工程分析应用软件(ANSYS)第1章 有限元基本理论.ppt

工程分析应用软件工程分析应用软件(ANSYS)主要内容主要内容v第第1章章 有限元基本理论有限元基本理论v第第2章章 ANSYS功能简介功能简介v第第3章章 ANSYS基本过程基本过程v第第4章章 ANSYS入门与准备入门与准备v第第5章章 模型输入及修复模型输入及修复v第第6章章 坐标系坐标系v第第7章章 选择、组件与部件选择、组件与部件v第第8章章 实体建模技术实体建模技术v第第9章章 布尔操作布尔操作v第第10章章 单元属性单元属性v第第11章章 网格划分网格划分v第第12章章 加载求解技术加载求解技术v第第13章章 后处理技术后处理技术v第第14章章 结构非线性分析结构非线性分析v第第15章章 模态分析与谱分析模态分析与谱分析v第第16章章 耦合和约束方程耦合和约束方程v第第17章章 APDL基础基础v第第18章章 子模型子模型v第第19章章 热分析热分析v第第20章章 热热-应力耦合分析应力耦合分析第一章第一章 有限元基本理论有限元基本理论平衡方程平衡方程几何方程几何方程物理方程物理方程边界条件边界条件物理系统物理系统有限元离散有限元离散单元的位移场单元的位移场(假定单元内位移函数假定单元内位移函数)单元节点关系单元节点关系求解区域的位移场、应力场求解区域的位移场、应力场简简单单化化1.1 有限元分析有限元分析 (FEA)有有限限元元分分析析 是是利利用用数数学学近近似似的的方方法法对对真真实实物物理理系系统统（（几几何何和和载载荷荷工工况况））进进行行模模拟拟。

它它利利用用简简单单而而又又相相互互作作用用的的元元素素，，即即单单元元，，用用有有限限数数量量的未知量去逼近无限未知量的真实系统的未知量去逼近无限未知量的真实系统1.2 有限单元法的基本思想有限单元法的基本思想v将将连连续续的的结结构构离离散散成成有有限限个个单单元元，，并并在在每每一一单单元元中中设设定定有有限限个个节节点点，，将将连连续续体体看看作作只只在在节节点点处处相相连连接接的一组单元的集合体的一组单元的集合体v选选定定场场函函数数的的节节点点值值作作为为基基本本未未知知量量，，并并在在每每一一单单元元中中假假设设一一近近似似插插值值函函数数，，以以表表示示单单元元中中场场函函数数的的分布规律分布规律v利利用用力力学学中中的的某某种种变变分分原原理理去去建建立立用用以以求求节节点点未未知知量量的的有有限限单单元元法法方方程程，，将将一一个个连连续续域域中中有有限限自自由由度度问题化为离散域中有限自由度问题问题化为离散域中有限自由度问题1.3 物理系统举例物理系统举例几何体几何体 载荷载荷 物理系统物理系统结构结构热热电磁电磁1.3.1 平衡方程平衡方程1.3.2 几何方程几何方程1.3.3 物理方程物理方程(本构方程本构方程)拉梅系数拉梅系数体积应变体积应变剪切模量剪切模量1.3.4 边界条件边界条件应力边界条件应力边界条件位移边界条件位移边界条件1.4 有限元模型有限元模型真实系统真实系统有限元模型有限元模型 有限元模型有限元模型 是真实系统理想化的数学抽象是真实系统理想化的数学抽象。

1.5 自由度自由度(DOFs)自由度自由度(DOFs) 用于描述一个物理场的响应特性用于描述一个物理场的响应特性结构结构 DOFs 结构结构 位移位移 热热 温度温度 电电 电位电位 流体流体 压力压力 磁磁 磁位磁位 问题问题 自由度自由度ROTZUYROTYUXROTXUZ1.6 节点和单元节点和单元节节点点:空空间间中中的的坐坐标标位位置置，，具具有有一一定自由度和定自由度和存在相互存在相互物理作用物理作用单单元元: 一一组组节节点点自自由由度度间间相相互互作作用用的的数数值值、、矩矩阵阵描描述述（（称称为为刚刚度度或或系系数数矩矩阵阵)单单元元有有线线、、面面或或实实体体以以及及二二维或三维的单元等种类维或三维的单元等种类有有限限元元模模型型由由一一些些简简单单形形状状的的单单元元组组成成，，单单元之间通过元之间通过节点节点连接，并承受一定连接，并承受一定载荷载荷。

