数列求和三大方法.docx

数列求和三大方法裂项相消分组求和例1、演练1、演练4 倒序相加：例2、演练3例3、例4、演练2、演练5错位相减例5、例6、演练6＜教师备案〉数列的形式多样，除了较简单的等差和等比数列外，还有很多其它各种数列，求和方法也 相对灵活多样，本讲讨论主要的几种数列求和方法.考点1 :分组求和 有些数列，直接求和不易进行，可以将便于求和的项放在一起进行分组求和.如①有些数列可以对奇偶项分别求和，此时要注意项数分奇偶讨论；② 有些数列可以将每一项适当拆开，再进行分组；③ 有些数列首尾项相加后为定值，可以用倒序相加的方法.＜教师备案〉分组求和：如果对数列｛色｝求前/t项和时，陽本身恰好是若干比较简单的通项的组合， 那么就可以将之转化为求几个更简单的数列(一般是等差或等比数列)的和，这种方法称 为分组求和.除了将复杂的通项拆成简单的通项以外，分组求和还有另外一种形式(准确点说应该叫“分 项求和)：如果的通项是分段表示的，那么计算S”时可以根据色的通项形式，将类似的 项进行组合，例如：[n, n = 2k-\ *若色二仁 “ 伙 wN),则 Sfl=(aA +tz3+^5 ++ +•••)2 , n = 2k这时候必须要对S”中〃的取值分奇偶情形讨论.如例1H)即为直接拆分，例1(2)需要分类讨 论和局部分组求和，例1(3)即为奇偶分组，例1(4)讨论奇偶项；例2是倒序相加求和.【铺垫】求下列数列的前斤项和(D1-, 2-, 3-, 4丄，…；2 4 8 16(2) 1, 1 + 2, 1 + 2 + 2?,…，1 + 2 + 22+・..+ 2心，….⑶数列｛a“｝的通项公式Q“ = 2/?-5, bn = \an\,求｛化｝的前料项和盜.【解析】(1)S =也11 + 1一 丄 ” 2 2“(2)S” =2"利—/? —2 ・ ,、 f4n-/?2, n^2(3) T=i[n2 -4/1 + 8, n $ 3【点评】数列求和，首先考虑能否直接用等差、等比数列的求和公式求和；其次，考虑能否转化(拆 项、合并等)为等差、等比数列，再用公式求和.本题通过拆项、合并，构建出等差、等比 数列，实现了由非特殊数列求和向特殊数列求和的转化.【例1】 ⑴界求数列的前项和：1 + 1,丄+ 4,丄+ 7,…，丄p + 3,2 —2,...a a1 an~l⑵為(目标班专用)己知等差数列｛匕｝前三项的和为-3,前三项的积为8,且2，禺，0成 等比数列，求数列｛|色|｝的前n项和.⑶兴求数列1,丄,5,丄,9,丄…的前12项和.2 4 8【追问】如果问的是前斤项和该如何处理？从此问可以引出关于斤为奇偶不同情况的讨论. ⑷：：在数列匕｝中，q=+，”+色+]=吕~(料=1, 2 , 3…)，求此数列的前n项和S”的公式.J J【解析】(1)当 = 1 时，5 (3^“ 2” …丄 g a-al~n (3^7- l)n当 gl 时，S = + —“ a-\ 24 n — 1⑵ S“=b 2 11 an >9—n a?+ 10 /?刁 212 2【追问】(2丿12丿前12项和为67-刁n2 n +2 2Sn _1（4） S =-— gN）"4x5“【点评】分组法求和有两种思路，一是根据数列分类再分别求和；二是根据奇偶分类.之所以对奇偶 分类也是两两分组必然会导致对总项数奇偶的讨论.【拓展】己知函数f（n） = n2 COSA7兀，且 an = f（H）4- /（/? + 1）,则再+冬 。

00 = 【解析】-100;V教师备案〉倒序相加法：倒序相加可以看成特殊的分组求和，和一般的分组求和法区别只在于其分 组是确定的.倒序相加是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列 倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到川个+Q”）.若和式中到首尾 距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加法, 发挥其共性的作用求和.此方法在函数中也有应用.【例2】⑴兴已知/⑴= 求/（1）+ /（2）+ f（3） + /（4）+ 彌 + 殆 + /|}}⑵孫已知f（x）=44「+2(3) 兴求 S = sin21 + sin2 2 + sin2 3 …+ sin2 88 + sin2 89 ；(4) 界已知兀>0, y>0 , lg(xy) = a ,求S = lgZ + lg(y_1 j) + lg(x,,_2y2) + — lgyn7【解析】⑴「⑵ 500;(4) S = */?(/? +l)a .考点2:裂项相消法如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和•常川裂项形式有:n(n + \) n n + \③]+ l)(n + 2)④ —j= = \M + 1 - \JnV/2 + v^ + lv教师备案〉裂项相消是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.裂项法的实质是将数列中的每一项 (通项)分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的.讲完①后结合 铺垫让学生对②进行总结.