实验4时域采样理论与频域采样定理验证.doc

实验报告院系 班级 学号 姓名 日期 课程名称 实验成绩 指导教师实验4时域采样理论与频域采样定理验证一、实验目的1时域采样理论与频域采样理论是数字信号处理中的重要理论要求掌握模 拟信号采样前后频谱的变化，以及如何选择采样频率才能使采样后的信号不丢 失信息；要求掌握频率域采样会引起时域周期化的概念，以及频率域采样定理 及其对频域采样点数选择的指导作用二、实验原理及方法时域采样定理的要点是：(a)对模拟信号Xa(t)以间隔T进行时域等间隔理想采样， 形成的采样信号的频谱 刃(j「)是 原模拟信号频谱 Xa(j「)以采样角频率“S (门S =2二/T )为周期进行周期延拓公 式为：1 00>?a(jf9 =FT[Xa(t)^- Xa(j- - jn =)T n =jao(b)采样频率"s必须大于等于模拟信号最高频率的两倍以上，才能使采样信号的频谱不产生频谱混叠利用计算机计算上式并不方便，下面我们导出另外一个公式，以便用计算机上进行实验理想采样信号?a (t)和模拟信号xa(t)之间的关系为：Xa(t)二 Xa(t)'、(t- nT)n =-：:对上式进行傅立叶变换，得到：cQ= .：[Xa(t)'〔(t- nT)]ejtdt一 n =^0Z / xa(t)6(t -nT )eT^dt_ —n 二-在上式的积分号内只有当 t =nT时，才有非零值，因此:odXa(j^ = x Xa(nT)ejnTn -■::上式中，在数值上 xa(nT) = x(n)，再将•-〔订代入，得到：odX\(j。

)= Z x(n)eJ却n 二:上式的右边就是序列的傅立叶变换 X(ej )，即刃a(j "X(ej「T上式说明理想采样信号的傅立叶变换可用相应的 采样序列的傅立叶变换得到，只要将自变量3用「T代替即可频域采样定理的要点是：a)对信号x(n)的频谱函数X(ej 3)在[0, 2 n上等间隔采样N点，得到XN(k)=X(e号诸呼,k=0,1,2,…，N-1则N点IDFT[ XN(k)]得到的序列就是原序列 x(n)以N为周期进行周期延拓后的主值区序列，公式为：□0Xn(n) =IDFT[ XN(k)h 珂' x(n 7N)]Rn(n)i(b)由上式可知，频域采样点数 N必须大于等于时域离散信号的长度 M(即N刑)，才能使时域不产生混叠，则N点IDFT[ XN(k)]得到的序列Xn(n)就是原序列x(n),即Xn5)=x(n) 如果N>M , Xn(n)比原序列尾部多 N-M个零点；如果 N

对比上面叙述的时域采样原理和频域采样原理，得到一个有用的结论，这两个采样理论具有对偶性：“时域采样频谱周期延拓，频域采样时域信号周期延拓” 因此放在一起进行实验三、实验内容及步骤(1)时域采样理论的验证给定模拟信号，xa(t)二Ae」sin(「0t)u(t)式中A=444.128, :- =50 .一 2 n,门° =50 i 2 n rad/s，它的幅频特性曲线如图 10.2.1图10.2.1 xa (t)的幅频特性曲线现用DFT(FFT)求该模拟信号的幅频特性，以验证时域采样理论安照xa (t)的幅频特性曲线，选取三种采样频率，即 Fs=1kHz 300Hz, 200Hz观测时间选Tp =50ms为使用DFT，首先用下面公式产生时域离散信号，对三种采样频率，采样序列按顺序用 xMn)， X2(n)，X3(n) 表示x(n) =xa(nT)sin(00nT)u(nT)因为采样频率不同，得到的 /(n)，X2(n)，X3(n)的长度不同， 长度(点数)用公式N二Tp Fs计算选FFT的变换点数为M=64，序列长度不够64的尾部加零X(k)=FFT[x( n)]，k=0,1,2,3,——,M-1式中k代表的频率为要求：编写实验程序，计算 ％(n)、X2(n)和X3(n)的幅度特性，并绘图显示。

观察 分析频谱混叠失真2)频域采样理论的验证给定信号如下：n 1 0 空 n <13x(n) = 27 - n 14 _ n _ 26 I 0 其它编写程序分别对频谱函数 X(ej')二FT［x(n)］在区间［0,2二］上等间隔采样32和16点,得到 X32(k)和Xi6(k):X32(k) =X(ej )Wkk =0,1,2, 31Xi^=X(ej)k =0,1,2; 15再分别对X32(k)和X16(k)进行 32 点和16点IFFT,得到 X32(n) 和 X16(n):X3 2( n) = I F F TT^3 2 k(3)2]0,1, 2 , , 3 1为阿IFF巩6 k(1)6]0,1,2, , 15分别画出X(ej )、X32(k)和X16(k)的幅度谱,并绘图显示x(n)、X32(n)和心(n)的波形,进行对比和分析，验证总结频域采样理论提示：频域采样用以下方法容易变程序实现①直接调用MATLAB函数fft计算X32(k)二FFT［x(n)］32就得到X(e')在［0,2二］的32点频率域采样②抽取X32(k)的偶数点即可得到 X(ej)在［0,2：］的16点频率域采样X16(k)，即&6(k) =X32(2k) , k = 0,1,2, ,15。

③ 当然也可以按照频域采样理论，先将信号 x(n)以16为周期进行周期延拓，取其主值区(16点)，再对其进行16点DFT(FFT),得到的就是X (e?)在［0,2二］的16点频率域采 样兀6化)四、思考题如果序列x(n)的长度为M ,希望得到其频谱 X (ej )在［0,2二］上的N点等间隔采样，当N