载荷载荷载荷载荷1.6 节点和单元节点和单元 (续续)信息是通过单元之间的公共节点传递的信息是通过单元之间的公共节点传递的分分离离但但节节点点重重叠叠的的单单元元A和和B之之间间没没有有信信息息传传递递（（需需进进行行节点合并处理）节点合并处理）具具有有公公共共节节点点的的单单元元之之间间存存在信息传递在信息传递 ...AB........AB...1 node2 nodes1.6 节点和单元节点和单元 (续续)节点自由度是随连接该节点节点自由度是随连接该节点 单元类型单元类型 变化的JIIJJKLILKIPOMNKJIL三维杆单元三维杆单元 (铰接铰接) UX, UY, UZ三维梁单元三维梁单元UX, UY, UZ, ROTX, ROTY, ROTZ二维或轴对称实体单元二维或轴对称实体单元UX, UY三维四边形壳单元三维四边形壳单元UX, UY, UZ, ROTX, ROTY, ROTZ三维实体热单元三维实体热单元TEMPJPOMNKJIL三维实体结构单元三维实体结构单元UX, UY, UZ1.7 单元形函数单元形函数•FEA仅仅求解节点处的仅仅求解节点处的DOF值•单单元元形形函函数数是是一一种种数数学学函函数数，，规规定定了了从从节节点点DOF值值到单元内所有点处到单元内所有点处DOF值的计算方法。

值的计算方法•因因此此，，单单元元形形函函数数提提供供出出一一种种描描述述单单元元内内部部结结果果的的“形状形状”•单元形函数描述的是给定单元的一种单元形函数描述的是给定单元的一种假定假定的特性•单单元元形形函函数数与与真真实实工工作作特特性性吻吻合合好好坏坏程程度度直直接接影影响响求解精度求解精度真实的二次曲线真实的二次曲线.节点节点单元单元 二次曲线的线性近似二次曲线的线性近似 (不理想结果不理想结果).21.7 单元形函数单元形函数(续续)节点节点单元单元 DOF值二次分布值二次分布..1节点节点 单元单元 线性近似线性近似(更理想的结果更理想的结果)真实的二次曲线真实的二次曲线. . .. .3节点节点单元单元二次近似二次近似 (接近于真实的二次近似拟合接近于真实的二次近似拟合) (最理想结果最理想结果)..41.7 单元形函数单元形函数(续续)vDOF值值可可以以精精确确或或不不太太精精确确地地等等于于在在节节点点处处的的真真实实解，但单元内的平均值与实际情况吻合得很好解，但单元内的平均值与实际情况吻合得很好v这些平均意义上的典型解是从单元这些平均意义上的典型解是从单元DOFs推导出来推导出来的（如：结构应力、热梯度）。

的（如：结构应力、热梯度） nodal solutionelement solutionUX, UY, UZ, ROTX, ROTY, ROTZσ、ε、E1.7 单元形函数单元形函数(续续)v如如果果单单元元形形函函数数不不能能精精确确描描述述单单元元内内部部的的DOFs，，就就不不能能很很好好地地得得到到导导出出数数据据，，因因为为这这些些导导出出数数据据是是通过单元形函数推导出来的通过单元形函数推导出来的v当当选选择择了了某某种种单单元元类类型型时时，，也也就就十十分分确确定定地地选选择择并并接受接受该种单元类型所假定的单元形函数该种单元类型所假定的单元形函数v在在选选定定单单元元类类型型并并随随之之确确定定了了形形函函数数的的情情况况下下，，必必须须确确保保分分析析时时有有足足够够数数量量的的单单元元和和节节点点来来精精确确描描述述所要求解的问题所要求解的问题1.8 直杆受自重作用的拉伸问题直杆受自重作用的拉伸问题1.8 直杆受自重作用的拉伸问题直杆受自重作用的拉伸问题(续续)v就就整整个个直直杆杆来来说说，，位位移移函函数数U(x)是是未未知知的的，，但但对对每每一一单单元元可可以以近近似似地地假假设设一一位位移移函函数数，，它它在在结结点点上上等等于于结结点点位位移移。

