阶常系数非齐次线性微分方程解法及例题.ppt

§12.9 二阶常系数非齐次线性微分方程提示 [Q(x)(2p)Q(x)(2pq)Q(x)]ex[Q(x)+2Q(x)+2Q(x)]exp[Q(x)+Q(x)]ex+qQ(x)ex一、 f(x)Pm(x)ex 型y*Q(x)ex 设方程ypyqyPm(x)ex 特解形式为 下页Q(x)(2p)Q(x)(2pq)Q(x)Pm(x) ——(＊)则得 [Q(x)ex][Q(x)ex]q[Q(x)ex] y*py*qy* 提示 此时2pq0 要使(＊)式成立 Q(x)应设为m次多项式 Qm(x)b0xmb1xm1    bm1xbm (1)如果不是特征方程r2prq0的根 则 y*Qm(x)ex 下页一、 f(x)Pm(x)ex 型y*Q(x)ex 设方程ypyqyPm(x)ex 特解形式为 Q(x)(2p)Q(x)(2pq)Q(x)Pm(x) ——(＊)则得 提示 此时2pq0 但2p0 要 使 (＊ )式 成 立  Q(x)应 设 为 m1次 多 项 式  Q(x)xQm(x) 其中Qm(x)b0xm b1xm1    bm1xbm (2)如果是特征方程r2prq0的单根 则y*xQm(x)ex 下页 (1)如果不是特征方程r2prq0的根 则 y*Qm(x)ex 一、 f(x)Pm(x)ex 型y*Q(x)ex 设方程ypyqyPm(x)ex 特解形式为 Q(x)(2p)Q(x)(2pq)Q(x)Pm(x) ——(＊)则得 提示 此时2pq0 2p0 要使(＊)式成立 Q(x)应设为m2次多项式 Q(x)x2Qm(x) 其中Qm(x)b0xmb1xm1    bm1xbm (3)如果是特征方程r2prq0的重根 则y*x2Qm(x)ex 下页 (2)如果是特征方程r2prq0的单根 则y*xQm(x)ex (1)如果不是特征方程r2prq0的根 则 y*Qm(x)ex 一、 f(x)Pm(x)ex 型y*Q(x)ex 设方程ypyqyPm(x)ex 特解形式为 Q(x)(2p)Q(x)(2pq)Q(x)Pm(x) ——(＊)则得 v结论 二阶常系数非齐次线性微分方程ypyqyPm(x)ex有形如y*xkQm(x)ex的特解 其中Qm(x)是与Pm(x)同次的多项式 而k按不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的的重根依次取为0、1或2 下页提示 因为f(x)Pm(x)ex3x1 0不是特征方程的根 所以非齐次方程的特解应设为 y*b0xb1 把它代入所给方程 得 例1 求微分方程y2y3y3x1的一个特解 解 齐次方程y2y3y0的特征方程为r22r30 [b0xb1]2[b0xb1]3[b0xb1]3b0x2b03b1 2b03b0x3b1 3b0x2b03b13x1 提示3b03 2b03b11 特解形式 例2 求微分方程y5y6yxe2x的通解 解 齐次方程y5y6y0的特征方程为r25r 60 其根为r12 r23 提示齐次方程y5y6y0的通解为YC1e2xC2e3x  因为f(x)Pm(x)exxe2x 2是特征方程的单根 所以非齐次方程的特解应设为 y*x(b0xb1)e2x 把它代入所给方程 得 2b0x2b0b1x 提示2b01 2b0b10>>> 特解形式首页 例2 求微分方程y5y6yxe2x的通解 解 齐次方程y5y6y0的特征方程为r25r 60 其根为r12 r23 2b0x2b0b1x 因此所给方程的通解为 因为f(x)Pm(x)exxe2x 2是特征方程的单根 所以非齐次方程的特解应设为 y*x(b0xb1)e2x 把它代入所给方程 得特解形式 二阶常系数非齐次线性微分方程 ypyqyex[Pl(x)cosxPn(x)sinx]有形如 y*xkex[R(1)m(x)cosxR(2)m(x)sinx]的特解 其中R(1)m(x)、R(2)m(x)是m次多项式 mmax{l n} 而k按i(或i)不是特征方程的根或是特征方程的单根依次取0或1 二、f(x)ex[Pl(x)cosxPn(x)sinx]型下页>>> v结论  解 结束特解形式 例3 求微分方程yyxcos2x的一个特解 因为f(x)ex[Pl(x)cosxPn(x)sinx]xcos2x i2i不是特征方程的根 所以所给方程的特解应设为齐次方程yy0的特征方程为r210 把它代入所给方程 得 y*(axb)cos2x(cxd)sin2x (3ax3b4c)cos2x(3cx4a3d)sin2xxcos2x >>>>>>。