我国八年级学生数学运算能力实证研究.docx

作者：作者简介:原文出处:内容提要:路红/棊春霞我国八年级学生数学运算能力实证研究路红，北京师范大学教育学部硕士生，主要研究方向为数 学课程与教学论研究（北京100875）；棊春霞，北京师范 大学教育学部教授，博士生导师，主要研究方向为课程与 教学论、数学教育.《教育测量与评价》（长沙）2018年第20182期 第52-57页为了解学生数学运算能力现状，对Z省13916名八年级学 生进行数学运算能力的测试，基于项目反应理论估计出学 生的数学运算能力值，以此得到八年级学生数学运算能力 的总体表现，并结合典型题目对学生在理解运算对象、掌 握运算法则、选择运算方法、简化运算过程以及估算等五 个维度上的表现进行了具体分析与解读•监测结果发现，八 年级学生数学运算能力总体处于中等偏上水平，男生群体 中更多学生运算基础较差；在数学运算能力各维度上，学 生整体表现存在一定差异，在“理解运算对象”上表现最 好，在“选择运算方法”和“简化运算过程”上有待进一 步加强•为此，教师应关注男生中的低水平运算群体，锻炼 学生在运算思维和逻辑上的跟进能力，引导学生进行不同 运算方法之间的比较，并重视对学生作答的归因分析.期刊名称: 复印期号:关键词:《初中数学教与学》2018年05期数学/运算能力/八年级/学业质量监测标题注释:【基金项目】本文为北京师范大学中国基础教育质量监测 协同创新中心区域教育质量健康体检项目“中学数学学业 质量诊断与反馈”（项目号:105006）的研究成果.数学运算能力是一种重要的数学素养.培养运算能力有助于学生理解运算的算理, 寻求合理简洁的运算途径解决问题.[1]过去的教学大纲对学生运算能力的要求主要是: 准确、快速、灵活、简便.教师为了让学生们达到这些目标往往借助大量的练习，过 于重视运算的速度和正确性，忽视学生对算理的理解，也违背了 “以人为本"的教 学意图•数学新课改针对以上问题适当降低了对运算复杂性的要求,将一些偏、难的 内容进行了删减，并将计算器引入课堂•随着新课改的不断深入,数学教育工作者对 培养学生运算能力的观念也发生了转变,教师把更多的目光放在发展学生的运算能 力上，而不再是单纯地追求运算速度和技巧.《义务教育数学课程标准（2011年 版）》（以下简称《标准》）就将"运算能力"视为重要的数学核心概念.为此，本 研究依托北京师范大学〃区域质量监测"项目，对我国Z省的13916名学生进行了 测试，通过实证研究揭示我国八年级学生数学运算能力的发展现状.一、研究工具（-）研究对象我国Z省13916名八年级学生参与了本次测试，其中，男生人数7260名，约 占总人数的52.2% ,女生人数6656名，约占总人数的47.8%.（二）研究工具1•内容框架依照《标准》，笔者划分出进行本测试〃数学运算"的主要知识结构.具体描述见表1.2. 能力框架测评基于《标准》并结合项目评价的目的,将数学运算作为本次中学数学测试 所考查的素养点之一•测试中涉及数学运算的试题主要包括五个维度：理解运算对象、 掌握运算法则、选择运算方法、简化运算过程、估算.具体描述见下页表2.3. 工具开发根据以上测试框架要求和国际通行的教育测量程序,测试工具开发依次经历了 命制试题、6人访谈、30人测试、300人测试、外审等多个环节，并且依托"区域 质量监测”项目就测试工具开展了多轮专家评定”做到了基于课程标准、基于科学 的试题开发流程、基于证据的试题属性分析的测试工具开发等要求.初中数学素养测评项目主要采用纸笔测试，力求对学生数学知识技能、思想方 法以及数学能力的发展状况进行较为全面的评价.[2]数学运算能力测试部分设选择题、 填空题和解答题,分数比例为2:2:1 f通过不同题型反映学生的运算能力表现.试 题的区分度介于0.53至0.80,难度介于0.54至0.81.