此此处处，，假假设设单单元元中中的的位位移移按按线线性性分分布布 ，即：，即：1.8 直杆受自重作用的拉伸问题直杆受自重作用的拉伸问题(续续)v有了位移插值函数，就可以按材料力学公式求出应有了位移插值函数，就可以按材料力学公式求出应变和应力用节点位移表示的公式：变和应力用节点位移表示的公式： 1.8 直杆受自重作用的拉伸问题直杆受自重作用的拉伸问题(续续)v外载荷与结点的平衡方程外载荷与结点的平衡方程为第为第i个结点上承受的外载荷个结点上承受的外载荷1.8 直杆受自重作用的拉伸问题直杆受自重作用的拉伸问题(续续)v假定将直杆分割成假定将直杆分割成3个单元，每个单元长为个单元，每个单元长为a=L/3，，则对结点则对结点2，，3，，4列出的平衡方程为：列出的平衡方程为：1.8 直杆受自重作用的拉伸问题直杆受自重作用的拉伸问题(续续)1.8 直杆受自重作用的拉伸问题直杆受自重作用的拉伸问题(续续)v联立求解线性代数方程组得：联立求解线性代数方程组得：1.9 有限单元法解题的一般步骤有限单元法解题的一般步骤v结构的离散化结构的离散化v选择位移模式选择位移模式v建立平衡方程建立平衡方程v求解节点位移求解节点位移v计算单元中的应力和应变计算单元中的应力和应变1.9.1 结构的离散化结构的离散化v用用有有限限元元法法对对结结构构进进行行应应力力分分析析时时，，首首先先要要将将结结构构进进行行离离散散化化。

即即将将一一个个连连续续体体看看成成由由有有限限个个单单元元组组成的体系，成的体系，相邻的单元体相邻的单元体仅仅在节点处相连接在节点处相连接v所所有有作作用用在在单单元元上上的的载载荷荷都都按按静静力力等等效效的的原原则则移移置置到到结结点点上上，，并并在在受受几几何何约约束束的的结结点点处处设设置置相相应应的的铰铰支座1.9.2 选择位移模式选择位移模式v在在有有限限单单元元位位移移法法中中，，假假设设结结点点上上的的位位移移是是基基本本未未知知量量为为了了能能用用单单元元的的结结点点位位移移表表示示单单元元中中的的应应变变和和应应力力分分量量，，必必须须假假定定一一个个位位移移模模式式(形形函函数数)，，也也就就是是说说根根据据单单元元的的结结点点位位移移去去构构造造单单元元上上的的位位移移插插值函数v即即对对单单元元假假设设一一个个位位移移差差值值函函数数(位位移移模模式式)，，得得到到用节点位移表示单元体内任一点的唯一的关系式用节点位移表示单元体内任一点的唯一的关系式1.9.2 选择位移模式选择位移模式(续续)v有有了了位位移移模模式式，，就就可可利利用用几几何何关关系系和和应应力力-应应变变关关系系表表出出用用单单元元节节点点位位移移表表示示单单元元中中应应变变和和应应力力的的表表达达式式1.9.3 三角形单元的形函数三角形单元的形函数v基基本本假假定定：：假假定定单单元元内内的的位位移移可可以以用用一一个个比比较较简简单单的的函函数数来来表表示示，，如如线线性性插插值值函函数数。

这这在在单单元元划划分分比比较较密密的的情情况况下下是合理可行的是合理可行的1.9.3 三角形单元的形函数三角形单元的形函数(续续)v将将三三角角形形单单元元的的3个个顶顶点点的的x方方向向位位移移代代入入位位移移函函数数可求出可求出3个待定系数个待定系数1.9.3 三角形单元的形函数三角形单元的形函数(续续)其中：其中：而：而：是三角形是三角形ijm的面积1.9.3 三角形单元的形函数三角形单元的形函数(续续)于是可以得到：于是可以得到：令：令：则：则：1.9.3 三角形单元的形函数三角形单元的形函数(续续)v将将三三角角形形单单元元的的3个个顶顶点点的的2个个方方向向位位移移代代入入位位移移函函数数可可求求出出6个个待待定定系系数数即即可可用用节节点点的的位位移移表表示示内内部部任意一点的位移：任意一点的位移：1.9.4 单元中的应变和应力单元中的应变和应力v有了单元的位移模式，就可以借助平面问题的几何有了单元的位移模式，就可以借助平面问题的几何和物理方程，导出用单于的结点位移表示单元中的和物理方程，导出用单于的结点位移表示单元中的应变和应力分量的公式应变和应力分量的公式。

