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函数”一章中几个容易犯错的典型问题及解决对策2007年第10期中学教研(数学)?l5?函数"一章中几个容易犯错的典型问题及解决对策●杨一丽(浙江宁波市镇海中学315200)"函数"一章的内容贯穿于高中数学的始终,历来是高考的重点.对于函数本身的内容,如定义域,值域,单调性,奇偶性,周期性,对称性,反函数等有关知识,学生往往容易混淆,而且也会影响对其他各章知识的理解和综合应用.因此,笔者从学生易犯的错误出发,通过实例加以说明.1函数的定义域,值域问题例1已知函数f()的定义域为[0,1],求fC)的定义域.解由,()的定义域为[0,1],可得0≤≤1,从而0≤≤1,即一1≤≤l,因此,f()的定义域为[一1,1],易错点把自变量和原象的概念混淆,误把结果表示为[0,1].评析及解决对策对这一类问题,先要明确函数中哪一个为自变量,哪一个为原象,如本题中函数,()的自变量为,原象为,而求定义域是指求自变量的取值范围.例2已知函数,()=lg(∞+2+1).(1)若,()的定义域为R,求实数n的取值范围;(2)若,()的值域为R,求实数n的取值范围.解(1)因为对任意的ER,函数,()均有意义,所以口+2+1>0恒成立.1若口=0,则>一÷,不符合题意,故a#O,从而厶有口>0,且△=4—4a<0,因此,口>1.(2)由条件知,必须保证O,X+2+1能取到所有大于0的数,则1若口:0,则>一÷,符合题意;二若a#O,则口>0,且△=4—4a>~0,可得0<口≤1.综上可得0≤口≤1,易错点将值域为R的问题错误地理解为定义域为R的问题,也就是将"有条件的成立问题"错误地理解为"恒成立"的问题,评析及解决对策对这一类问题,先要辨清是"有条件的成立问题"还是"恒成立"的问题,再结合二次函数的图像,性质及解不等式来解决.2函数的单调性问题例3已知函数,()=log(O,X一)在区间[2,4]上为增函数,求实数n的取值范围.解令g()=O,X一.当口>1时,g()在区间[2,4]上递增且在[2,4]上g(x)>0恒成立,则f麦≤2;Lg(2)=4a一2>0,所以口>÷.又口>1,因此口>1,当0<口<1时,g()在区间[2,4]上递减且在[2,4]上g()>0恒成立,则』寺≥4无解Lg(41=16a-4>0综上可得口>1.易错点(1)遗漏对对数函数底数n的讨论;(2)遗漏对数中真数大于零的条件.评析及解决对策复合函数的单调性,当内外函数的单调性一致时,为增函数;当内外函数的单调性相异时,为减函数.另外,复合函数的单调区间一定是定义域的子区间.而对数函数的单调性取决于底数n,因此要特别注意当对数函数中的底数为参数时的讨论及对数中真数大于零的条件.3函数的奇偶性问题例4讨论下列函数的奇偶性:(1),()=;(2)=,解(1)考察,()=的定义域,因为1+cos+sinx≠0,即COSX+sin.x≠一1,所以可以等于},但≠一},因此,定义域不关于原点对称,原函数为非奇非偶函数,?16?中学教研(数学)2007年第10期易错点化简函数得)=1-cosx+sinx2sin詈+2sin号cos手=——=tanno2c0s÷+2sin÷cos÷2就把)误认为是奇函数,原因是在化简的过程中函数的定义域发生了改变.评析及解决对策判断函数的奇偶性时,首先应考察函数的定义域是否关于原点对称.若不对称,则函数为非奇非偶函数;若定义域关于原点对称,函数表达式能化简的,则先化简,然后再考察f(一),最后根据奇偶性定义判断.解(2)由1一>0及l一2l一2≠0,得)的定义域为(一1,0)U(0,1),则原函数可化为):一,所以原函数为偶函数.易错点有的学生会粗略一看,错误地认为一)≠),一)≠-f(),得出原函数为非奇非偶函数.评析及解决对策对这一类问题,先要考虑函数定义域,再对函数解析式进行化简后作出判断.4函数的周期性问题例5求下列函数的最小正周期:(1)Ylsinxl+lCOSX1.(2)Y=(3)Y=2一,ITj2一,ITj解(1)因为函数Y=lsinxl+lCOSXl=,/1+lsin2x1.而函数Y=lsin2xl的周期为-3--,所以所求函数的最'-小正周期为T_.二易错点有的学生会粗略一看,根据Y=lsinxl和Y=lc0s引的周期均为叮T,错误地认为函数的最小正周期为评析及解决对策先对函数进行等价变形,此类函数的变形一般是将多个三角函数化为一个三角函数的形式,再进行求解.