傅里叶积分、傅里叶变换的matlab实现.doc

院院 校：校： 物理与电子科学学院物理与电子科学学院班班 级：级： 08010801 班班姓姓 名：名： 目目 录录1. 引言………………………………………………………………………………2. 理论推导…………………………………………………………………………2.1 傅里叶级数 ……………………………………………………………………2.2 傅里叶积分及傅里叶变换 ……………………………………………………2.3 傅里叶积分、傅里叶变换的应用 ……………………………………………2.3.1 对无限长的细杆导热问题的研究 …………………………………………2.3.2 对长度为 的细杆导热问题的研究…………………………………………l2.3.3 波动方程的定解条件 ………………………………………………………3. matlab 模拟结果…………………………………………………………………4. 总结………………………………………………………………………………5. 参考文献…………………………………………………………………………1傅里叶积分、傅里叶变换及其应用的傅里叶积分、傅里叶变换及其应用的 matlabmatlab 实现实现摘要：根据傅里叶积分、傅里叶变换理论，计算了若干例题，并利用此理论模拟了无限长细竿、有限长细竿的导热问题及波动方程的定解条件问题，做出了细竿导热情况的图像。

关键词：傅里叶积分 傅里叶变换 热传导 定解问题1.1. 引言引言计算物理学是以计算机及计算机技术为工具和手段，运用计算数学的方法，解决复杂问题的一门学科傅里叶积分及傅里叶变换在物理学中有着重要的应用，而其运算相对繁琐，利用计算机技术可以方便地帮助我们解决这一问题，大大节省时间，提高研究效率傅里叶积分及傅里叶变换作为重要的计算方法被应用在物理学中的各个领域如量子力学、电动力学等等我们选择用 matlab 解决傅里叶变换的计算问题；绘制出有限长和无限长细竿热传导温度分布图像，并对其作深入分析；解决波动方程定解条件的问题2.2.理论推导理论推导2.12.1 傅里叶级数傅里叶级数若函数以为周期，即( )f x2l(2 )( )f xlf x则，将展开为级数( )f x0 1( )(cossin)kk kk xk xf xllaab其中1( )coslkl kkfdlla2(0)()1(0)kk k1( )sinlklkfdllb 若是定义在上的非周期函数，则可以采取延拓的方法，使其成为某( )f x(0, ) l种周期函数，而在上，。

然后再对作傅里叶级数展( )g x(0, ) l( )( )g xf x( )g x2开，使级数和在区间上代表0, ) l( )f x2.22.2 傅里叶积分及傅里叶变换傅里叶积分及傅里叶变换傅里叶积分实际上是把定义在上的非周期函数进行积分形式的展开) 即把展开为如下形式：( )f x00( )( )cos( )sinf xAxdBxd其中1( )( )cos1( )( )sinAfdBfd   第一个式子是傅里叶积分表达式，第二组式子为傅里叶变换式把傅里叶积分写成复数形式就为( )( )i xf xFde傅里叶变换为 1( )( )[]2i xFf xdxe下面举两道例题例例 1 1 求矩形函数的傅里叶变换，其中( )( 2 )f threct tT11(||)2 10(||)2x rectx x 解解 1( )2Ti xTFhdxe2Ti xThie ()2i Ti Thiee sinhT 3例例 2 2 求的傅里叶变换，其中，定义在上。

2( )f xxxx(, ) 解解21( )()2i xFxdxx e211 22i xi xxdxdxex e22i xi xixidxee22i xi xiixdxxeecosi 2sini sin221i xixdxeecosi2sini sin22cos32sin2.32.3 傅里叶积分、傅里叶变换的应用傅里叶积分、傅里叶变换的应用基于 maltab 在数学物理方法中利用分离变数（傅里叶级数）法求解一维（线性）热传导方程问题的研究，在一维细杆热传导问题的研究将细杆分为有限长度与无限长度两方面来求解问题2.3.12.3.1 对无限长的细杆导热问题的研究对无限长的细杆导热问题的研究 无限长细杆的热传导的定解问题： 细杆上任意一点的温度是时间 t 和位置 x 的函数 u(x,t)泛定方程 20txxu a u初始条件 ,0( )u x tx利用傅里叶级数求得细杆上任意一点的温度为： 2241( , )( )( )2tx u x tdaate   若取初始温度分布设为( )x一个高度为一得矩形脉冲波；1,(01)( )0,(1,0)xxxx则得到 221 201 2tx u xtdaate   2.3.22.3.2 对长度为对长度为的细杆导热问题的研究的细杆导热问题的研究l4讨论有限长度的细杆，在一端为第一类齐次边界条件，另一端为第二类边l 界条件下的热传导问题的研究。

