线性代数第六章第七节正定二次型第八节正交替换化标准形课件.ppt

第七节第七节 正定二次型正定二次型一正定二次型一正定二次型二正定二次型的判别法二正定二次型的判别法三正定矩阵在求多元函数极值中的应用三正定矩阵在求多元函数极值中的应用1我们知道一元二次函数我们知道一元二次函数f f( (x x)=)=x x2 2 在在x x=0=0处处达到最小值，达到最小值，这表明一元二次函数的极值问题这表明一元二次函数的极值问题与一元二次型与一元二次型f (x)=x2的性质密切相关的性质密切相关问题：问题：一般地，一般地，n元函数的极值问题是否也元函数的极值问题是否也与与n元二次型的性质有关系？与元二次型的性质有关系？与n元二次型元二次型的什么性质有关？的什么性质有关？这是因为对任意实数这是因为对任意实数2一正定二次型一正定二次型 定义定义: : 设设 f (X )=XT AX是是 n 元实二次型元实二次型,如果对任何一个如果对任何一个非零非零向量向量X ，恒有，恒有f (X ) 0,则称实二次型则称实二次型f (X )正定二次型正定二次型. 如果二次型如果二次型f (X )=XT AX 是正定二次型是正定二次型则则矩矩阵阵A称为称为正定矩阵正定矩阵3不是正定二次型不是正定二次型.00如如 ：是正定二次型是正定二次型.不是正定二次型不是正定二次型.4n元实二次型正定的充要条件为它的正元实二次型正定的充要条件为它的正惯性指数等于惯性指数等于nn元实二次型元实二次型 XT AX 正定正定它的规范形中它的规范形中n个系数均为个系数均为1它的标准形中它的标准形中n个系数均为正数。

个系数均为正数 定理定理1:1: 推论推论1:n元实正定二次型元实正定二次型 XT AX 的秩是的秩是n说明说明:2.2. 正定二次型的性质正定二次型的性质5任意实二次型经过可逆线性替换保持任意实二次型经过可逆线性替换保持正定性不变正定性不变设实二次型设实二次型 f (X )=XT AX 是是正定的，正定的，作可逆作可逆线线性替性替换换X= CY (C 是可逆矩是可逆矩阵阵)，变成实二次型变成实二次型 定理定理2:2: 证证:g (Y )=YTCTACY . 对任意对任意设设6 f (X )=XT AX是是正定的，正定的，g (Y )=YTCTACY是是正定的正定的.与正定矩阵合同的实对称与正定矩阵合同的实对称矩矩阵阵也是正也是正定矩阵定矩阵.推论推论3：7二正定二次型的判别法二正定二次型的判别法方法一方法一 用定义用定义是是正定的正定的 di 0 , i =1,2,n为标准形为标准形由推论由推论1可知实二次型可知实二次型方法二方法二 用配方法或初等变换法化二次型用配方法或初等变换法化二次型8n阶实对称矩阵阶实对称矩阵A 正定正定A的正惯性指数等于的正惯性指数等于nA的合规范形是单位矩阵的合规范形是单位矩阵E，即存在可逆，即存在可逆 定理定理3:由定义知，由定义知，f (X )=XT AX是是正定正定 A是是正定矩阵正定矩阵所以所以, 判别判别A的正定性可知二次型的正定性可知二次型f (X)的正定性的正定性方法三方法三 判定二次型的矩阵是否是正定矩阵判定二次型的矩阵是否是正定矩阵A的合同标准形中的合同标准形中,主对角元素均为正数。

