2017高考数学知识点之平面向量.pdf

2017 高考数学知识点之平面向量 考试内容 考试内容 向量 向量的加法与减法 实数与向量的积 平面向量的坐标表示 线段的定比 分点 平面向量的数量积 平面两点间的距离 平移 考试要求 考试要求 1 理解向量的概念 掌握向量的几何表示 了解共线向量的概念 2 掌握向量的加法和减法 3 掌握实数与向量的积 理解两个向量共线的充要条件 4 了解平面向量的基本定理 理解平面向量的坐标的概念 掌握平面向量的 坐标运算 5 掌握平面向量的数量积及其几何意义 了解用平面向量的数量积可以处理 有关长度 角度和垂直的问题 掌握向量垂直的条件 6 掌握平面两点间的距离公式 以及线段的定比分点和中点坐标公式 并且 能熟练运用掌握平移公式 05 平平平平面面面面向向向向量量量量 知知知知识识 识识要要要要点点点点 1 本章知识网络结构 2 向量的概念 1 向量的基本要素 大小和方向 2 向量的表示 几何表示法 AB 字母表 示 a 坐标表示法 a j j 3 向量的长度 即向量的大小 记作 a 4 特殊的向量 零向量 a O O a O O 单位向量 aO为单位向量 aO 1 5 相等的向量 大小相等 方向相同 1 1 2 2 21 21 yy xx 6 相反向量 a b b a a b 0 7 平行向量 共线向量 方向相同或相反的向量 称为平行向量 记作 a b b 平 行向量也称为共线向量 3 向量的运算 运算类型 几何方法 坐标方法 运算性质 向量的 加法 1 平行四边形法则 2 三角形法则 1212 abxxyy abba abcabc ACBCAB 向量的 减法 三角形法则 1212 abxxyy abab ABBA ABOAOB 数 乘 向 量 1 a 是 一 个 向 量 满 足 aa 2 0 时 aa 与同向 0 时 aa 与异向 0 时 0a axy aa aaa abab abab 向 量 的 数 量 积 a b 是一个数 1 00ab 或时 0a b 2 00 cos ab a ba ba b 且时 1212 a bx xy y a bb a ababa b abca cb c 2 222 aaaxy 即 a ba b 4 重要定理 公式 1 平面向量基本定理 e1 e2是同一平面内两个不共线的向量 那么 对于这个平面内任一向量 有且仅有一对实数 1 2 使 a 1e1 2e2 2 两个向量平行的充要条件 a b a b b 0 x1y2 x2y1 O 3 两个向量垂直的充要条件 a b a b O x1x2 y1y2 O 4 线段的定比分点公式 设点P分有向线段 21P P所成的比为 即PP 1 2 PP 则 OP 1 1 1 OP 1 1 2 OP 线段的定比分点的向量公式 1 1 21 21 yy y xx x 线段定比分点的坐标公式 当 1 时 得中点公式 OP 2 1 1 OP 2 OP 或 2 2 21 21 yy y xx x 5 平移公式 设点P x y 按向量 a 平移后得到点P x y 则P O OP a 或 kyy hxx 曲线 y f x 按向量 a 平移后所得的曲线的函数解析式为 y f x 6 正 余弦定理 正弦定理 2 sinsinsin R C c B b A a 余弦定理 a 2 b2 c2 2bccosA b 2 c2 a2 2cacosB c 2 a2 b2 2abcosC 7 三角形面积计算公式 设 ABC 的三边为 a b c 其高分别为 ha hb hc 半周长为 P 外接圆 内 切圆的半径为 R r S 1 2aha 1 2bhb 1 2chc S Pr S abc 4R S 1 2sinC ab 1 2ac sinB 1 2cb sinA S cPbPaPP 海伦公 式 S 1 2 b c a ra 如下图 1 2 b a c rc 1 2 a c b rb 注 到三角形三边的距离相等的点有 4 个 一个是内心 其余 3 个是旁心 如图 图1 图2 图3 图4 图 1 中的 I 为 S ABC的内心 S Pr 图 2 中的 I 为 S ABC的一个旁心 S 1 2 b c a ra 附 三角形的五个 心 重心 三角形三条中线交点 外心 三角形三边垂直平分线相交于一点 内心 三角形三内角的平分线相交于一点 垂心 三角形三边上的高相交于一点 旁心 三角形一内角的平分线与另两条内角的外角平分线相交一点 已知 O 是 ABC 的内切圆 若 BC a AC b AB c 注 s 为 ABC 的半周长 A B C O a b c I A B C D E F I A B C D E F ra ra ra bc a a b c A C B N E F 即 2 cba 则 AE as 1 2 b c a BN bs 1 2 a c b FC cs 1 2 a b c 综合上述 由已知得 一个角的邻边的切线长 等于半周长减去对边 如图 4 特例 已知在 Rt ABC c 为斜边 则内切圆半径 r cba abcba 2 如图 3 在 ABC 中 有下列等式成立CBACBAtantantantantantan 证明 因为 CBA 所以 CBA tantan 所以C BA BA tan tantan1 tantan 结 论 在 ABC 中 D 是 BC 上任意一点 则DCBD BC BCABBDAC AD 22 2 证明 在 ABCD 中 由余弦定理 有 BBDABBDABADcos2 222 在 ABC 中 由余弦定理有 BCAB ACBCAB B 2 cos 222 代入 化简 可得 DCBD BC BCABBDAC AD 22 2 斯德瓦定理 若 AD 是 BC 上的中线 222 22 2 1 acbma 若 AD 是 A 的平分线 appbc cb ta 2 其中p为半周长 若 AD 是 BC 上的高 cpbpapp a ha 2 其中p为半周长 ABC 的判定 222 bac ABC 为直角 A B 2 2 c 22 ba ABC 为钝角 A B 2 2 c 22 ba ABC 为锐角 A B 2 附 证明 ab cba C 2 cos 222 得在钝角 ABC 中 222222 00coscbacbaC 平行四边形对角线定理 对角线的平方和等于四边的平方和 2 2222 bababa D A C B 图5 。