有限长细杆热传导定解问题就是将上述无限细杆的长度有限化，对取一确定l 有限值：泛定方程 20txxa边界条件 (0,)0( , )0tl t 初始条件 ( ,0)( )xtx当，，时，解得20l 10a 1,(1011)( )0,(11,10)xxxx2224001211( , )[coscos]sin22020tnnannnu x txne 将上述问题具体化为，初始时刻杆的一端温度为零度，另一端温度为,杆 0上的温度均匀（） ，零度温度一端保持温度不变（0( )/xx l） ，另一端跟外界温度绝热（） ，这细杆上温度随时(0,)0t( , )0xl t间与空间变化的函数关系设为, xt细杆上温度综合上述条件：, xt泛定方程 20txxa边界条件 (0,)0( , )0xtl t 初始条件 0( )/xx l由齐次方程的定解问题的求解方法求得2 2220 22 011()()2212( ,)sin( 1)1()2ktkkakx xtlle k    5将上述参数具体化，设定，，则可化为 010 C20l 10a , xt2422 02(0.5)201(0.5)( ,)sin20( 1)(0.5)ktkkkxxtek2.3.32.3.3 波动方程的定解条件波动方程的定解条件 一根长 为两端固定的弦，用手把它的中点横向拉开距离 ，然后放手任其自由l 振动，写出它的初始条件。

时各点的位移由图中折线确定，所以0t 2,02 2(),.2,;blxxl bll bx llu x o   研究两端固定均匀弦的自由振动,即定解问题是：2 ttxxUa U(0, ) 0; (, ) 0( ,0)( );( ,0)( )tu xtu x l tu x tx ux tx它的解是：1( , )(cossin)sinxn nn atn atn xU x tABlll其中02( )sinnlnAdll 02( )sinnlnBdn dl 对于有限长的弦，如果在讨论的时间范围内，边界的影响还没有到达，则产生的现象与无限长的弦是一样的734sin()77 0( )llxxlx   3.3. matlabmatlab 模拟结果模拟结果图 1 为例题 1 傅里叶变换的函数图像6图 1图 2 为例题 2 傅里叶变换的函数图像图 2图 3 为无限长杆温度随时间和空间变化的瀑布图7图 3 从图 3 中可以看出，在开始时刻，温度分布在原点附近定义为一个脉冲函数， 在沿着细杆的方向上，温度逐渐降低形成一个平缓的波包，并向周围传导，如果时 间足够长，最终细杆上的温度为零。

在前面的程序上加上以下程序，则图 4 表示杆 上温度暂停 0.1s 时刻的传导情况：图 4图 5 为有限长杆温度传导函数的图像8图 5由于初始条件相同，有限杆与无限杆的温度分布是一样的，无限长的杆热传导现象只是边界条件还没有产生影响的有限杆上热传导现象的一种近似由于在理论的计算中，n 的叠加到无穷，而以上程序中 n 只取到 50，在图像中可以看到，在x=10 到 11 的两端，温度出现较小幅度的波动，没有无限杆的热传导温度在两端都减小而不增大的现象，而当杆长趋近于无穷时，使得两图可以近似为同一图形图 6 为有限长细杆上温度随时间和空间变化的三维曲面图图 6从图中可以看出，在沿杆的方向上，温度是随条件定义的线性传导变化，在同样的泛定函数下，给定不同的初始条件下，图四可近似看图三的一个部分 如果考虑先前时刻即考虑 t0,则随22221()2tkalek 的增大而急剧减小，从而级数收敛的很快t 越大，级数收敛越快在 t>0.18时，可以只保留 k=0 的项，略去 k>0 的项，从而简化22l a0 28 ( ,)xt ，在 MATLAB 的程序中也可不使用 for……end 的循环语句，画出222sin42taxlle的图像也大致相同，其误差不超过 1%。

4.4. 总结总结基于理论分析，我们展示了傅里叶变换的函数图像，无限长及有限长细竿热传导温度的分布规律并作出其图像，波动方程的定解问题其中，我们利用图像形象直观地表现了所研究的问题，且理论分析也较为透彻，有待改进之处在与所研究问题关联性不强5.5. 参考文献参考文献【1】梁坤淼.数学物理方法.第三版.北京：高等教育出版社，1998.【2】张志涌等.MATLAB 教程.北京：航空航天大学出版社，2006.【3】彭芳麟.数学物理方程的 MATLAB 解法与可视化.【4】郑阿奇.MATLAB 实用教程.第二版.电子工业出版社，2007.【5】周晓阳.数学实验与 MATLAB.华中科技大学出版社，2002.。