调查结果一方面展现了学生 数学运算能力的整体情况,一方面也透过其典型作答反映岀学生学习和教师教学中 存在的问题.4•数据收集与分析本研究利用Conquest软件估计学生数学运算的能力值，运用SPSS软件得到 学生在不同维度上的数学运算得分率.二硏究结果分析(-)八年级学生数学运算能力总体上处于中等偏上水平，表现良好如图1.将基于项目反应理论估计得到的八年级学生数学运算能力值在不同区 间上的人数百分比进行统计,以1和分别作为运算能力高、中、低水平的分界线, 可以看到,近六成学生的数学运算能力值处于中等水平•其中,高水平学生人数比例 占到25.9%，低水平人数比例为16.9% ,说明学生总体上的运算能力水平中等偏上. 在中等水平和高水平上，男女分布差异虽然不大(男生略有优势)，但在低水平段 上,男生群体的人数比例高于女生群体近20个百分点,说明男生的数学运算能力基 础更为薄弱.进一步,利用男女生群体的数学运算能力值，使用独立样本t检验考查学生运 算能力表现的性别差异，结果显示：八年级学生数学运算能力表现存在显著性别差 异(t=-6.371 z p < 0.01),并且女生表现好于男生，女生数学运算能力均值(0.0563 )高于男生(-0.0516 ).(二)八年级学生在数学运算能力不同维度上的表现对所有被试在数学运算能力各维度上的得分率进行统计,可以看到：在数学运 算能力各维度上，八年级学生的表现存在一定的差异;在〃理解运算对象〃上表现 最好，平均得分率达到0.72 ;在"选择运算方法"和〃简化运算过程"上的表现相 对较差(均为0.59 ),这可能与"选择运算方法"和〃简化运算过程"两种运算成分在一定程度上依托于其他运算成分、综合性更强有关.接下来，通过典型题目分析，可以具体说明学生在数学运算能力各维度上的表 现.L理解运算对象例题1 :两摞相同规格的凳子整齐地叠放在地面上，请根据图中给出的信息计 算:若地面上有12个凳子整齐地叠放成一摞，则它的高度为（).A. 74cmB. 80cmC. 84cmD. 88cm例题1从生活中常见的叠凳子情境考查学生对运算对象的理解与抽象能力.难点 在于学生需要在对具体图形的理解基础上，挖掘出〃不管誉放凳子的数量如何变化, 总高度中总包含一个凳腿的高度不变〃的隐含信息,进而将问题抽象为以〃凳板〃 和〃凳腿"为变量的二元一次方程组,利用消元法求解两个变量的值,再代入12个 凳子的情境下得到最终答案88cm.除此之外，学生通过对两摞凳子的高度直接作差, 能得到〃4个凳板的高度为16cm"的结论,进而在任意一摞凳子中加入一定数量 的凳板高度即可快速求得答案该方法避免了二元一次方程组的列式与求解,对学生 观察、理解运算对象的要求更高.本题得分率为70.4% ,整体上运算步骤较多，在一定程度上增加了学生对运算对象由〃形"到"数"进行抽象的难度.20.3%的学生选择C选项，这部分学生很可能通过作差得到了 "4个凳板的高度为16cm"的结论，但误与68cm直接作和,说明学生完成了对运算对象的基本定向，并具备一定的理解能力，但在应对众多的题目条件时”他们在思维连贯性与逻辑严谨性上的跟进能力有所不足”导致运算后 半段出错.2. 掌握运算法则例题2 :因式分解:例题2考查学生运用因式分解定义、法则等进行正确运算的能力.对学生作答情 况进行了详细的编码、统计，见表3.学生的作答可以分为以下五类.第一类（代码为4 ）的学生，能够在掌握因式分解定义和法则的基础上，准确 地识别各因式、系数特点,进而选择合适法则进行运算•这属于正确的作答.第二类（代码为90 ）的学生，未能深刻把握因式分解的定义〃把一个多项式化 为几个整式的积的形式"，只选择了部分因式进行部分分解•这属于错误的作答.第三类（代码为91）的学生，对完全平方公式中的符号不够敏感、缺乏区分意 识，导致运算结果出错•这属于错误的作答.