函数弹性及其在价格理论中应用.doc

函数弹性及其在价格理论中的应用函数弹性及其在价钱理论中的应用张国峰，数学与计算机科学学院摘 要：函数弹性是微积分中的一个重要观点，它在价钱理论中有侧重要的应用.本文介绍了函数弹性的定义及其性质，同时也议论它在价钱理论中的一些应用并给出了详细实例进行说明.重点字：函数弹性;数学模型；需求弹性；供应弹性On Elasticity of Function andSomeApplicationsinPriceTheoremsGuofengzhang,CollegeofMathematicsandComputerScienceAbstract：Elasticityoffunctionisakeyobjectofcalculusoffluxion,ithassomeimportantapplicationsinpricetheorems.Inthispaper,weintroducethedefinitionandpropertiesofelasticityoffunction.Atthesametime,wediscusssomeapplicationsinpricetheoremsandgivesomeparticularexamples.Keywords：Elasticityoffunction,Mathematicalmodel,Elasticityofconsumerdemand,Elasticityofsupply1序言所谓价钱弹性，即是需求量对价钱的弹性，则指某一产品价钱改动时，该种产品需求量相应改动的敏捷度。

而价钱弹性剖析，就是应用弹性原理，就产品需求量对价钱改动的反响程度进行剖析、计算、展望、决议弹性系数的计算公式：Q自变量改动率QPQ=QP价钱改动率PP（1）此中Q、P、Q、P分别为自变量、价钱、自变量的变化量、价钱的变化量当弹性系数为1的时候，销售量的上升和价钱的降落幅度是相抵的当0～1之间的弹性意味着价钱上升也将使得利润上升，而价钱降落使得利润降落，我们说这种物件的需求是相对缺乏弹性的，或许说价钱不敏感大多半食品的需求弹性是低的，而大多半的豪侈品的需求弹性，如香水，高档服饰等都相对较高函数弹性的定义导数：设函数yf(x)在U(x0)有定义，在x0自变量x的改变量x，相应函数的该变量限limylimf(x0x)f(x0)存在，称函数f(x)在x0可导（或存在导x0xx0x(x0)或dy数），此极限称为函数f(x)在x0的导数（或微商），表为fxx，即dx0f(x0x)f(x0)dyf(x0x)f(x0)或f(x0)limdxxx0limxx0xx0若极限limylimf(x0x)f(x0)不存在，称函数f(x)在x0不行导x0xx0x若极限limyf(x0x)f(x0)与limyf(x0x)f(x0)xlimxxlimxx0x0x0x0都存在，则分别称为函数f(x)在x0右可导和左可导，其极限分别称为函数f(x)在x0的右导数和左导数，分别表为f(x0)与f(x0)，即f(x0)=f(x0x)f(x0)limf(x)f(x0)limxxx0x0xx02与f(x0)=limf(x0x)f(x0)=limf(x)f(x0)x0xxx0xx0定理1若函数yf(x)在x0处可导，则函数yf(x)在x0处连续。

原函数f(x)在区间I有定义，存在函数 F(x)若存在 x I,有F(x)f(x)，则称函数F(x)的原函数，或简称F(x)是f(x)的原函数定理2若F(x)是函数f(x)在区间I的一个原函数，则函数f(x)的无穷多个原函数仅限于 F(x) C( C R)的形式不定积分:函数f(x)的所有的原函数F(x)C(CR)称为函数f(x)的不定积分，表为f(x)dxF(x)C(F(x)f(x))此中f(x)称为被积函数，f(x)dx称为被积表达式，C称为积分常数弹性弹性观点在经济学中获取宽泛的应用一般说来，只需两个经济变量之间存在着函数关系，我们便可用弹性来表示因变量对自变量变化的反响的敏感程度详细地说，它是这样一个数字，它告诉我们，当一个经济变量发生1%的改动时，由它惹起的另一个经济变量改动的百分比在经济学中，弹性的一般公式为：因变量的改动比率弹性函数自变量的改动比率设两个经济变量之间的函数关系为Yf(X),则弹性的一般公式还能够表示为：YeYYX（ ）XYX式中，e为弹性系数；X、分别为X、Y的改动量该式表示：当自变量变化百分之一时，因变量Y变化百分之几若经济变量的变化量趋于无量小，即：当（ ）式中的0,且0时，3则弹性公式为：YdYdYX(elimYY)x0XdXdXYXX往常将（）式称为弧弹性公式，将（）式称为点弹性。

