
2021届高考数学圆锥曲线压轴题06 圆锥曲线离心率及范围问题(通用版解析版).pdf
28页专题6圆锥曲演离心率及范围问题离心率在圆锥曲线问题中有着重要应用,它的变化会直接导致曲线类型和形状的变化,同时它又是圆锥曲线统一定义中的三要素之一.有关求解圆锥曲线离心率的试题在历年高考试卷中均有出现.关于圆锥曲线离心率(范围)问题处理的主体思想是:建立关于一个a,仇c的 方 程(或不等式),然后再解方程或不等式,要注意的是建立的方程或不等式应该是齐次式.一般建立方程有两种办法:利用圆锥曲线的定义解决;利用题中的几何关系来解决问题另外,不能忽略了圆锥曲线离心率的自身限制条件(椭圆、双曲线离心率的取值范围不一致),否则很容易产生增根或者扩大所求离心率的取值范围.一、圆锥曲线的离心率方 法1:利用定义法求离心率知识储备:椭圆和双曲线的第一定义方法技巧:一般情况题中出现圆锥曲线上的点与焦点联系在一起时,尽量转化为定义去考虑,会更简单!丫 2h例1.(2015年浙江15题)椭圆去 +%=1(a 0)的右焦点尸(c,0)关于直线y=的对称点在椭圆上,则 椭 圆 的 离 心 率 是.法一:(当时网上的主流解法)大家上网看到的基本上就是这种解法,此方法入手很容易,但是后期的运算量会很大,并且此题高次方程的因式分解要求很高(对大部分学生来说高次方程分解本来就是一个盲区)。
b【解析】利用点尸关于直线y=的对称点在椭圆上,由b,的关系列方程求出椭圆离心率c设),n _ c由题意可得卜 一f b,解得:n.b-m-+-c12 c 2c3-cb 2bcm-7,n-a cr(c3-cb2(2bc2代入椭圆方程可得:一一+4=1,整体得:/(而Je2(4/-4e2+l)+4e2=1化筒得:4+e2 T =(),分解因式:(2e2-1)(2/+e2+1)=0 解得:eV2根法二:(定义法)这种解法是后来在做例2(成都诊断考试)的时候,联想到这种解法的解析】设左焦点为 耳,由尸关于直线y=hx 的对称点在椭圆上,得到OM _L QR且 M 为 QF中点,又为 F F 的中点,所以O M 为中位线,且由点到线的距离公式计算得至上MF=,a再由tanNR9M =上h 得到:OM=c .所以Q/=2 上bc,片c a a2bc 2c2据椭圆定义:耳+Q 尸=2得到:+=2化筒得:a ab=c,即6=立.2通过比较我们发现法二(定义法)计算过程更加简洁,不易出错.我在给学生讲题的时候学生经常会问我,哪个时候用定义法,其实大家只要看到有曲线上的点和焦点有联系时,就可以往定义法多思考一些。
2 2例 2.(2020成都市高三模拟).已知点P 是双曲线事 4=1 (0力 0)左支上一点,耳,人 是双曲a-b-线的左右两个焦点,且PR P每=0,线段P用的垂直平分线恰好是该双曲线的一条渐近线,则离心率为A V2 B 6 C 2 D A/5【答案】亚【解析】由焦点到渐近线的距离为人,得出尸尸2=2匕h再根据题意,得出尸_L尸耳,tan NPF也=二 所以尸 =2aa根据椭圆定义:P入一尸=2a,即处一22a得到:b=2a,例 3.(2018年新课标II卷 H 题)己知耳,乃是椭圆C 的两个焦点,P 是 C 上的一点,若 耳,尸行,且ZPF2Ft=6 0,则 C的离心率为()B.2-5/36-1D./3-l【答案】V 3-1【解析】设椭网焦点在x 轴上,则椭圆方程为三+方=1(0/0).因为NK尸 4=9 0,NPg耳=6 0 ,寓 阊=2c,所以忸玛|=(?,归耳|=辰设”为椭圆右焦点,尸 2 为椭圆左焦点,则归耳|+归周=2所以(G+l)c =2 a,所以e=G+i(73+I)(V3-I)1 .故选D.方 法 2:利 用 几 何 关 系 求 离 心 率:知识储备:初高中平面几何的全部知识都可以涉及。