1.9.4 单元中的应变和应力单元中的应变和应力(续续)得到：得到：或简写为：或简写为：1.9.4 单元中的应变和应力单元中的应变和应力(续续)将将应变代入物理方程：应变代入物理方程：可得：可得：即为用单元中的结点位移表示单元中应力的关系式即为用单元中的结点位移表示单元中应力的关系式1.9.4 单元中的应变和应力单元中的应变和应力(续续)式中式中[D]为弹性矩阵，对于平面应力问题，矩阵为：为弹性矩阵，对于平面应力问题，矩阵为：1.9.5 单元的应变能单元的应变能v平平面面应应力力状状态态下下，，设设物物体体厚厚度度为为h，，则则单单元元中中的的应应变能为：变能为：1.9.5 单元的应变能单元的应变能(续续)v将将{ε}和和[Bi]代代入入上上式式，，应应用用矩矩阵阵相相乘乘的的转转置置的的逆逆序法则，注意到弹性矩阵序法则，注意到弹性矩阵[D]的对称性，有：的对称性，有：1.9.5 单元的应变能单元的应变能(续续)因为矩阵因为矩阵[B]及及[D]的元素都是常量，所以可记：的元素都是常量，所以可记：1.9.5 单元的应变能单元的应变能(续续)从而单元的应变能可写为：从而单元的应变能可写为：利用利用{ε}=[B]{δ}e，，有：有：1.9.5 单元的应变能单元的应变能(续续)注意到注意到[B]=[Bi Bj Bm]，，记子矩阵记子矩阵1.9.6 单元上体积力的势能单元上体积力的势能v物物体体中中常常见见的的体体力力为为旋旋转转离离心心体体力力和和重重力力。

在在平平面面问问题题中中，，体体积积力力在在z轴轴方方向向的的分分力力为为零零，，设设单单元元体体积积中中的体积力为：的体积力为：v单元上体积力具有的势能为：单元上体积力具有的势能为：1.9.7 单元上表面力的势能单元上表面力的势能v设设物体边界上一单元某边上受到表面力的作用，单物体边界上一单元某边上受到表面力的作用，单位长度上所受到的表面力为：位长度上所受到的表面力为：v则单元上表面力的势能为：则单元上表面力的势能为：1.9.8 单元节点上集中力的势能单元节点上集中力的势能v如如果果弹弹性性物物体体受受到到集集中中力力{R}e的的作作用用，，通通常常划划分分单单元元网网格格时时都都在在集集中中力力的的作作用用点点设设置置结结点点设设某某单单元元3个结点上所受到的集中力为：个结点上所受到的集中力为：v于是该单元上集中力的势能是：于是该单元上集中力的势能是： 1.9.9 单元的总势能单元的总势能v我我们们已已经经知知道道由由各各个个单单元元的的位位移移模模式式就就形形成成了了整整个个结结构构的的位位移移模模式式按按弹弹性性力力学学最最小小势势能能原原理理，，结结构构中中最最接接近近于于真真实实解解的的位位移移应应该该是是使使结结构构总总势势能能取取得得最小值的那组位移函数。

最小值的那组位移函数v由由于于在在位位移移函函数数公公式式中中，，结结点点位位移移为为自自变变量量，，这这样样就就使使一一个个泛泛函函的的极极值值问问题题变变为为一一个个多多元元函函数数的的极极值值问问题题为为此此我我们们来来讨讨论论单单元元的的总总势势能能关关于于结结点点位位移移的表达式的表达式v每每一一个个单单元元的的总总势势能能由由该该单单元元的的应应变变能能以以及及此此单单元元上所有外力的势能组成上所有外力的势能组成 1.9.9 单元的总势能单元的总势能(续续)v综合前面的几种情况，可以得到单元中的总势能为：综合前面的几种情况，可以得到单元中的总势能为：1.9.9 单元的总势能单元的总势能(续续)v分别引进单元体积力、表面力、集中力向量如下：分别引进单元体积力、表面力、集中力向量如下：1.9.9 单元的总势能单元的总势能(续续)v则则单元中的总势能可以表示为：单元中的总势能可以表示为：1.9.10 物体中的总势能物体中的总势能v把各把各单元的总势能叠加起来，就可得到整个弹性体单元的总势能叠加起来，就可得到整个弹性体的总势能的总势能v假设结构离散化后共有假设结构离散化后共有n个结点，将编号为个结点，将编号为 l的结点的结点位移记为：位移记为：v则结构的结点位移向量：则结构的结点位移向量： 是一个是一个2n维的列向量。