主对角元素均为正数矩阵矩阵P,使得使得 A=PTP .9对于对于n阶实对称矩阵阶实对称矩阵A，能找到正交矩阵，能找到正交矩阵T使得使得实对称实对称矩矩阵阵A正定正定 A 的所有特征值全的所有特征值全大于零大于零.推论推论1：(特征值法特征值法)是是A的全部特征值因此我们有的全部特征值因此我们有 实对称实对称矩矩阵阵A正定正定推论推论2证：证： 由由A的行列式等于其特征值乘积得证的行列式等于其特征值乘积得证10注：注： A正定正定.如：如：但以但以A 为矩阵的二次型为矩阵的二次型不是正定二次型，所以不是正定二次型，所以A不是不是正定正定矩矩阵阵.11定义定义: :设设 是是 n 阶阶方方阵阵，k 阶阶子式子式称称为为矩矩阵阵A的的顺序主子式顺序主子式 为了从子式的角度研究矩阵正定的条为了从子式的角度研究矩阵正定的条件，我们引入下述概念：件，我们引入下述概念： n阶矩阵阶矩阵A的顺序主子式共有的顺序主子式共有n个个.说明说明: :12如：如：(P204-例例)为为矩矩阵阵A的三个顺序主子式的三个顺序主子式 实对称阵实对称阵A为正定为正定 A的各阶顺序主子的各阶顺序主子定理定理: :式式都大于零都大于零. (顺序主子式法顺序主子式法)13例例1 判断下列二次型是否正定？判断下列二次型是否正定？解：解：方法一方法一 配方法配方法14 f 是是正定二次型正定二次型.15方法二：矩阵的特征值法方法二：矩阵的特征值法二次型二次型f 的矩的矩阵为阵为 f 是是正定二次型正定二次型.A 的特征值都是正的，的特征值都是正的，16各阶顺序主子式为各阶顺序主子式为 二次型二次型f 是是正定二次型正定二次型.二次型二次型f 的矩的矩阵为阵为方法三：顺序主子式法方法三：顺序主子式法17例例2 判断矩阵判断矩阵(P205-例例6.7.3)是否正定？是否正定？解解: A 不不是正定矩阵是正定矩阵例例3 试证：实数域上任一试证：实数域上任一n 阶阶可逆矩可逆矩阵阵A ，都有都有ATA是正定矩阵是正定矩阵18证：证：方法一方法一是实对称阵，是实对称阵， f 是是正定二次型，正定二次型，阵阵.19方法二方法二是实对称阵，是实对称阵， ATA是正定矩阵是正定矩阵且且A是可逆矩阵是可逆矩阵20例例4 t 满满足什么条件足什么条件时时，下列二次型正定，下列二次型正定解：解：要使要使 f 正定，则正定，则A 的各阶顺序主子式的各阶顺序主子式二次型二次型 f 的矩的矩阵为阵为都大于零都大于零.(P206-例例6.7.5)21时，时，f 是是正定二次型正定二次型.22三正定矩阵在求多元函数极值中的应用三正定矩阵在求多元函数极值中的应用设设n n元函数元函数导数构成的导数构成的n阶对称矩阵为阶对称矩阵为(1) X*是是f(X)极小值点极小值点 H(X*)是正定矩阵是正定矩阵的的n2个二阶偏个二阶偏是是f(X)的驻点，则的驻点，则(2) X*是是f(X)极大值点极大值点-H(X*)是正定矩阵是正定矩阵例例5 5设三元函数设三元函数求其极值。

