北京高考复习之导数及其应用.doc

导数及其应用导数及其应用 一、知识结构知识结构 一、导数的概念及运算一、导数的概念及运算 课标要求：课标要求：熟记基本导数公式,掌握两个函数和、差、积、商的求导法则,了解复合函数的求导法则,会求某些 简单复合函数的导数. 高考要求高考要求：所有导数问题的基础要熟练掌握 基础知识总结：基础知识总结： 1、基本初等函数的导数公式：(前四个必须掌握） 1若 f xc，则 2若 *n f xxxQ，则 = )( 1 )( , xf x xf则 3若， x f xe则 4若 lnf xx则 5若 cosf xx则 6若 sinf xx则 7若 logaf xx则 8 若， x f xa则 2、导数运算法则：（掌握） 1 f xg xfxgx ； 2 f xg xfx g xf x gx ； , )(xkf 3 2 0 f xfx g xf x gx g x g x g x 曲线的切线函数的单调性函数的极值、最值 恒成立或存在性问题、零点或交点问 题 导 数 概念、几何意 义 导数的运算法则 基本公式 应 用 3、对于两个函数 yf u和 ug x，若通过变量u ，y可以表示成x的函数，则称这个函数为 函数 yf u和 uf x的复合函数，记作 yf g x 复合函数 yf g x的导数与函数 yf u， ug x的导数间的关系是 xux yyu （掌握） 典型例题 (1) 32 ( )2(63 )122f xxa xax)2)(1( 2 xxxy (2) 2(1) ( )ln 1 x h xx x ) 12cos( 2 xy (3) x x y sin ( )(1) x a f xe x （4）xex x ln4)(f （5）( )() x f xxcxR （6）) 1ln()( 2 xbxxf （7） 1 ( )( ,)f xaxa bZ xb （8） 1 ( )ln(1), (1)n f xax x （9） 32 ( )(3) x f xxxaxb e （10），其中为实数。

)(xf 2 ln(1) 1 b xx x b （11）1ln) 1()( 2 axxaxf （12） 1 ( )ln1 a f xxax x （13） 2 2 ( ) (1) xb f x x （14） ( )(0) kx f xxek （15） 2 ( )ln(1)(0) 2 k f xxxxk （16） 1 ( )ln(1), (1)n f xax x （17） sin ( ) 2cos x f x x 2 2、导数的几何意义导数的几何意义切线方程切线方程 课标要求：课标要求：掌握函数在某一点处导数的几何意义图象在该点处的切线的斜率，以及由此延伸的切线问题 高考地位：高考地位：常以选择题填空题的形式出现，或者出现在解答题的第一问，难度不大，但有时比较绕，属于必会 题个别题目要学会向切线方面考虑） 知识准备：知识准备： 1、.点斜式直线方程： 2、直线位置关系的判定 平行： 垂直： 3、导数的几何意义：函数在某一点处导数就是图象在该点处的切线的斜率即 典型试题典型试题 1.已知曲线求243 2 xxy (1).曲线在 P(1,1)处的切线方程. (2).曲线过点 Q(1,0)的切线方程. (3).满足斜率为-的切线的方程. 3 1 2.函数的图像在点 M处的切线方程是,= . 3)(xfy )1 (, 1 (f2 2 1 xy) 1 () 1 ( / ff 3.过 P(-1,2)且与曲线在点 M(1,1)处的切线平行的直线方程是 y=2x+4243 2 xxy 曲线过点(0,0)的切线方程 xy 3 6 4、已知直线与曲线相切，求的的值(a=2)1 xy)ln(axya 5、已知函数，它们有交点且交点处有相同的切线，求 a 的值及交点处的切线)(ln)(,)(Raxaxgxxf 方程 ()02, 2 2 eeyx e a 6、点 P 是曲线上任一点，则点 P 到直线的距离的最小值是 。

xxyln 2 2 xy2 基础训练基础训练： 1、曲线相切与点，则点坐标为 .(e,e)bxyxxy2ln 与pp 2、若曲线处的切线是 x-y+1=0,则 a= b= (1、1）), 0( 2 bbaxxy在 3、若曲线的一条切线 与垂直,则 的方程为 4 xy l084yxl 4.曲线在处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为 . x ey 2 1 ), 4( 2 e 5、已知直线 y=kx 与 y=lnx 有公共点,则 k 的最大值为 . e 1 6、曲线在处的切线斜率都为 1，则在轴上得摄影长为 xxxy 23 2 21p p 21p px 7、在下列四个函数中，满足性质：“对于区间（1，2）的任意恒 21122121 )()(),(,xxxfxfxxxx 成立的是（ ）. A B C D x xf 1 )(xxf)( x xf2)( 2 )(xxf 8设是偶函数，若曲线在点处的切线的斜率为 1，则该曲线在处的切线( )f x( )yf x(1,(1)f( 1,( 1)f 的斜率为_________. 9.设函数，其中，则导数的取值范围是 （ 14 2 cos 3 sin3 23 xxxxf 6 5 0， 1 f ） A B C D 63，343，634，3434， 10、若存在过点（1,0）的直线与曲线都相切，求 a 值(9 4 15 , 23 xaxyxy )1, 2 3 . 64 25 , 0 00 axax 总结 解题绝招：解题绝招： 一点三等式 一点：切点 有则直接用，无则假设有 三等式：切点即满足切线方程也满足曲线方程 切点处的导数就是切线方程的斜率 三函数的单调性与导数三函数的单调性与导数 课标要求：课标要求：1.借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系。

