第四章第四章 曲线运动曲线运动 万有引力与航天万有引力与航天第第4 4讲讲 万有引力定律及其应用万有引力定律及其应用 过好双基关 一、开普勒三定律的内容、公式一、开普勒三定律的内容、公式定律内容图示或公式开普勒第一定律(轨道定律)所有行星绕太阳运动的轨道都是 ，太阳处在 的一个焦点上开普勒第二定律(面积定律)对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的 相等开普勒第三定律(周期定律)所有行星的轨道的半长轴的 跟它的公转周期的 的比值都相等 ＝k，k是一个与行星无关的常量椭圆椭圆面积三次方二次方 自自测1 (2016·全国卷Ⅲ·14)关于行星运动的规律，下列说法符合史实的是A.开普勒在牛顿定律的基础上，导出了行星运动的规律B.开普勒在天文观测数据的基础上，总结出了行星运动的规律C.开普勒总结出了行星运动的规律，找出了行星按照这些规律运动的原因D.开普勒总结出了行星运动的规律，发现了万有引力定律√√解解析析 开普勒在天文观测数据的基础上总结出了行星运动的规律，但没有找出行星运动按照这些规律运动的原因，而牛顿发现了万有引力定律.答案解析 二、万有引力定律二、万有引力定律1.内容自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成 ，与它们之间距离r的二次方成 .2.表达式F＝ ，G为引力常量，G＝6.67×10－11N·m2/kg2.3.适用条件(1)公式适用于 间的相互作用，当两个物体间的距离远大于物体本身的大小时，物体可视为质点.(2)质量分布均匀的球体可视为质点，r是 的距离.正比反比质点两球心间 4.天体运动问题分析(1)将天体或卫星的运动看成 运动， 其所需向心力由 提供.(2)基本公式：匀速圆周万有引力mrω2→ω＝_______mvω 自自测2 我国发射的“天宫一号”和“神舟八号”在对接前，“天宫一号”的运行轨道高度为350 km，“神舟八号”的运行轨道高度为343 km.它们的运行轨道均视为圆周，则A.“天宫一号”比“神舟八号”速度大B.“天宫一号”比“神舟八号”周期长C.“天宫一号”比“神舟八号”角速度大D.“天宫一号”比“神舟八号”加速度大√√答案解析 三、宇宙速度三、宇宙速度1.第一宇宙速度(1)第一宇宙速度又叫 速度，其数值为 km/s.(2)第一宇宙速度是人造卫星在 附近环绕地球做匀速圆周运动时具有的速度.(3)第一宇宙速度是人造卫星的最小 速度，也是人造卫星的最大_____速度.(4)第一宇宙速度的计算方法.环绕7.9地面发射环绕 2.第二宇宙速度使物体挣脱 引力束缚的最小发射速度，其数值为 km/s.3.第三宇宙速度使物体挣脱 引力束缚的最小发射速度，其数值为 km/s.地球11.2太阳16.7 自自测3 教材P48第3题 金星的半径是地球的0.95倍，质量为地球的0.82倍，金星表面的自由落体加速度是多大？金星的“第一宇宙速度”是多大？答案 答案 8.9 m/s2 7.3 km/s答案解析 研透命题点 1.行星绕太阳的运动通常按圆轨道处理.2.开普勒行星运动定律也适用于其他天体，例如月球、卫星绕地球的运动.3.开普勒第三定律 ＝k中，k值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体k值不同.但该定律只能用在同一中心天体的两星体之间.命题点一 开普勒三定律的理解和应用基础考点 自主悟透基础考点 自主悟透 例例1 (多选)(2017·全国卷Ⅱ·19)如图1，海王星绕太阳沿椭圆轨道运动，P为近日点，Q为远日点，M、N为轨道短轴的两个端点，运行的周期为T0，若只考虑海王星和太阳之间的相互作用，则海王星在从P经过M、Q到N的运动过程中A.从P到M所用的时间等于B.从Q到N阶段，机械能逐渐变大C.从P到Q阶段，速率逐渐变小D.从M到N阶段，万有引力对它先做负功后做正功√√答案解析图1√√ 变变式式1 火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行，根据开普勒行星运动定律可知A.太阳位于木星运行轨道的中心B.火星和木星绕太阳运行速度的大小始终相等C.火星与木星公转周期之比的平方等于它们轨道半长轴之比的立方D.相同时间内，火星与太阳连线扫过的面积等于木星与太阳连线扫过的 面积√√答案解析 变变式式2 (多选)如图2所示，近地人造卫星和月球绕地球的运行轨道可视为圆.设卫星、月球绕地球运行周期分别为T卫、T月，地球自转周期为T地，则A.T卫T月C.T卫r同>r卫，由开普勒第三定律 ＝k，可知，T月>T同>T卫，又同步卫星的周期T同＝T地，故有T月>T地>T卫，选项A、C正确.