弹性函数对于一般的x,假如yfx是可导函数,且fx0,则有yEyEfxlimy/ylimyxfxx.ExExx0x/xx0xyfx是x的函数,称为fx的弹性函数(简称为弹性)[说明](1) 弹性的意义:函数fx在点x处的弹性EyyEx反应了x变化幅度x对xfx的变化幅度y的大小的影响,也就是fx对x变化反应的激烈程度(或灵y敏度)详细地,E表示在xx0处,当x改变时近似地改变了fx01%,fxExEfx0%在应用问题中解说弹性的详细意义时,我们仍是略去“近似”二字Ex(2) 由弹性的定义yEyyxy边沿函数Exyy=均匀函数x① 这样，弹性在经济学上又可理解为边沿函数与均匀函数之比我们在议论经济问题时,往常是比较其弹性的绝对值的大小,并且经常依据其绝对值的大小对弹性进行以下分类:当y1时,称这个弹性为单位弹性；②当③当yy1时,称这个弹性为相当有弹性；1时,称这个弹性为相当无弹性下边我们议论经济学中常用的几个弹性函数几种价钱弹性（1）需求的价钱弹性4设某商品需求函数(p)在pp0处可导，则该商品在pp0处的需求弹性为pp0Q(p0)p0Q(p0)例1设某种商品的需求函数为Q50p,p为价钱0p50,试求:(1)需求的价钱弹性；(2)议论当价钱为多少时,弹性分别为单位弹性、相当有弹性、相当无弹性。

解(1)依据弹性的计算公式,有QEp50pppp00p50.EpQ5050p(2)令Q1,解出p25,即当价钱p25时为单位弹性说明此时需求量增添(或减少)的百分数与价钱降落(或上升)的百分数相等,即价钱的相对少量变化不会惹起相对需求量的较大变化令Q1,解出25p50,即当价钱p在25到50之间变化时为相当有弹性的说明在这个范围内,若采纳抬价举措,相对需求量将大幅减少,进而减少利润；若采纳适合的降价举措，就会达到薄利多销，进而会增添总利润令Q1,解出0p 25,即当价钱p在25以下时为相当无弹性的此时,需求量减少的百分数小于价钱上升的百分数,因此,若采纳适合的抬价举措,固然相对需求量会有所减少,但总利润反而会增添注：需求弹性与总利润的关系在市场经济中,公司最关怀的是商品涨价p 0或降价p 0对总利润的影响程度.此刻我们利用需求的价钱弹性对其进行详细的剖析设需求函数为p,则总利润函数(市场销售总数)为RpQpQp,故边沿总利润:RpQpQpQp1QppQp1p这样,由微分的应用知,当商品价钱p有细小变化(p比较小)时,商品销售利润(市场销售总数)的改变量为:RdRRp1pp在现实生活中,绝大多半商品的需求函数是单一减函数(价钱上升时需求量减少,价钱降落时需求量增添),因此有Qp0,进而需求的价钱弹性Q0,所5以,上式又可写作:R dR 1pp这样,根根需求的价钱弹性Q的大小,我们可作以下需求弹性对总利润的影响剖析:(1)当商品的需求的价钱弹性Q1时,商品涨价p 0,将使商品销售的总利润减少R 0;商品降价p 0,将使商品销售的总利润增添R 0。

2)当商品的需求的价钱弹性Q1时,商品涨价p 0,将使商品销售的总利润增添R 0;商品降价p 0,将使商品销售的总利润减少R 0当商品的需求的价钱弹性Q1时,商品价钱的改动对商品销售总利润基本没有影响例2已知某公司公司生产经营的某品牌电器的需求弹性Q在之间,假如该公司计划在下一年度内将价钱降低10%,问这种电器的销售量的增添率将会增添多少?总利润将会增添多少?解:由需求弹性QpdQp知:ddp,进而有dppQddpQp.pp再由RdR1pp和RpQpQp得RdR1pp1p.pQpQRRp因此,当Q时,Q15%,R15%.RQ当Q时,Q35%,R125%.RQ即当下一个年度内将价钱降低10%此后,该公司这种电器的销量将会增添15%~35%,总利润将会增添5%~25%6（2）供应的价钱弹性设某商品供应函。