2.能利用导数研究函数的单调性（注意如何对参数进行讨论） 3、已知函数的单调性求参数的范 围 高考地位：高考地位： 函数的单调性是函数的一条重要性质，也是高中阶段研究的重点，用导数判断函数的单调性是新 课标的要求北京已连考四年，主要有两种题型，一种是直接求单调性，第二是已知单调性求参数的范围 （1）求单调区间 1.函数的单调递增区间 单调递减区间 63 3 1 )( 23 xxxxf 3、下列函数中,在上为增函数的是（ ） ), 0( ABCDxy 2 sin x xey xxy 3 xxy)1ln( 1、 （2011 丰台二模文 11）若，则函数的单调递增区间是 （0，） （开闭均可）0,2 xsincosyxxx 6.若在区间内有且则在内有（ ）),(ba, 0)( x f, 0)(af),(ba A. B. C. D.不能确定0)(xf0)(xf0)(xf 7、 （2008 北京卷）北京卷） （本小题共 13 分） 已知函数，求导函数，并确定的单调区间 2 2 ( ) (1) xb f x x ( )fx( )f x 5、 （2011 海淀二模理 18） (本小题共 14 分） 已知函数. 22 1 ( )()ln 2 f xaxxxaxx()aR （I）当时，求曲线在处的切线方程（） ；0a ( )yf x(e,(e)fe2.718. （II）求函数的单调区间.( )f x 解：（I）当时， 2 分0a ( )lnf xxxx( )lnfxx 所以， 4 分( )0f e ( )1fe 所以曲线在处的切线方程为.5 分( )yf x(e,(e)fyxe （II）函数的定义域为( )f x(0,) ，6 分 2 1 ( )()(21)ln1(21)lnfxaxxaxxaxaxx x 当时，在上，在上0a 210ax (0,1)( )0fx (1,)( )0fx 所以在上单调递增，在上递减； 8 分( )f x(0,1)(1,) 当时，在和上，在上 1 0 2 a(0,1) 1 (,) 2a ( )0fx 1 (1,) 2a ( )0fx 所以在和上单调递增，在上递减；10 分( )f x(0,1) 1 (,) 2a 1 (1,) 2a 当时，在上且仅有， 1 2 a (0,)( )0fx (1)0f 所以在上单调递增； 12 分( )f x(0,) 当时，在和上，在上 1 2 a 1 (0,) 2a (1,)( )0fx 1 (,1) 2a ( )0fx 所以在和上单调递增，在上递减( )f x 1 (0,) 2a (1,) 1 (,1) 2a 6(2011 丰台一模理丰台一模理 18).（本小题共（本小题共 13 分）分） 已知函数，为函数的导函数 32 11 ( )(0) 32 f xxaxxb a( )fx( )f x （）设函数 f(x)的图象与 x 轴交点为 A，曲线 y=f(x)在 A 点处的切线方程是，求的值；33yx, a b （）若函数，求函数的单调区间( )( ) ax g xefx ( )g x 解：（）， 32 11 ( )(0) 32 f xxaxxb a 1 分 2 ( )1fxxax 在处切线方程为，( )f x(1,0)33yx ， 3 分， （各 1 分） 5 分 (1)3 (1)0 f f 1a 6 11 b （） ( ) ( ) ax fx g x e 2 1 ax xax e ()xR 7 分( )g x 2 2 (2)(1) () axax ax xa ea xaxe e 2 (2) ax x axae 当时， 0a ( )2g xx x(,0)0(0,) ( )g x - 0+ ( )g x A 极小值A 的单调递增区间为，单调递减区间为 9 分( )g x(0,)(,0) 当时，令，得或 10 分0a ( )0g x 0 x 2 xa a （）当，即时， 2 0a a 02a x(,0)0 2 2 (0,) a a 2 2a a 2 2 (,) a a ( )g x - 0+0 - ( )g x A 极小值A极大值A 的单调递增区间为，单调递减区间为，；11 分( )g x 2 2 (0,) a a (,0) 2 2 (,) a a （）当，即时， 2 0a a 2a ( )g x 22 20 x x e 故在单调递减； 12 分( )g x(,) （）当，即时， 2 0a a 2a x 2 (,)a a 2 a a 2 (,0)a a 0(0,) ( )g x - 0+0 - ( )g x A 极小值A极大值A 在上单调递增，在，上单调递 13 分( )g x 2 2 (,0) a a (0,) 2 2 (,) a a 综上所述，当时，的单调递增区间为，单调递减区间为；0a ( )g x(0,)(,0) 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为，02a( )g x 2 2 (0,) a a (,0) 当时，的单调递减区间为； 2a ( )g x(,) 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为， 2a ( )g x 2 2 (,0) a a (0,) 2 2 (,) a a （“综上所述”要求一定要写出来） 7(2011 海淀一模理海淀一模理 18).18). （本小题共（本小题共 13 分）分） 已知函数，( )lnf xxax 1 ( ), (R). a g xa x （）若，求函数的极值；1a ( )f x （）设函数，求函数的单调区间；( )( )( )h xf xg x( )h x ()若在（）上存在一点，使得成立，求的取值范围. 1,ee2.718. 0 x 0 ()f x 0 ()g xa 解：（）的定义域为， 1 分( )f x(0,) 当时， ， 2 分1a ( )lnf xxx 11 ( )1 x fx xx 3 分 所以在处取得极小值1. 4 分( )f x1x （）， 1 ( )ln a h xxax x 6 分 2 222 1(1)(1)(1) ( )1 aaxaxaxxa h x xxxx 当时，即时，在上，在上，10a 1a (0,1)a( )0h x(1,)a( )0h x 所以在上单调递减。