
2.1第四章微积分运算命令与例题.ppt课件
30页第四章第四章 微积分运算命令与例题微积分运算命令与例题北京交通大学北京交通大学:4.1 求极限运算求极限运算lMathematica提供了计算函数极限的命令的一般形式为:lLimit[函数, 极限过程]l具体命令形式为l命令形式1:Limit[f, x->x0]l功能:计算 , 其中f是x的函数l命令形式2:Limit[f, x->x0, Direction->1]l功能:计算,即求左极限, 其中f是x的函数l命令形式3:Limit[f, x->x0, Direction->-1]l功能:计算,即求右极限,其中f是x的函数l注意:在左右极限不相等或左右极限有一个不存在时,Mathematica的默认状态为求右极限l例1. 求极限解:Mathematica 命令为lIn[1]:=Limit[n^2*Sin[1/n^2],n->Infinity]lOut[1]=1例例2: 求极限解:求极限解:Mathematica 命令为命令为In[2]:=Limit[(1+1/n)^n, n->Infinity]Out[2]=E:例例3: 写出求函数写出求函数 在在x->0的三个极限命令的三个极限命令解:解:Mathematica 命令为命令为1.Limit[Exp[1/x], x->0]2.Limit[Exp[1/x], x->0, Direction->1]3.Limit[Exp[1/x], x->0, Direction->-1]例例4.求解:求解:Sin[x]/x x->∞的极限的极限Mathematica 命令为命令为In[3]:=Limit[Sin[x]/x, x->Infinity]Out[3]=2Out[3]=0例例5 In[4]:= Limit[Exp[1/x], x->0, Direction->+1]Out[4]=0例例6In[5]:= Limit[1/(x*Log[x]^2)-1/(x-1)^2, x->1]Out[5]=1/12:l例7. 求极限解:Mathematica 命令为lIn[1]:=Limit[Sin[x]^Tan[x], x->Pi/2]lOut[1]=1例例8: 求极限解求极限解Mathematica 命令为命令为In[2]:=Limit[Cos[1/x],x->0]Out[2]=Interval[{-1, 1}]例例9: 求极限解求极限解Mathematica 命令为命令为In[3]:=Limit[Exp[1/x], x->0, Direction->-1]Out[3]=∞:•例例10 求极限解求极限解:•若输入命令若输入命令•In[4]:=Limit[ Integrate[ArcTan[t]^2, {t,0,x}] / Sqrt[1+x^2] , x->+Infinity]•屏幕会出现如下的红色英文提示信息屏幕会出现如下的红色英文提示信息:• On::none: Message SeriesData::csa not found.• ……………………………………………………• ComplexInfinity + <<1>> encountered.•说明不能得出正确结果。
此时可以借助人工处理,如用一次说明不能得出正确结果此时可以借助人工处理,如用一次洛必达法则后再求极限洛必达法则后再求极限:•In[5]:=Limit[ArcTan[x]^2/(x/Sqrt[1+x^2]), x->Infinity]•Out[5]=:l4.2 求导数与微分求导数与微分l 4.2.1 求一元函数的导数与微分求一元函数的导数与微分l例例6:变上限函数变上限函数 求导求导l解:解:Mathematica 命令为命令为lIn[6]:=D[Integrate[Sqrt[1-t^2], {t,0,x^2}], x]lOut[6]= lIn[7]:=Simplify[%]lOut[7]= ● 显函数求导显函数求导命令形式命令形式1: D[f, x] 功能功能:求函数求函数f对对x的偏导数的偏导数命令形式命令形式2: D[f, {x, n}] 功能功能:求函数求函数f对对x的的n阶偏导数阶偏导数参数方程求导参数方程求导l对参数方程 所确定的函数y=f(x),根据公式和命令形式1,可用三个Mathematica命令实现对参数方程的求导: l r=D[x, t]; s=D[y,t]; Simplify[s/r]l 或用Mathematica自定义一个函数: l pD[x_, y_, t_]:=Module[{s=D[y,t], r=D[x,t]}, Simplify[s/r]]l 来实现。