维的列向量1.9.10 物体中的总势能物体中的总势能(续续)v可可将将单单元元刚刚度度矩矩阵阵式式用用补补零零的的办办法法由由6×6的的矩矩阵阵扩扩大大到到2n×2n的矩阵的矩阵1.9.10 物体中的总势能物体中的总势能(续续)v如如果果在在物物体体上上划划分分的的单单元元总总数数是是e0，，再再引引进进结构的总刚度阵：结构的总刚度阵：v物体总势能就可写为：物体总势能就可写为：v代入约束条件后的弹性体总势能可以写为：代入约束条件后的弹性体总势能可以写为：1.9.11 建立平衡方程建立平衡方程v可可利利用用最最小小势势能能原原理理建建立立结结构构的的节节点点载载荷荷和和节节点点位移之间的关系式，即结构的平衡方程位移之间的关系式，即结构的平衡方程1.9.12 求解结点位移求解结点位移v将边界条件代入线性代数方程组将边界条件代入线性代数方程组 后，后，经计算可求得所有未知的结点位移经计算可求得所有未知的结点位移1.9.13 计算单元中的应变和应力计算单元中的应变和应力v依据求得的结点位移，由依据求得的结点位移，由可求得单元中任一点的应变和应力。

可求得单元中任一点的应变和应力附附1 空间问题的有限单元法空间问题的有限单元法v用用有有限限单单元元法法求求解解弹弹性性力力学学空空间间问问题题，，首首先先也也要要将将连连续的空间物体用一系列的单元离散化续的空间物体用一系列的单元离散化v空空间间问问题题中中，，最最简简单单的的是是四四面面体体单单元元离离散散的的空空间间结结构是这些单元只在节点处以空间铰相互连接的集合体构是这些单元只在节点处以空间铰相互连接的集合体附附1.1 位移模式位移模式v空空间间问问题题中中，，每每一一个个结结点点有有3个个位位移移分分量量，，单单元元结结点位移向量由点位移向量由12个分量组成，分别表示为：个分量组成，分别表示为：附附1.1 位移模式位移模式(续续)v假定单元内的位移分量为坐标的线性函数：假定单元内的位移分量为坐标的线性函数：附附1.1 位移模式位移模式(续续)v将将上式中的第一式应用于上式中的第一式应用于4个结点，则有：个结点，则有：附附1.1 位移模式位移模式(续续)v由上式可解出由上式可解出a1,a2,a3和和a4再代回位移分量的表达再代回位移分量的表达式，可得：式，可得：v式中：式中：v为形函数，其中：为形函数，其中：附附1.1 位移模式位移模式(续续)附附1.1 位移模式位移模式(续续)v用用同样的方法，可以得到：同样的方法，可以得到：v合并合并υ,ν,ω的表达式，可以将单元内任一点的位移的表达式，可以将单元内任一点的位移写为：写为：附附1.2 单元中的应变和应力单元中的应变和应力v在在空间问题中，每点有空间问题中，每点有6个应变分量，有几何关系：个应变分量，有几何关系：将将υ,ν,ω的表达式代入上式，得到的表达式代入上式，得到:式中：式中：附附1.2 单元中的应变和应力单元中的应变和应力(续续)附附1.2 单元中的应变和应力单元中的应变和应力(续续)v可可以以看看出出，，应应变变矩矩阵阵[B]中中的的元元素素都都是是常常量量，，从从而而单单元元中中的的应应变变都都是是常常量量，，故故线线性性位位移移模模式式的的四四面面体体单单元是常应变单元。

元是常应变单元v由应力由应力-应变关系，得到单元中的应力为：应变关系，得到单元中的应力为：v式中式中[D]为一般空间问题的弹性矩阵为一般空间问题的弹性矩阵v从从下下面面[D]的的表表达达式式可可以以看看出出，，单单元元中中的的应应力力都都是是常常数附附1.2 单元中的应变和应力单元中的应变和应力(续续)v仿照平面问题的推导，可以得到四面体单元的刚度仿照平面问题的推导，可以得到四面体单元的刚度矩阵：矩阵：v分块形式：分块形式：附附1.3 单元刚度矩阵和结点载荷向量单元刚度矩阵和结点载荷向量附附1.3 单元刚度矩阵和结点载荷向量单元刚度矩阵和结点载荷向量(续续)式中子矩阵可以表达为：式中子矩阵可以表达为：其中：其中：v经经过过与与平平面面问问题题中中同同样样的的推推导导，，单单元元的的体体积积力力向向量量和表面力向量可以用下列公式计算：和表面力向量可以用下列公式计算：v经叠加，组合，得有限元支配方程：经叠加，组合，得有限元支配方程：v代代入入约约束束条条件件，，可可解解出出结结点点位位移移向向量量，，从从而而就就可可以以求出各单元的应变和应力求出各单元的应变和应力附附1.3 单元刚度矩阵和结点载荷向量单元刚度矩阵和结点载荷向量(续续)。