√√答案解析 变变式式3 如图3所示，一颗卫星绕地球沿椭圆轨道运动，A、B是卫星运动的远地点和近地点.下列说法中正确的是A.卫星在A点的角速度大于B点的角速度B.卫星在A点的加速度小于B点的加速度C.卫星由A运动到B过程中动能减小，势能增加D.卫星由A运动到B过程中引力做正功，机械能增大√√答案解析图3 命题点二 万有引力定律的理解能力考点 师生共研能力考点 师生共研1.万有引力与重力的关系万有引力与重力的关系地球对物体的万有引力F表现为两个效果：一是重力mg，二是提供物体随地球自转的向心力F向. 2.星球上空的重力加速度星球上空的重力加速度g′′3.万有引力的万有引力的““两点理解两点理解””和和““两个推两个推论””(1)两点理解①两物体相互作用的万有引力是一对作用力和反作用力.②地球上的物体受到的重力只是万有引力的一个分力. (2)两个推论①推论1：在匀质球壳的空腔内任意位置处，质点受到球壳的万有引力的合力为零，即∑F引＝0.②推 论 2：在匀质球体内部距离球心 r处的质点 (m)受到的万有引力等于球体内半径为r的同心球体(M′)对其的万有引力，即F＝ . 例例2 如图4所示，有人设想通过“打穿地球”从中国建立一条过地心的光滑隧道直达阿根廷.如只考虑物体间的万有引力，则从隧道口抛下一物体，物体的加速度A.一直增大B.一直减小C.先增大后减小D.先减小后增大图4√√答案解析 例例3 由中国科学院、中国工程院两院院士评出的2012年中国十大科技进展新闻，于2013年1月19日揭晓，“神九”载人飞船与“天宫一号”成功对接和“蛟龙”号下潜突破7 000米分别排在第一、第二.若地球半径为R，把地球看做质量分布均匀的球体.“蛟龙”下潜深度为d，“天宫一号”轨道距离地面高度为h，“蛟龙”号所在处与“天宫一号”所在处的加速度之比为√√答案解析 变式式4 “神舟十一号”飞船于2016年10月17日发射，对接“天宫二号”.若飞船质量为m，距地面高度为h，地球质量为M，半径为R，引力常量为G，则飞船所在处的重力加速度大小为√√答案 命题点三 天体质量和密度的估算能力考点 师生共研能力考点 师生共研天体质量和密度常用的估算方法天体质量和密度常用的估算方法 使用方法已知量利用公式表达式备注质量的计算利用运行天体r、T只能得到中心天体的质量r、vv、T利用天体表面重力加速度g、R 密度的计算利用运行天体r、T、R利用近地卫星只需测出其运行周期利用天体表面重力加速度g、R 例例4 假设地球可视为质量均匀分布的球体.已知地球表面重力加速度在两极的大小为g0，在赤道的大小为g，地球自转的周期为T，引力常量为G.地球的密度为答案解析√√ 变变式式5 观察“嫦娥三号”在环月轨道上的运动，发现每经过时间t通过的弧长为l，该弧长对应的圆心角为θ(弧度)，如图5所示.已知引力常量为G，“嫦娥三号”的环月轨道可近似看成是圆轨道，由此可推导月球的质量为答案解析图5√√ 变式式6 据报道，天文学家新发现了太阳系外的一颗行星.这颗行星的体积是地球的a倍，质量是地球的b倍.已知近地卫星绕地球运行的周期约为T，引力常量为G.则该行星的平均密度为答案解析√√ 命题点四 卫星运行参量的分析基础考点 自主悟透基础考点 自主悟透卫星运行参量相关方程结论线速度vr越大，v、ω、a越小，T越大角速度ω周期T向心加速度a 例例5 (多选)“天舟一号”货运飞船于2017年4月20日在文昌航天发射中心成功发射升空.与“天宫二号”空间实验室对接前，“天舟一号”在距地面约380 km的圆轨道上飞行，则其A.角速度小于地球自转角速度B.线速度小于第一宇宙速度C.周期小于地球自转周期D.向心加速度小于地面的重力加速度√√答案解析√√√√ 变变式式7 (2017·全国卷Ⅲ·14)2017年4月，我国成功发射的天舟一号货运飞船与天宫二号空间实验室完成了首次交会对接，对接形成的组合体仍沿天宫二号原来的轨道(可视为圆轨道)运行.与天宫二号单独运行时相比，组合体运行的A.周期变大 B.速率变大C.动能变大 D.向心加速度变大√√答案 变式式8 (2017·河北石家庄二模)2016年10月19日凌晨，神舟十一号飞船与天宫二号对接成功，如图6.两者对接后一起绕地球运行的轨道可视为圆轨道，运行周期为T，已知地球半径为R，对接体距地面的高度为kR，地球表面的重力加速度为g，引力常量为G，下列说法正确的是图6√√答案解析 课时作业 1.关于行星运动定律和万有引力定律的建立过程，下列说法正确的是A.第谷通过整理大量的天文观测数据得到行星运动规律B.