，且点T在圆C1上？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．抽象概括能力——圆锥曲线问题中的等价转化方法抽象概括能力是对具体的、生动的实例，在抽象概括的过程中，发现研究对象的本质；从给定的大量信息材料中概括出一些结论，并能将其应用于解决问题或做出新的判断．(2013·高考安徽卷)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的焦距为4，且过点P(，)．(1)求椭圆C的方程；(2)设Q(x0，y0)(x0y0≠0)为椭圆C上一点．过点Q作x轴的垂线，垂足为E.取点A(0，2)，连接AE.过点A作AE的垂线交x轴于点D.点G是点D关于y轴的对称点，作直线QG.问这样作出的直线QG是否与椭圆C一定有唯一的公共点？并说明理由．【解】　(1)因为焦距为4，所以a2－b2＝4.又因为椭圆C过点P(，)，所以＋＝1.故a2＝8，b2＝4，从而椭圆C的方程为＋＝1.(2)一定有唯一的公共点．理由：由题意知，点E坐标为(x0，0)．设D(xD，0)，则＝(x0，－2)，＝(xD，－2)．再由AD⊥AE知，·＝0，即xDx0＋8＝0.由于x0y0≠0，故xD＝－.因为点G是点D关于y轴的对称点，所以点G(，0)．故直线QG的斜率kQG＝＝.又因为点Q(x0，y0)在椭圆C上，所以x＋2y＝8.①从而kQG＝－.故直线QG的方程为y＝－(x－)．②将②代入椭圆C的方程，化简，得(x＋2y)x2－16x0x＋64－16y＝0．③再将①代入③，化简得x2－2x0x＋x＝0.解得x＝x0，则y＝y0，即直线QG与椭圆C一定有唯一的公共点．由AE与AD垂直，应转化为·＝0，从而转化为数量的计算．目标是要说明直线QG和椭圆C是否有唯一交点，转化为直线QG的方程和椭圆方程联立方程组，判定方程解的情况，这样把几何问题转化为代数问题，充分体现了等价转化思想。