舒尔不等式及其应用.doc

舒尔不等式及其应用712000陕西省咸阳师范学院基础教育课程研究中心安振平众所周知，著名的舒尔(Schur)不等式是：定理设y.z^Q.r是实数，则xr(x-y)(x一z)+yr(y-z)(y-x)+zr(z-x)(z-y)>o.:特别当r=1时，舒尔不等式有下面多种等价形式：(1) (《数学教学》1985年第3期问题73)若工、y、z为正数，求证：x3+y3+z33xyz+x(y-z)2+y(z-x)2+z(x-y)2・(2) (1975年全苏数学奥林匹克十年级竞赛题)对于正数丄、y、z,有x34-7/3+z3+3xyz>xy(x+")+yz(y+z)+加(z+①)・(3) (1983年瑞士数学竞赛试题)已知丄、9、z为正数，求证：xyz上©+z-x)(z+x-y^x+y-z).(4) 设龙、y、z20,则(a:+g+z)3-4@+g+z)(xy+yz+zx)+9xyz20.下面给出舒尔不等式及其变式的一些应用，供读者参考.例1设a、b、c?0,且a+b+c=l・求证：5(a2+b?+c2)+18abc上证明：所证不等式等价于5(a+b+c)2—710(ab+6c+ca)+18abc><5设p=a+b+c,q=ab+6c+ca,r=abc(此记法也用于后述各例)，则有75p2一10g+18r2-p2,等价于4p2一15g+27r$0,等价于4(p3-4pq+9厂)+伽—9r)20,由上述等价形式(4),p3-4pq+9卩上0,又由pq_9r=a(b—c)2+b(c—a)2+c(a—b)220,故原不等式获证.例2(2004年南昌市高中数学竞赛试题)设a.b、c>0,且a+b+c=l・求证：卫+於+c2+9abc》2(ab+6c+ca).证明：所证不等式等价于(a+b+c)2-4(ab+be+ca)+9abc>0,即护—4g+9卩20,等价于p3—4pq+9r0.由等价形式(4),原不等式获证.例3(2010年广东高中数学竞赛试题)设a.b>c上0,且a+b+c=1,求证：9abcWab+be+caW-(1+9abc)•证明：利用三元均值不等式，得勺+bc+ca=(ab+be+ca)(a+6+c)23y(abc)2-3v^abc=9abc,所以是无功而返.”但是，在解题教学中，也不能仅靠巧法来打动学生，否则即使成功打动学生,学生也只能停留在“欣赏”层面，不会产生心领神会的心灵共鸣，最终还是“懂而不会”.我们只有始终坚持“以普适性解法为根本”不动摇,且“与生俱进”，坚持通性通法，并依此来打动学生，教师只有注重解法“普适性”，才能使学生较好地学会解题、领悟解题，从而达到举一反三，融合贯通的效果.教无止境，为了学生优质地学习，让我们在解题教学中不去过于追求巧解，紧紧抓住数学的本质和精要所在，•从而让学生明白数学是自然的、清楚的..参考文献[1]章建跃.关注学生的感受最重要[J].中小学数学(高中版)，2009(5):封底.9a比Wab+be+ca.又因为ab+bc+caW扌(1+9a6c),即4qW1+9r,等价于p3-4pq+9r0,由等价形式(4),知该不等式成立.综上，有9abcWab+be+caW^(1+9abc).例4(《数学通讯》学生刊2010年第9期问题27)设a、b、c>0,且a+b+c=3.求证:2(a3+丽+c3)+3abc>9.证明：所证不等式等价于2(a+b+c)3-6(a+b+c)(ab+be+ca)+9abc>9,等价于6(a+b+c)?—18(a+b+c)(ab+be+ca)+27abc》(a+b+c)3,即5p3一18pq+27r20,等价于5(p3-4pq+9r)+2(pq-9r)>0.由例1知—4pq+9r20,pg—9r》0成立，所以上式成立，原不等式获证.例5(第26届IMO试题)设a、b、c上0,且a+b+c=1.求证：ab+bc+ca—2abcW727*”7证明：所证不等式即g-w冷，等价于27q一54rW7,等价于7p3—27pq+54r>0,等价于7(p3一4pq+9r)+(pg—9r)>0.由例1知p?-4pq+9旷20,pg-9r20成立，所以上式成立，原不等式获证.例6(《数学通讯》2012年第10期问题111题)设a、b、c>0,求证：abc3^^>£b+cc+aa+62(a+b+c)"#证明：由柯西不等式，得£-+丄+o+cc+aca2b2・以=++2a+bab+cabc+abca+bc(a+b+c)?2(ab+be+ca)'于是，要证原不等式，只要证明(a+b+c)?3%比等价干2(ab+be+ca)2(a+b+c)/'p3+3£7g24pq,等价于(p3—4pq+9r)+3^r(q—3^r^)>0.