（整理版）初三数学23.3实践与探索华东师大版.doc

初三数学23.3 实践与探索华东师大版【本讲教育信息】一. 教学内容： 23.3 实践与探索二. 重点、难点： 1. 重点：〔1〕认识方程是刻画实际问题的一个有效的数学模型，经历列一元二次方程解决简单实际问题的过程；〔2〕能用图表分析具体问题的数量关系，会用运动、变化的观点考察数量的关系，掌握列一元二次方程解应用题的根本操作步骤；〔3〕会从具体实例中发现一般的规律，知道二次项系数为1的一元二次方程的根与系数的关系 2. 难点：〔1〕将实际问题转化为熟悉的数学问题，运用一元二次方程探索和解决实际问题；〔2〕懂得二次项系数为1的一元二次方程的根与系数之间的关系，理解一元二次方程根与系数关系的推导过程三. 知识梳理：〔一〕列一元二次方程解应用题1. 应用一元二次方程解决实际问题的步骤：在日常生活实践中，许多问题都可以通过建立一元二次方程这个模型来进行求解，然后回到实际问题中去进行解释和检验首先要把实际问题加以分析，抽象成数学问题，然后用数学知识去解决它应用一元二次方程解决实际问题的步骤可归结为：“设、找、列、解、验、答〞〔1〕设：是指设未知数，可分为直接设和间接设所谓直接设，就是指问什么设什么；在直接设未知数比拟难列出方程或者列出的方程比拟复杂时，可考虑间接设未知数。

〔2〕找：是指读懂题目，审清题意，明确条件和未知条件，找出它们之间的等量关系〔3〕列：是指根据等量关系列出方程〔4〕解：是指求出所列方程的解〔5〕验：分为两步一是检验解出的数值是否是方程的解，二是检验方程的解是否符合实际情况〔6〕答：就是书写答案，一定要遵循“问什么答什么，怎么问就怎么答〞的原那么一元二次方程解应用题应注意：〔1〕写未知数时必须写清，用对；列方程时，方程两边必须一致；答必须写清〔2〕注意语言和代数式的转化，要把用语言给出的条件用代数式表示出来 2. 常见的应用题：〔1〕几何图形的面积问题：这类问题的面积公式是等量关系，如果图形不规那么，应分割或组合成规那么图形，找出各局部面积之间的关系，再运用规那么图形的面积公式列出方程〔2〕平均增长〔降低〕率问题：此类问题是在某个数据的根底上连续增长〔降低〕两次得到新的数据，解这类问题需牢记公式或，其中a表示增长〔降低〕前的数据，x表示增长或降低率，b表示后来得到的数据，“＋〞表示增长，“－〞表示降低注意：①解此类问题所列的方程，一般用直接开平方法求解②增长率不能为负数，降低率不能大于1〔3〕营销问题：解决此类问题首先要能清楚几个名称的意义，如本钱价、售价、标价、打折、利润、利润率等以及它们之间的等量关系。

此类问题常见的等量关系是：“总利润＝总售价－总本钱〞或“总利润＝每件商品的利润销售数量，〞〔二〕一元二次方程根与系数的关系1. 一元二次方程根与系数关系：假设一元二次方程〔a、b、c为数，a≠0，〕的两个实数根为，那么，即：一元二次方程两个根的和等于方程的一次项系数除以二次项系数的相反数；两个根的积等于常数项除以二次项系数的商2. 一般地，对关于x的方程x2+px+q=0，〔p、q为常数，p2－4q≥0〕．x1、x2是它的两个解，写出x1、x2与p、q的关系：x1+x2=－p，x1x2=q说明：〔1〕如果是方程的两个根，那么〔2〕以数为根的一元二次方程(二次项系数为1)是：典型例题】例1. 一种药品经过两次降价，由每盒60元调至48.6元，平均每次降价的百分率是多少?分析：如果设每次降价的百分率为x，那么第一次降价后应为60(1－x)元，第二次降价后应为60(1－x)2元，由此可列出方程解：设平均每次降价的百分率为x，列方程得： 60(1－x)2=48.6，解得：1－x=0.9.即x1=0.1=10%，x2=1.9=190%(不合题意，舍去).答：每次降价的百分率为10%. 例2. 棵。