:例7.求参数方程 的一阶导数 解:Mathematica命令In[8]:=x=t*(1-Sin[t]);y=t*Cos[t]; s=D[y,t]; r=D[x,t]; Simplify[s/r] Cos[t] - t Sin[t]Out[8]= ----------------------- 1 - t Cos[t] - Sin[t]或In[9]:= pD[x_,y_,t_]:=Module[{s=D[y,t], r=D[x,t]}, Simplify[s/r]]In[10]:= pD[t*(1-Sin[t] ), t*Cos[t], t] Cos[t] - t Sin[t]Out[10]= ----------------------- 1 - t Cos[t] - Sin[t]:隐函数求导隐函数求导 由方程f(x, y) = 0所确定的函数y=y(x)的导数可用一个自定义函数完成,这个函数为: impD[eqn_,y_,x_]:=Module[{s, r, t}, s=D[eqn, x, NonConstants->{y}]; r=Solve[s, D[y, x, NonConstants->{y}]]; t=D[y,x, NonConstants->{y}]/.r; Simplify[t] ]:例例8. In[11]:= D[Tan[x+a],x]Out[11]= Sec[a + x] 2In[12]:=D[2^(x/Log[x]),x]Out[12]= In[13]:=D[x*Tan[x]-Sqrt[x],x]Out[13]=In[14]:=D[Sin[x]^n*Cos[n*x],x]Out[14]=In[15]:=Plot[Evaluate[D[Sin[x^2],x]],{x,-2,2}]Out[15]= :练习练习. 1 要对一个方程求导,应该怎么做?要对一个方程求导,应该怎么做? 例如方程例如方程y5+2y-x-3x7=02 选择一道与求导有关的应用题,用选择一道与求导有关的应用题,用mathematica数学软件命令来计算。
数学软件命令来计算 :微分微分 微分是函数增量的线性主部,函数微分是函数增量的线性主部,函数y=f(x)的微分与导数的关系为的微分与导数的关系为: dy = df =f (x)dxMathematica命令为:命令为:命令形式:命令形式:Dt[f] 功能功能:对函数对函数f(x)求微分求微分df例例9. 求和求和y=sinv的微分的微分.解解:In[13]:=Dt[Sin[x^2]] Out[13]=2 x Cos[x2 ] Dt[x]In[14]:=Dt[Sin[v]] Out[14]=Cos[v] Dt[v]:例例. In[1]:=Dt[Sin[u]^6] Out[1]=6 Cos[u]Dt[u]Sin[u]5In[2]:=Dt[x*Sin[2^x]] Out[2]= :练习练习. 1 一幢楼的后面是一个很大的花园,在花园中紧一幢楼的后面是一个很大的花园,在花园中紧靠着楼房有一个温室,温室深入花园宽靠着楼房有一个温室,温室深入花园宽2m,,高高3m,温室正上方是楼房的窗台清洁工打,温室正上方是楼房的窗台清洁工打扫窗台周围,他得用梯子越过温室,一头放在扫窗台周围,他得用梯子越过温室,一头放在花园中,一头靠在楼房的墙上。
因为温室是不花园中,一头靠在楼房的墙上因为温室是不能承受梯子压力的,所以梯子太短不行,现有能承受梯子压力的,所以梯子太短不行,现有一架一架7m长的梯子问:它能达到要求吗?通长的梯子问:它能达到要求吗?通过过mathematica计算至少需要多长?计算至少需要多长?2 在你所学的微积分教材中,选择两道有关泰勒在你所学的微积分教材中,选择两道有关泰勒公式计算的习题,用公式计算的习题,用mathematica数学软件数学软件命令来计算命令来计算 :l4.2.2 求多元函数偏导数与全微分求多元函数偏导数与全微分l偏导数偏导数l对多元函数对多元函数f(x1,x2,…xn)的求导数的的求导数的命令有如下几个:命令有如下几个:l命令形式命令形式1: D[f, x] l功能功能:求函数求函数f对对x的偏导数;的偏导数;l命令形式命令形式2: D[f, x1, x2, …] l功能功能:求函数求函数f高阶混合偏导数;高阶混合偏导数;l命令形式命令形式3: D[f, x, NonConstants->{v1,v2,…}]l功能功能:求函数求函数f对对x的偏导数,其中的偏导数,其中v1,v2,…是关于是关于x的函数。
的函数例10: 求z=asin(xy)对y和 对z的偏导数.解:Mathematica命令In[15]:=D[a*Sin[x*y], y] Out[15]=axCos[x y]In[16]:=D[Exp[x+y+z^2], z] Out[16]=例11:对函数 ,求解:Mathematica命令In[17]:=D[x^3 *y^2+Sin[x*y], x, y] Out[17]=:例例12: 对函数对函数 , 求求解解:Mathematica命令命令 In[18]:=D[x^3 *y^2+Sin[x y], {x,3}]; Out[18]=例例13. ,其中,其中y,,z是是x的函数解解:Mathematica命令命令In[19]:=D[x^2+y^2+z^2, x, NonConstants->{y, z}]Out[19]=2 x + 2 y D[y, x, NonConstants -> {y, z}] + 2 z D[z, x, NonConstants -> {y, z}]:例例:例例:全微分全微分多元函数多元函数f(x,y,z,…)的全微分命令同一元函数的微分,的全微分命令同一元函数的微分,其命令为:其命令为:命令形式命令形式: Dt[f] 功能功能:求函数求函数f的全微分。
