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合同矩阵——线性代数.ppt

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文档编号：52234266

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常见问题

合同矩阵一. 实对称方阵的合同变换.设P是一个n阶可逆方阵,令: X = PY, 则:XTAX = (PY)TA(PY) = YT(PTAP)Y实二次型:核心问题问题 : 对对于给给定的实对实对称方阵阵A，如何寻寻找一个可逆方阵阵P，使得PTAP成为对为对角方阵阵?这样这样的对对角方阵阵具有什么特点呢? (1) 若a1,1  0设A是一个n阶实对称方阵.(2) 若a1,1 = 0, 而 ak,k  0 无妨说a3,3  0(3) 若a1,1 = a2,2 = … = an,n = 0, 而ai,j  0无妨说, an,3  0其中s + t = R(A)，称s为该二次型的正惯性指数；称t 为该二次型的负惯性指数； s – t为该二次型的符号差即, 我们们用了一系列初等方阵阵P1, P2, …, Pl, 使得:PlPl-1…P2P1AP1TP2T …Pl-1TPlT 令P = P1TP2T …Pl-1TPlT = PTAP 那么如何在变换过程中自动记录P呢？例1. 利用合同变换把对称方阵化为标准形.解：即例2. 利用合同变换把对称矩阵化为标准形解：令:则例3. 利用合同变换把对称方阵化为标准形 .解：二. 利用配方法把二次型化为标准形例4. 利用配方法把下列二次型化为标准形，并求所用的变换矩阵。

解：令：则 :例5. 利用配方法把下列二次形化为标准形，并求变换矩阵解：令则再令即从而变换矩阵P为：。

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