这些学生在初一时种了400棵，假设平均成活率95%，求这个年级每年植树数的平均增长率〔精确到0.1%〕分析：至今已成活棵，指的是连续三年春季上山植树的总和解：设这个年级每年植树数的平均增长率为x，那么第二年种了400(1+x)棵；第三年种了400(1+x)2棵；三年一共种了400＋400(1+x)＋400(1+x)2棵；三年一共成活了[400＋400(1+x)＋400(1+x)2]95％棵根据题意列方程得[400＋400(1+x)＋400(1+x)2]95％＝解这个方程得x1≈0.624=62.4%x2≈－3.624=－362.4%但x2=－362.4%不合题意，舍去，所以x=62.4%答：这个年级每年植树数的平均增长率为62.4% 例3. 有一个两位数，它的两个数字之和是8，把这个两位数的数字交换位置后所得的数乘以原来的数就得到1855，求原来的两位数分析：设个位数字为x，十位数字是8－x，原来的两位数是10(8－x)+x，交换位置后的两位数是10x+(8－x)相等关系是：交换位置后的两位数原来的数=1855解：设个位数字为x，那么列方程[10x+(8－x)][10(8－x)+x]=1855。

化简，得(9x+8)(80－9x)= 1855，720x+640－81x2－72x=1855，解方程x2－8x+15=0，得x1=3，x2=5检验：〔1〕假设个位数字取3，那么十位数字取5，原来的两位数是53，交换位置后的两位数是35，3553=1855，符合应用题题意〔2〕假设个位数字取5，那么十位数字取3，原来的两位数是35，交换位置后的两位数是53，5335=1855，符合应用题题意答：原来的两位数是53或35 例4. 某商店从厂家以每件21元的价格进一批商品，该商品可以自行定价，假设每件商品售价为x元，那么可卖出(350－10x)件，但物价局限定每件商品加价不能超过进价的20%，商店方案要赚400元，需要卖出多少件商品，每件商品应售多少元?分析：由题意可知每件商品可赚(x－21)元，此时可卖出(350－10x)件，那么得方程： (x－21)(350－10x)=400，解：由题意可得(x－21) (350－10x)=400，解得，x1=25，x2=31∵每件商品加价不能超过进价的20%，由21(1+20%)=25∴x=31不合题意，舍去∴x=25，此时350－1025=100(件)答：商店要赚400元，需卖出100件商品，每件商品售价为25元。

例5. 某商店在销售中发现：“宝乐〞牌童装平均每天可售20件，每件盈利40元为了迎接“六一〞儿童节，商场决定采取适当的降价措施以扩大销售量，增加盈利，减少库存经市场调查发现，每件童装每降价4元，平均每天就可多售出8件，要想每天在销售这种童装上盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？分析：相等关系为单件盈利件数=总盈利解：设每件童装应降价x元，每件盈利〔40－x〕元，每天可销售的件数为件根据题意，得：整理得：解得：∵要扩大销售量，减少库存，所以童装要降较大值∴x＝20答：每件童装应降价20元点拨：此题中的相等关系是：总利润＝每件商品的利润销售数量更多的时候用相等关系：总利润＝总售价－总本钱 例6. 某商场进一批单价为16元的日用品销售一段时间后，为了获得更多的利润，商店决定提高销售价格，经调查发现，假设按每件20元价格销售时，每月能卖360件，假设按每件25元的价格销售时，每月能卖210件，假设每月销售件数y(件)与价格x (元／件)满足关系式y=kx+b〔1〕确定k与b的值，并指出x的取值范围；〔2〕为了使每月获得利润为1920元，问商品应定为每件多少元?分析：由于销售的件数y与价格x满足关系式y=kx+b，故从x=20时，y=360；x=25时，y=210，可求出k与b的值，而利润=y(x－16)=(kx+b)(x－16)，从而求出题目所要求的量。