第四类（代码为92 ）的学生，正确地逬行了因式分解，但答案写成了等式形式. 这也属于错误作答.第五类（代码为0 ）的学生，完全空白作答.例题2的得分率为53.6% ,说明学生的作答并不理想.27.8%的学生属于第四类错误，这部分学生掌握了因式分解的运算法则，但忽略了因式分解定义中对结果形 式的强调•运算方法固然重要，但缺少了严谨形式的支撑，对刚刚接触这类知识的学 生来说，他们会在认知框架中埋下隐患,应用过程中随时可能出现错误52%的学生 属于第二类错误,即只选择了部分因式进行部分分解,这说明学生已经具备了因式 分解的意识，但结果出现错误，原因有二，一方面，学生对因式分解的定义理解不 够深入，没有认识到结果应是“几个整式的积的形式"，只针对个别项进行了公因 式提取；另一方面,学生理解了因式分解的定义，但没有掌握因式分解的法则,导 致学生在面对具体问题时难以开展深入的运算•高达12%的学生放弃作答，说明这部 分学生缺乏对因式分解定义和法则的基本认识,在面对这类问题时不知从何下手, 且缺乏一定的探究意识.可见”因式分解问题是学生代数运算学习的难点与易错点” 在开展类似的运算法则学习时，学生不仅要充分理解相关定义，更要基于此开展具 体深入的练习.3. 选择运算方法例题3 :解分式方不—I例题3以解分式方程为例考查学生在面对具体运算问题时对运算方法的选择能 力•学生作答主要采取两种方法：(1)去分母，将等式两边交叉相乘或同乘以最简 公分母，再求解X、验根；(2)保留分母，经历移项、变号及通分，再令分子为零 求得答案,最后进行验根.其中,方法一通过去分母,将分式方程直接转化为整式方 程，减少了运算步骤和书写量•两种方法作答的人数比例分别为67.2%、4.2%.可见, 多数学生都选择了方法一进行化简，说明该方法在运算上更利于学生接受与掌握.值得注意的是，例题3两种方法中作答完全正确的人数比例分别仅为13.4%、0.4%.采用方法一解题的学生正答率锐减的主要原因是,高达47%的人没有验根.解 分式方程时可能产生增根，教科书中也有对应的探究及例题进行讲解，为何会有那 么多学生没有验根呢？这与方法一的去分母有关,学生在运算过程中自然地转换到 对整式方程的求解,逐渐以求得x的值为目标从而忽略验根相比之下,运算过程中 始终保留分母的方法二，在验根这一步失分较少，人数比例仅为2.1%.这就提醒学 生，在选择运算方法时，除了关注方法的简易性，也要注重对运算方法的综合比较, 充分挖掘各种数学方法运算过程及思维的难点与易错点•另外,在日常教学中,教师 对掌握运算法则、选择运算方法的过分强调,也在一定程度上弱化了学生运算逻辑 的严密性,这可能也是学生忘记验根的一个原因.有27.5%的学生完全错误或空白作答，说明他们在解决类似问题时缺乏对问题 的基本定向与理解.为此，教师应该避免运算方法的直接教学，从最简公分母等概念 入手，帮助学生搭建基础知识框架，然后进行方法选择等后续指导.4. 简化运算过程通过对例题3两种方法的对比可以看到，运算过程、程序的繁简在很大程度上 依托于运算方法的选择,同时受到数学运算各方面能力的影响•图2为两名学生的典 型作答,A生直接去分母求解并代入最简公分母验根,由于选择的运算方法简便, 且明确掌握了验根法则，其运算过程十分简洁，运算步骤、程序也较为精炼.B生采 取了移项通分的做法，运算过程中需兼顾移项变号、通分和分母，运算步骤明显增 多、书写繁杂；验根时，将根直接代入分式整体进行验算，而未关注最简公分母， 显然没有掌握验根法则的关键点,增添了不必要的运算.简化运算过程的能力是运算能力中要求最高的成分.[3]为了在简化运算过程上达 到更高水平，学生既要学会灵活运用定义、公式和法则进行运算，还需要掌握丰富 的数学知识，以。