的全微分例例14:求求 的全微分的全微分dz解解:Mathematica命令命令In[20]:=Dt[x^2+y^2]Out[20]=2 x Dt[x] + 2 y Dt[y] ●Mathematica有如下两个求全导数的命令:有如下两个求全导数的命令:命令形式命令形式1: Dt[f, x] 功能功能:求函数求函数f的全导数的全导数命令形式命令形式2: Dt[f, x, Constants->{c1,c2,…}]功能功能:求函数求函数f的全导数,其中的全导数,其中f中的变元与中的变元与x无关例例15:求求 的全导数,其中的全导数,其中y是是x的函数解解:Mathematica命令命令In[21]:=Dt[x^2+y^2,x]Out[21]=2 x + 2 y Dt[y, x]例例16:求求 ,其中,其中y是与是与x无关的独立变量无关的独立变量解解:Mathematica命令命令In[22]:=Dt[x^2+Sin[x y]+z^2, x, Constants->{y}]Out[22]=2 x + y Cos[x y] + 2 z Dt[z, x, Constants -> {y}] :•4.3求不定积分求不定积分•命令形式命令形式:Integrate[f, x]•功能功能:计算不定积分。
计算不定积分•例例17:计算计算•解解:Mathematica命令命令•In[23]:=Integrate[1/(Sin[x]^2 Cos[x]^2),x]•Out[23]=-(Cos[2 x] Csc[x] Sec[x]):l4.4求定积分求定积分l命令形式命令形式1: Integrate[f[x],{x,xmin,xmax}]l功能功能:计算定积分,计算定积分,xmin,,xmax分别表示积分别表示积分变量的下限和上限分变量的下限和上限l命令形式命令形式2: NIntegrate[f[x],{x,xmin,xmax}]l功能功能:计算定积分的数值积分,计算定积分的数值积分,xmin,,xmax必须是数字,不能是字母必须是数字,不能是字母l命令形式命令形式3:lIntegrate[f[x,y], {x, xmin, xmax}, {y, ymin, ymax}]l功能功能:计算重积分计算重积分,xmin,xmax ,ymin,ymax表示表示积分限例18.计算定积分解:Mathematica命令In[24]:=Integrate[(1+x-1/x)*Exp[x+1/x], {x, 1/2, 2}]Out[24]= 例19.计算广义积分解:Mathematica命令In[25]:=Integrate[1/x^4, {x, 1, +Infinity}]Out[25]:= 例20.计算瑕积分解:Mathematica命令In[26]:=Integrate[x/Sqrt[1-x^2], {x, 0, 1}]Out[26]=1:例例21:计算定积分计算定积分解解:本题用定积分基本公式是积不出来的,用上面命令本题用定积分基本公式是积不出来的,用上面命令2可以计算可以计算出结果:出结果:In[27]:=NIntegrate[Exp[x^2], {x, 0, 1}]Out[27]= 1.46265例例22:计算 ,:计算 ,D由由y=1,x=4,x=2y所围所围解解: 对二重积分要先化为累次积分,定好积分限后,再使用命令形对二重积分要先化为累次积分,定好积分限后,再使用命令形式式3。
本题的本题的Mathematica命令为命令为In[28]:=Integrate[x*y, {x, 2, 4}, {y, 1, x/2}] Out[28]=例例23.计算计算解解:Mathematica命令命令In[29]:=Integrate[x^2+y, {x, 0, 1}, {y, x^2, Sqrt[x]}]Out[29]=:4.5函数展开成幂级数函数展开成幂级数命令形式命令形式:Series[f, {x, x0, n}]功能功能:把函数把函数f在在x=x0点展开成幂级数,最高项为点展开成幂级数,最高项为n次命令形式命令形式:Normal[expr]功能功能:去掉幂级数表达式去掉幂级数表达式expr中的截断误差项,获得剩余的中的截断误差项,获得剩余的多项式例例24.将函数将函数 展开为展开为x的最高次为的最高次为6的幂的幂级数解解:Mathematica命令命令In[30]:=Series[x*ArcTan[x]-Log[Sqrt[1+x^2]], {x, 0, 6}]Out[30]=:例例25.将函数将函数 展开为关于展开为关于(x-2)的最高次为的最高次为4的幂级数。
的幂级数解解:Mathematica命令命令In[31]:=Series[1/x^2, {x, 2, 4}]Out[31]= In[32]:= Normal[%]Out[32]= 数学实验数学实验:用正弦函数用正弦函数sin x的不同的不同Taylor展式观察函数的展式观察函数的Taylor逼近特点逼近特点 :练习练习. 1 在某化学反应里,由实验得到生成物的浓度在某化学反应里,由实验得到生成物的浓度y与时间与时间t有如下表所示的关系,求浓度与时间有如下表所示的关系,求浓度与时间的关系的经验公式的关系的经验公式2 在你学习过的数学教材中,分别选择一道有关在你学习过的数学教材中,分别选择一道有关偏导数和全微分的习题,用偏导数和全微分的习题,用mathematica数数学软件命令来计算学软件命令来计算 t/min12345678y46.488.49.289.59.79.86t/min910111213141516y1010.210.3210.4210.510.5510.5810.6::。