然后可以讲例题3的(2)(3),讲完以后可以让学生尝试③及例3(4),1 (\ 1 A 1 1 1从裂项中选岀一个合适的，比攻口 — = = — tn(〃 + l)(n + 2) \n 川 + 1 丿 n + 2 川(川 + 2)(并 + 1)(/7 + 2) 就不是很实用.【铺垫】求F列数列的前〃项和(1) , > ,…；1x2 2x3 3x4⑵丄，丄，丄，…， 11x3 2x4 3x5 n(n + 2) 【解析】(1)S =丄 ” n + \(2) =-——! .4 2n + 2 2〃+ 4【例3】⑴实数列匕｝的通项公式色= — ,若它的前〃项和为2,则项数几为 ・5 + 1+5⑵界己知数列1, — , —!—，…， ! ，…，求它的前77项和.1 J 1 + 2 1 + 2 + 3 l + 2 + 3 + ・・・ + n⑶人(目标班专用)已知数列｛色｝为等差数列，首项a严a,公差"0,且％工0(庇2), =」一，设数列｛亿｝的前77项和S”，则几= .(4)若等式 一+ —!— +…+ J 二 加+加 对于所有的正整数〃都1x2x3 2x3x4 mx(/? + 1)x(/7 + 2) 4(/? +1)(/? + 2)成立，贝ija = , b= .【追问】已知数列1x2, 2x3, 3x4, 4x5,…，nx(n + l),…，求该数列前n项和S”. 【解析】(1) 8;c 2/2(2) Sn=a^a2+-^an=—-.n + 1a(a + 10d)(4)67 = 1, b = 3I追问心呼也【例4】几已知函数y = ,f(x)(xE R)满足/(兀)+/(1 -兀)=* ,(nwNJ的值;求常I和/ - +/W丿/ 1、f n-\+・••+/VV< n丿+ /(1),求数列｛色｝的通项公式;若数列K｝满足仔/(0) + /日+ / 若数列｛｝满足卩代冷，，"肉+丛+物+…+加治，求s”.【解析】⑴2【备选】已知正项数列｛勺｝中，4=1,点(城，％J (hgN* )在函数尸〒+1的图象上，数列他｝的前斤项和s” = 2-bfl.⑴求数列匕｝和｛4｝的通项公式;求匕｝的前〃项和7； •【解析】(1) an=n.1n-l【备选】设等差数列｛色｝的前〃项和为S「等比数列｛亿｝的前〃项和为7；,己知乞＞0 (〃N\a】=勺=1, c— + Q = S5 = 5 (妇 + bj •⑴ 求数列｛①｝、｛仇｝的通项公式;⑵求和:【解析】(1)陽=4〃一3, W(2)考点3 :错位相减法这种方法是在推导等比数列的前〃项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列的前〃项和，其中匕｝、仇｝分别是等差数列和等比数列.V教师备案＞此种方法在等比数列初步中涉及过，教师在讲解过程中根据学生掌握情况适当调整，让学 生理解用错位相减法的数列通项的式子结构.这种方法有固定的套路和解题步骤，唯一需 要留意的是运算过程中首项和尾项的系数和指数.【铺垫】求数列的前〃项和.【解析】S”=2 + (n-1)2"一【例5】⑴氏求数列｛(2〃 +1) • 的前斤项和.⑵弄求数列｛穿｝的前“项和.2"\ + n【解析】(1) S”=5—竺仝・【例6】：5设数列 M 满足坷+ 3冬+罗偽+…+ 3”t%严彳，n w N"・(1)求数列仏“｝的通项；⑵设bn =—,求数列他｝的前料项和S“・【解析】⑴(1) a_=—(ne N*)【挑战4分钟】1-n 3所以,s“= 2（（，+1）-尸）J=1 aS 4〃 + 2【例7】 壮(目标班专用)在等差数列匕｝中，q=l,前n项和S”满足条件于二一」心1，2,(1) 求数列｛｝的通项公式；(2) 记bn = a肿(p > 0),求数列｛$｝的前n项和Tn. 【解析】(1) an=nn(n +1) .P = 1(2) T =\ n匹斗匚心(1-p)2 1-p华山论剑1. 已知数列l2 , 22 , 32 , 42 , •••, n2 , ••-,求该数列的前兀项和S”. 【解析】方法一：从代数角度看，可以按如下形式对，『进行变形：3 2•/ （〃 + 1）‘ 一斤、=（川 + 1）~ + +1） + /?2 = 3n2 + 3n 4-1 ,（n + 1） -n其中 \= 12 + 22 +32 +--- + /?2.①式中的三次方项构成了一个可消去的数列，剩余部分是一个等差数列，这样问题就得以解 决了，因此对①式两边累加得：S, =|[(n + l)3 -l3]-^^-^ = |n(n + l)(2n + l).类似的方法适用于三次,四次或更高次方求和的情况.方法二：我们可以通过几何法来解决：S” = 12 + 22 + 32 +••• + /相当于把如下三角形里所有的数加在一起. -3/2-1 32 + 1） _ 沪 _ 3/7 _ 1 1 r z \3 3n- =- =亍]（斤 + 1） - iv为了把三角形里所有的数加在一起，我们可以对图形进行如下操作:二扌［（几+ 1）3 4 一泸3 2 1 n — n 2 4. （n + 1 ）4 — n4 — 6n2 - -]n = 4即把三角形旋转到如图所示的三个位置，然后把每个三角形的对应位置相加就可以得出这样 一个三角形：所以一共是巴已个加+ 1相加，就是丄M〃 + l）（2〃 + l）,再除以三就可以了.所以 S” =-/?（77 + 1）（2/? + 1） •62. 已知数列1’，2’，3。