r例 1、(2 0 1 9 年新课标I I 文 设 F为双曲线C:2 -v2=1 (0,b 0)供a2 b2OF为直径的圆与圆x2+y2=/交于p、两 点.若 Q|=|O f ,则 C的离心率为A.&B.7 3 C.2 D.【答案】A【解析】解法一:由题意,把=代入/+2=,得归 =2,4 2 一再由|尸卜|0目,得 2 a 2 一=c,即筋 2=2,所 以=2,解得e =&.故选A.a a解法二:如图所示,由|P Q|=|O 盟可知P为以OF为直径圆的另一条直径,所以0代入+,=/得 2 a 2 =2,解法三:由=|目 可 知PQ为以0尸为直径圆的另一条直径,则 0耳=夜.=,e=-=2.故选 A.r2 v2例2、(21 8年 新 课 标 2题)已 知 片 是 椭 圆/+方=1(0)的左、右焦点,A是C的左顶点,点P在过A且斜率为出的直线上,百心为等腰三角形,N f;鸟尸=1 2 0则C的离心率为62 1 八 1 1A.B.C.D.一3 2 3 4【答案】D【解析】由题意可得椭圆的焦点在x轴上,如图所示,设|耳6|=2 c,所以A P 6鸟为等腰三.角形,且N g P=1 2(),|PF21=1 FXF2|=2c,1|=c,.点尸坐标为(c+2 c c os6 0 ,2 c si n6 0 ),即点尸(2 c,J c).点P在过点4,且斜率为 立 的 直线匕6二 百 =走,解得=_ L .e =_ L,故选 D.2C+Q 6 a 4 4易错点:很多同学将点P画在了椭圆上,利用定义法求解导致错误。
例3.(2020年湖南永州市高三三模II题)已知双曲线C:二-二=1(0)的左、右顶点分别为a bA,8,左焦点为尸,P为上一点,且PF J_x轴,过点A的直线/与线段P F交于点M(异于P,E),与y轴交于点N,直线MB与y轴交于点,若 小=-6H(为坐标原点),则的离心率为()A.2 B.3 C.4 D.5【答案】D【解析】不妨设P在第二象限,|根|=加,(0,)(0),由HN=3知N(0,-2),由“网以 与 人次相似,得 色 二(1),2h ah n由30”与SBW相似,得 一=(2)m c+aI c ci(1),(2)两式相乘得一=-,即c=3 a,离心率为3.选B.2 c+a点评:此题类似于2016年新课标3卷12题2 2例4.已知椭圆三+方=1(人0)的半焦距为c(c0),左焦点为F,右顶点为A,抛物线y 2=?(a +c)x与椭圆交于民C两点,若四边形A3EC是菱形,则椭圆的离心率是()O4 8 12A.B.C.-D.一15 15 2 3【答案】C2yF2【解析】由题意得,椭圆5+a=1(0,C为半焦距),的左焦点为口,右顶点为A,则A(a,0)1(c,0),抛物线y2=(a +c)x于椭圆交于8,C两点,85,。
两点关于4轴对称,可设3(以),九-),四边形A3FC是菱形,二84/,2 2 =则加=g(a-c).将3(%)代入抛物线方程得,n2(a+c);n=-(+)(-c)=(a28、16V 八 7 16Vn215(i=7 7b2,则不妨设816 212b4 J再代入椭圆方程1.()+空=14/16 k2化筒得上,L =_La2 16由 e=,即有4e?-8 e+3 =0,a方 法 3:定义法+几何关系结合例 1.(2020年衡水中学高三模拟16题)设椭圆C 的两个焦点是公、玲,过 的直线与椭圆C 交于P、Q,若1 利 卜 16勾,且51P用=6忻 q,则椭圆的离心率为【答案】亚【解析】由定义可知|尸用+|&=|制+|Q周=2 a,历%|=2c.空 卜 忻 闻,:.PF2=2C,归用=2(a-c).5 附|=6忻 Q|,QFt=|PF,=/c),.Q 闯=卜 卜.在 尸石心中,由余弦定理可得cos/尸/居=伫 ,2c在片心中,由余弦定理可得COSNQ65=网二主.5c :/尸耳玛+NQ6 鸟=180 cos/尸 耳 外=COS/Q 6 B,.伫 =_ 生 主,整理得9“=l l c,,e=2,2c 5c a 11例 2、(2019绵阳南山中学模拟)已知A,B,C 是双曲线1-=l(a 0,b 0)上的三个点,直线AB经a-b过原点O,A C经过右焦尸,若B F _ L A C,且3 A F =CF,则该双曲线的离心率为()A.叵2【答案】A叵D.23【解析】设左焦点为广,连接A F ,BF,CF,由0 4=0 8,OF=OF,BF1AC,可得四边形A F B广为矩形,设A F=?,则F C=3/n,由双曲线定义知:CF=5m,AF=FB=3m,由双曲线定义知:AF-AF=2m=2a,解得?=,在A F A尸中,AF2+AF2=FF2,即/+(3 a)2=(2 c)2,即4廿=1 0。