求其极值23解：解： 先求驻点，即解如下方程组先求驻点，即解如下方程组其系数行列式不等于其系数行列式不等于0，有唯一解，得驻点，有唯一解，得驻点(0,0,0)T f 的二阶偏导数矩阵的二阶偏导数矩阵24在驻点处为在驻点处为其各阶顺序主子式其各阶顺序主子式 从而是正定矩阵，于是从而是正定矩阵，于是(0,0,0)T是是f(x,y,z)的极小的极小值点，值点，极小值是极小值是 f (0,0,0)=025 实二次型除了正定的以外，还有其他一些实二次型除了正定的以外，还有其他一些类型定义定义: : 设设 f (X )=XT AX是是 n 元实二次型元实二次型, 如果对如果对任何一个任何一个非零非零向量向量X ，恒有，恒有正定正定(负定，半负定负定，半负定)的，不定的的，不定的则称实二次型则称实二次型f (X )是是半半正定正定(负定，半负定负定，半负定)的的.若若f (X )既不是半既不是半正定的，也不是半负定的，则正定的，也不是半负定的，则称它是不定的相应的实对称矩阵分别称为称它是不定的相应的实对称矩阵分别称为半半26例例6 判判别别下列三元下列三元实实二次型属于那种二次型属于那种类类型：型：解：解：(4)负定负定 (5)半负定半负定(1)半正定半正定 (2)半正定半正定 (3)不定不定27第八节第八节 正交替换化二次型为标准形正交替换化二次型为标准形设设 f (X )=XT AX是是 n 元实二次型元实二次型, A为为实实对称矩阵，对称矩阵，为为 个特征值，个特征值， 由由T-1 =TT,因此可求出正交替换将二次型因此可求出正交替换将二次型 f 化化为标为标准形准形则一定存在正交阵则一定存在正交阵T，使得使得28对任意一个对任意一个 n 元实二次型元实二次型f (X )=XT AX,都存在一个正交替换都存在一个正交替换 X =TY , 使得使得为为 A 的全部特征值的全部特征值, T 的的 n 个个列向量是列向量是A 的相应的的相应的 n个单位正交特征向量个单位正交特征向量.定理定理529例：用正交替换化二次型例：用正交替换化二次型为标准形，并求出所用的正交替换为标准形，并求出所用的正交替换(P207-例例6.8.2)解：解：二次型二次型 f 的矩的矩阵为阵为为为A 的两个特征值的两个特征值.30基础解系基础解系基础解系基础解系显然显然 正交，只需将正交，只需将 单位化即可，单位化即可，3132正交替换为正交替换为二次型的标准形为二次型的标准形为33典型习题典型习题二次型的矩阵为二次型的矩阵为1 写出如下二次型的矩阵写出如下二次型的矩阵解：方法一解：方法一 先写成和式再写矩阵先写成和式再写矩阵34方法二方法二 用公式用公式注意到注意到f是一个数，因此有是一个数，因此有fT=f，即，即则则这里这里是对称矩阵，为是对称矩阵，为f 的矩阵。

的矩阵35二次型的矩阵为二次型的矩阵为2 已知如下二次型的秩是已知如下二次型的秩是2，求常数，求常数a的值解：解：363 设设G、H为为n阶矩阵，则有结论（阶矩阵，则有结论（ ）（A）若）若G与与H等价，则等价，则G与与H合同合同（B）若）若G与与H合同，则合同，则G与与H等价等价（C）若）若G与与H相似，则相似，则G与与H合同合同（D）若）若G与与H合同，则合同，则G与与H相似相似4 设设A、B为为n阶正定矩阵，阶正定矩阵，p0,q0, 证明：证明：pA+qB 是正定矩阵是正定矩阵(特别地特别地,A+B是正定矩阵是正定矩阵)证明：显然证明：显然pA+qB是对称矩阵是对称矩阵, 对任意对任意X0，有，有从而从而pA+qB 是正定矩阵是正定矩阵375 设设A是是mn矩阵，矩阵，E为为n阶单位阵，阶单位阵，k0,证明：证明： B=kE+ATA是正定矩阵是正定矩阵 证明：易知证明：易知B是是n阶对称阵，对任意阶对称阵，对任意X0，有，有因此因此B是正定矩阵是正定矩阵6 设设A是是m阶正定矩阵阶正定矩阵, B是是mn矩阵矩阵,且且nm,证明证明BTAB 是正定矩阵的充要条件是是正定矩阵的充要条件是R(B)=n。

证明：必要性证明：必要性 设设BTAB正定正定,则对任意则对任意X0,有有从而齐次线性方程组从而齐次线性方程组 BX=O 只有零解，则只有零解，则R(B)=n. 38充分性：设充分性：设R(B)=n, 则齐次线性方程组则齐次线性方程组BX=O只有零解，即对任意只有零解，即对任意X0,有有BX0, 由由A是正是正定矩阵，有定矩阵，有矩阵矩阵BTAB显然是对称矩阵，从而是正定矩阵显然是对称矩阵，从而是正定矩阵7 设设A是是n阶正定矩阵阶正定矩阵,A- E也是正定矩阵也是正定矩阵,证明：证明：E-A-1是正定矩阵是正定矩阵证明：因为证明：因为所以所以E-A-1是对称矩阵是对称矩阵 39设设A的特征值为的特征值为特征值为特征值为由于由于A-E是正定矩阵是正定矩阵, 因此其特征值因此其特征值从而从而E-A-1的特征值的特征值所以所以E-A-1是正定矩阵是正定矩阵 E-A-1的特征值为的特征值为则则A-1的的40。