解(2)因为函数y=2sin2一詈)的最小正周期为叮T,所以函数y=2{sin(2一詈)l的最小正周期为要.(3)根据周期函数的定义或借助三角函数的图像可得),=2Isin2x-T)+1I的最小正周期为易错点有的学生会根据),=2Isin(2一手)I的最小正周期为而错误地认为函数Y=2Isin2x-T)+I的最小正周期也为詈,忽略了解析式中的常数1对周期的影响.(2)(3)评析及解决对策此类问题特别要关注函数是Y=Alsin()l的形式还是Y=Alsin(+)+引(k≠0)的形式,根据三角函数的图像和性质可知前者的周期是,后者的周期是I'l,Ill'5反函数问题例6已知)=+2(≤0),求f(一1)的反函数.解Y=一1)=(一1)+2=一2x+3.因为≤1,所以一1=一,/y一2,y≥2.故Y=一1)=(一1)+2的反函数为Y=1一,其中≥2.易错点有的学生错误地认为一1)的反函数为厂.(一1)=一/—x-—3.评析及解决对策对这一类问题,可直接求解(如例6)或者由Y=f(一1)知厂(Y)=一.[-一1)]=一1,所以=一.(Y)+1,即Y=f()+1,故Y=一1)的反函数为Y=厂()1,而不是Y=厂(一1).例7已知)=(≤÷),求),=)与Y=厂.()的交点坐标.解设交点坐标为(口,b),则(a,b)在Y=)上,同时(b,a)也在Y=)上,则J-=6;I=口,I●●+,l--,,l--,222007年第1O期中学教研(数学)?l7?解得或或解得{一或{或{,.16:掣刊易错点有的学生会认为原函数与其反函数图像的公共点一定在直线Y=上,于是由f一得:—,/~--3,:—,/~--3.从而产生了只解得一组解的错误解答.评析及解决对策若原函数的图像与其反函数的图像有公共点,则其公共点必在直线Y=上或者关于直线Y=对称,所以要利用反函数的概念联立方程组来求,可防止漏解.6函数的对称性问题例8已知函数f()是定义域为R的函数,且Y=2x一1)为偶函数.求函数Y=2x)的图像的对称轴.解法1令()=2x一1),则()关于直线=0对称,此时2x)=f+÷l,则,(2x)关于直线+÷=0对称,故函数Y=2x)的图像的对称轴为=一÷.解法2因为Y=2x一1)为偶函数,所以其图像关于直线=0对称.又因为函数Y=,(2x)的图像是由Y=2x一1)的图像向左平移{单位得到的,故函数Y=2x)图像的对称轴为=一÷.易错点往往由,(2一1)=f(一2x一1),即一1+2x)=一1—2),错误地得到Y=,(2x)图像的对称轴为=一1,其实=一1是Y---f()的图像的对称轴.评析及解决对策这一类问题往往可以通过先定义新函数,再利用奇(偶)函数的图像关于原点(Y轴)对称得到(如解法1),或者利用函数图像平移的思想(如解法2)求得.巧用代换法求最值●王递王复原程澄(北京交通大学电信学院通讯系100044)代换法即变量替换法,是用一些新的变量(元)替换原来的变量(元),从而对原数学问题进行变形,达到化难为易,化繁为简的目的.求极值问题,往往是将生活中的优化问题数学化,变为求函数或变量在一定条件下的极大(小)值.这类问题有着较实用的价值,因此在中学教学以及高考中得到了越来越高的重视¨r3J.本文通过实例,给出了3种代换法:整体代换法,平均量代换法和三角代换法,以及它们在求解极值问题方面的一些应用.1整体代换法整体代换法是在一个比较复杂的式子中,把某个子式看成一个整体,用一个新变量进行代替,从而使式子简化的方法.例如,2007年浙江省高考数学理科第2O题,本题主要是考查椭圆的几何性质,椭圆与直线的位置关系等基础知识,考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力,实际上也可考查学生应用已知条件和方程,椭圆的知识来求AAOB面积S的最大值问题但是,不禁要问:对于可能的k,b,面积S的最大值是否存在?是多少?等等.下面把此题进行推广,并应用整体代换法给出完满的解答,而且这个解答实际上也是完全不同于考题标准答案的另一种解答方式.2例1直线Y=kx+b与椭圆+=1交于A,叶两点,坐标原点为0,记AAOB的面积为5.(1)对于所有可能的k,b,求S的最大值;(2)求在k=0,0<b<1的条件下,S的最大值;(3)当lABI=2,S:1时,求直线AB的方程.2解(1)把Y=kx+b代入到}+y2:1,得叶(÷+k)X2+2kbx+b一1=0,(1)从而直线与椭圆相交于两点的充要条件是方程(1)的判别式A=4k2一b+1>0,进而可知S存在的充。