开普勒指出，地球绕太阳运动是因为受到来自太阳的引力C.牛顿通过比较月球公转的向心加速度和地球赤道上物体随地球自转的 向心加速度，对万有引力定律进行了“月地检验”D.卡文迪许在实验室里通过几个铅球之间万有引力的测量，得出了引力 常量的数值√√双基巩固练双基巩固练12345678910111213答案 2.关于环绕地球运行的卫星，下列说法正确的是A.分别沿圆轨道和椭圆轨道运行的两颗卫星，不可能具有相同的周期B.沿椭圆轨道运行的一颗卫星，在轨道不同位置可能具有相同的速率C.在赤道上空运行的两颗地球同步卫星，它们的轨道半径有可能不同D.沿不同轨道经过北京上空的两颗卫星，它们的轨道平面一定会重合12345678910111213√√答案解析 123456789101112133.组成星球的物质靠引力吸引在一起随星球自转.如果某质量分布均匀的星球自转周期为T，万有引力常量为G，为使该星球不至于瓦解，该星球的密度至少是答案解析√√ 4.(2018·河南洛阳模拟)北斗卫星导航系统(BDS)是中国自行研制的全球卫星导航系统，该系统由35颗卫星组成，卫星的轨道有三种：地球同步轨道、中轨道和倾斜轨道.其中，同步轨道半径大约是中轨道半径的1.5倍，那么同步卫星与中轨道卫星的周期之比约为√√12345678910111213答案解析 √√12345678910111213答案解析√√ √√12345678910111213答案解析 7.(2018·广东中山质检)长期以来“卡戎星(Charon)”被认为是冥王星唯一的卫星，它的公转轨道半径r1＝19 600 km，公转周期T1＝6.39天.2006年3月，天文学家新发现两颗冥王星的小卫星，其中一颗的公转轨道半径r2＝48 000 km，则它的公转周期T2最接近于A.15天 B.25天 C.35天 D.45天综合提升练综合提升练√√12345678910111213答案解析 8.卫星绕地球做匀速圆周运动，其轨道半径为r，运动周期为T，地球半径为R，引力常量为G，下列说法中正确的是12345678910111213答案√√ 9.地球的公转轨道接近圆，但彗星的运行轨道则是一个非常扁的椭圆，如图1.天文学家哈雷曾经在1682年跟踪过一颗彗星，他算出这颗彗星轨道的半长轴等于地球公转轨道半径的18倍，并预言这颗彗星将每隔一定时间就会出现.哈雷的预言得到证实，该彗星被命名为哈雷彗星.哈雷彗星最近出现的时间是1986年，它下次将在哪一年飞近地球A.2042年 B.2052年C.2062年 D.2072年√√图112345678910111213答案解析 10.(2017·北京理综·17)利用引力常量G和下列某一组数据，不能计算出地球质量的是A.地球的半径及重力加速度(不考虑地球自转)B.人造卫星在地面附近绕地球做圆周运动的速度及周期C.月球绕地球做圆周运动的周期及月球与地球间的距离D.地球绕太阳做圆周运动的周期及地球与太阳间的距离√√12345678910111213答案解析 11.理论上已经证明：质量分布均匀的球壳对壳内物体的万有引力为零.现假设地球是一半径为R、质量分布均匀的实心球体，O为球心，以O为原点建立坐标轴Ox，如图2所示.一个质量一定的小物体(假设它能够在地球内部移动)在x轴上各位置受到的引力大小用F表示，则选项所示的四个F随x变化的关系图中正确的是图2√√12345678910111213答案解析 12.理论上可以证明，质量均匀分布的球壳对壳内物体的引力为零.假定地球的密度均匀，半径为R.若矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为k，则矿井的深度为12345678910111213答案解析√√ 13.我国月球探测计划“嫦娥工程”已经启动，科学家对月球的探索会越来越深入.(1)若已知地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，月球绕地球运动的周期为T，月球绕地球的运动近似看做匀速圆周运动，试求出月球绕地球运动的轨道半径.解析 解析 设地球质量为M，12345678910111213答案解析 (2)若宇航员随登月飞船登陆月球后，在月球表面高度为h的某处以速度v0水平抛出一个小球，小球飞出的水平距离为x.已知月球半径为R月，引力常量为G，试求出月球的质量M月.解析 解析 设月球表面处的重力加速度为g月，小球飞行时间为t，12345678910111213答案解析 。
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