2,即所以e =2 22 a=1(的左、右焦点分别为片,K,X2例3、(2 0 1 9年长郡中学高三模拟1 2题)已知双曲线+a圆V+Vi?与双曲线在第一象限内的交点为加,若 抽 用=3阿勾.则该双曲线的离心率为()A.2 B.3 C.V 2 D.V 3【答案】D【解析】根据题意可画出以下图像,过M点作片工垂线并交片鸟于点”,因为|阿|=3|摩|,M在双曲线上,所以根据双曲线性质可知|阿1 T M周=2即31gl叫|=2 a,段=a因为圆丁+丁=6的半径为匕,OM是圆/+;/=的半径,所以=因为 河=眼q=a,=?,/+=/,所以N O g =90 ,三角形OMg是直角三角形,因为M/7 J.O E,所以,O F2x M H =O M x M F M H 即M点纵坐标为 他,C Cb2x=C将 点纵坐标带入圆的方程中可得/+2-=,解得C7b4 a2将M点坐标带入双曲线中可 得 三 一彳=1,化简得 Z/1 a =a ,(02仪2)4=2(,2,=3/,=f 3,选 D.a二、圆锥曲线离心率的取值范围方 法 1:利用三角形三边关系建立不等式2 2例 1、(2018年衡水金卷16题)已知椭圆二+=1(匕0)的左、右焦点分别为片(-c,0),心(c,0),a b 若椭圆上存在点P使-=-成立,则该椭圆的离心率的取值范围为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _.s in N P好 用 si n Z P F【答案】(四-1,1)【解析】在 片月中,由 正 弦 定 理 得俨 段=俨 用 ,1 2 s in/P耳 外 si nZPF2F1则 由 己 知 得 笆 出=网,即4尸6|=居|,-用/叫=归 周|尸 用+|周=2 得 忸 用=含,a c,由三角形三边关系得:a-c PF2 a-c.,a-c 0,解得e 四-1,又e w(0,l),故椭圆的离心率e e(夜故答案为(血2 2例2、已知椭圆C:3 +2=1(。
人0)的左、右焦点分别为 月,B,若椭圆上恰好有6个不同的点a hp,使 得 为 等 腰 三 角 形,则椭圆c的离心率的取值范围是().解 析 设椭圆的上、下顶点分别为小鸟,则片片工与6 6工均为等腰三角形.由题知,椭圆C上恰有6个不同点P,使 得 为 等 腰 三 角 形,所以在四个象限各有一点P,使得鸟 为等腰三角形,由椭圆的对称性,只考虑第一象限的情况即可.令 归耳|=内玛|=2c,如图所示,由图可得a|P用 a +c,即a 2c a +c,得;e L 令|P周=|耳 国=2c,如图所示,由图可得a-c|P闾a,即a c 2 c a,得;e0)的右焦点为尸,O为坐标原点,若存在直线/过点F交双曲线C的右支于A ,B两点,使4 O B =0,则双曲线离心率的取值范围是【答案】匕 苴 4 e 62【解析】设 A(M,X),3(X2,%),直线/的方程为x=7),+c(0W m g),b联立双曲线方程,消去X,得(82加2一22+22/次)+4=0,2b2 me _ b4所以+%=一 师 彳 ,另.诙G.因为 0 A0 8 =%2 +%=即机+“c(y +y2)+c2+yy2=0,1/_ _ 2 2 2代入整理,得 b4m2 -2b2m2c2+c2b2m2 ere1+Z?4=0 r 0 m2=-.Ir e -b b-由 z/从 之。