解：〔1〕∵当x=20时，y=360；当x=25时，y=210∴解得〔2〕根据题意知，y(x－16)=1920，即(kx+b)(x－16)=1920∴(－30x+960)(x－16)=1920，解得∴商品定价应定为每件24元 例7. 一个直角三角形三边的长是三个连续偶数，求此三边长及三角形面积分析：在列方程解与直角三角形有关的应用题时，勾股定理是常用的列方程的依据由于三边的长是三个连续偶数，这样就可设三边长分别为－2，，+2，然后根据勾股定理列出方程解：设三条边的长分别是－2，，+2由勾股定理，得(－2)2+2=(+2)2整理得2－8=0所以1=0，2=8因为1=0不合题意，舍去所以=8，－2=6，+2=10所以三角形面积=682=24答：这三条边的长分别是6，8，10，面积是24 例8. 在长为50m、宽为30m的矩形地面上，修筑同样宽的两条互相垂直的道路，余下局部种植花草，且使花草的总面积是道路面积的3倍，请你画出设计图，并计算道路的宽度分析：由花草的总面积是道路面积的3倍，可知：道路面积=总面积，或花草的总面积=总面积解：方案一：如下图，设道路宽为xm，那么横向的路面面积为，纵向的路面面积为根据题意列出方程为，但不合题意舍去，所以答：按图设计，道路的宽应为5m。

方案二：如下图，把道路平移到两边，保持面积不变，可列方程较容易解得设道路宽为xm，那么种植花草的矩形的长为〔50－x〕m，宽为〔30－x〕m根据题意列出方程为解得但不合题意舍去所以答：道路的宽为5m点拨：这类问题的面积公式是等量关系，如果图形不规那么，应分割或组合成规那么图形，找出各局部面积之间的关系，再运用规那么图形的面积公式列出方程 例9. 小明的爸爸下岗后，自谋职业，做起了经营水果的生意一天，他先去批发市场，用100元购甲种水果，用150元购乙种水果，乙种水果比甲种水果多10千克，乙种水果的批发价比甲种水果的批发价每千克高0.5元；然后到零售市场，都按每千克2.8元零售结果，乙种水果很快售完，甲种水果售出时，出现滞销，他便按原零售价的5折售完剩余的水果请你帮小明的爸爸算一算这一天卖水果是赔钱还是赚钱〔不考虑其他因素〕？假设赔钱，赔多少？假设赚钱，赚多少？分析：卖水果的钱大于购水果的钱那么赚钱，反之那么赔钱而求卖水果的钱关键是求出购甲、乙水果的数量，因此可设乙种水果的数量为x千克，那么甲种水果的数量为〔x－10〕千克金额/元批发价/元数量/千克甲种水果100x－10乙种水果150x根本关系解：设买乙种水果x千克，那么买甲种水果〔x－10〕千克根据题意，得整理，得解得：x1=50，x2=60。

经检验知，x1=50，x2=60都是原方程的根当x=50时，乙种水果的批发价为15050=3〔元〕，高于水果的售价，应舍去当x=60时，乙种水果的批发价为15060=2.5〔元〕，甲种水果的批发价为100〔60－10〕=2〔元〕，都低于水果的售价，所以：x=60，x－10=50因此，602.8+502.8+502.8－100－150=44〔元〕答：小明的爸爸这一天卖水果赚了44元点拨：〔1〕有些实际问题，当直接设未知数不能解决时，可考虑间接设元的方法〔2〕列分式方程解决实际问题，求出的解既要满足这个分式方程，同时还要保证有实际。