由例1知p3-4pq-I-9r>0,由三元均值不等式得g-3沪>0成立，所以上式成立，原不等式获证.例7(2012年福建省暑期数学竞赛培训题)求最小的实数m,使对于满足a+b+c=1的任意正实数a、b、c,都有m(a3+63+c3)6(a2+於+c2)+1.解：当a=b=c=£时，mx3x》oZ/6x3x£+1,得m227.下面证明不等式27(a3+后+M)26(a2+2+以)+1对于满足a+b+c=1的任意正实数a、b、c都成立.因为a3+63+c3=p3-3pq+3r,a2+b24-c2=p2-2(?,所以不等式27(a3+沪+c3)》6(a2+护+c2)+1,即27(p3一3pq+3r)>6(p2一2q)p+p3,即20p3一69pg十81r20,等价于20(p3一4pq+9卩)+ll(pg—帥)>0.由例1知p?-4pq+9r上0,pg-9旷20成立，所以上式成立，原不等式获证.例8(《数学通讯》2013年第1-2期问题124题)已知正数a、b、c满足abc=a+b+c+2,求证：a+b+c》4(:+»+；)•证明：先证abc上&对abc=a+b+c+2用三元算术-几何不等式，得abc23审abc+2,令t=\/abc,得R一3t一2上0,等价于(t一2)(t+I)220,所以t=\/abc上2,即abc》&所证不等式a+b+c24(1+；+R\abcJ等价于abc(a+6+c)24(ab+be+ca)•9abca+6+c'上一2(a+b+c),(e+妙一z)(9+z—①)(z+y+界27xyz因为abc(a+b+c)=(a+b+c+2)(a+b+c),只要证(a+b+c+2)(a+6+c)>4(ab+be+ca)，等价于(a+6+c)?—4(ab+be+ca)2—2(a4-b+c),由舒尔不等式等价形式(4)得(a+b+c)3-4(a+b+c)(ab+be+ca)+9abc>0,变形为(a+b+c)2-4(ab+bc+ca)只要证9a6ca+b+c等价于2(a+b+c)?29abc,等价于2(abc一2)2>9abc.令x=abc,龙2&即2龙2_I7z+8上0.(1)因为f(x)=2x2-17©+8在［8,+oo)上是增函数，所以f(x)>/(8)=0,故不等式(1)成立，原不等式获证.•例9设龙、y、z>0,求证：(乎+寺+乎)3>8(x3+?/3+0)+3zyz・2证明：所证不等式等价于(护以+Z妝2+丄知2)328(/+g3+刊x3y3z3+3x42/424,令a=yz、b=zxyc=xy^则有(a2+b2+&2)3$8(feM+C3/+a3b3)302^/，等价于a6+b6+c6+3(a4b2+He2+c4a2)+3(a2b4+b2c4+c2^)+6a2b2c2$8(a3d3+b3c3+(?c?)+3a2^c2,等价于涉+沪+少+3(a4&2+b4c?+c4a2)4-3(a2d4+&2c4+c2a4)4-3a262c2>8(a363+b3Ma3),・・(2)由舒尔不等式等价形式(2),易得a6+664-c64-3a252c22(a4d2+b^c2+c4a2)+(a2&4+&2c4+c2a4),所以a6+&6+c6+3(a462+於c2+c4a2)+3(a2fe4+b2c4+c2a4)+3a2b2c2>4(a462+b4(?+c4a2)+4(a254+d2c4+c2a4)=4(a4b2+a264)+4(64c2+b2c4)4-4(c4a2+c2a4)=4a262(卫+於片心以(d2-l-c2)+4c2a2(Q+a?)24a262•2ab+4於去•2bc+4c2a2•2ca=8(a363+b^c?+c3a3).从而不等式(2)成立，原不等式获证.需要说明的是，本题加强了2008年国家集训队不等式题：设趴9、z>0,求证:兰+竺+皱>2“云+庐xyzv事实上，舒尔不等式还有如下等价形式：(5) 设①、y、z是正实数，求证：丄+丄+厶>^7-^1—；y-\-zz+xx+y\(yz)(z+x)(z+©)(©+y)@+?/)®+z)丿•结合《数学教学》1992年第6期问题289:设e、y、z是正数，求证：(’律丁飞(3/+z)(z+e)+%+也23(z+x){x+y)(x+y)(g+Z)"4"就得一个有趣的不等式链：⑦|yIZ22(xyy+zz+xx+y\(y+2)(2+x)yz*\>3(z+x)(rr+y)@+g)(9+z)丿“空其实，舒尔不等式有这样一种加强结论:设x>y>z>0,求证：xyz>(z+x-y)舒尔不等式的更多变式和应用，留给有兴趣的读者进一步去开发.参考文献[1] 安振平.三元均值不等式的加强及其应用[J].中学数学教学参考,1998(10):4(^41.[2] 安振平.数学问题的探究需在变式中行进[J]・数学教学，2008(11):21-25.。