[中国高考数学母题一千题](第0001号)愿与您共建真实的中国高考数学母题(杨培明:13965261699)关于数列{(1+)n}的三个问题利用指数、对数不等式研究数列{(1+)n} 数列{(1+)n}是微积分中的一个重要数列,也是高考命题的一个重要支点,利用指数、对数不等式可以解决该数列的三个问题.[母题结构]:己知数列{an}:an=(1+)n和bn=(1+)n+1(n∈N,n≥1),则:(Ⅰ)(单调性)an+1>an,bn+1-1)f(x)=在(-1,0)和(0,+∞)上递减(由(x)= [-ln(1+x)]<0,即证)f()>f()(n+1)ln(1+)>nln(1+)an+1>an;g(x)=在(-1,0)和(0,+∞)上递增(由(x)=[x-ln(1+x)]>0,即证)g()0)anp<;(Ⅱ)an+10g(x)>g(0)=0(x)=-ln(x+1)+<0f(x)=(+p)ln(x+1)在(0,1]上递减f()>f()an+1>an;同理可证(Ⅱ).[点评]:本题是对数列{an}单调性的最佳加强,关于数列{an}的单调性问题也应是高考的一个命题点. 2.有界性 子题类型Ⅱ:(2007年四川高考试题)设函数f(x)=(1+)x(n∈N,且n>1,x∈R).(Ⅰ)当x=6时,求(1+)x的展开式中二项式系数最大的项;(Ⅱ)对任意的实数x,证明:>(x)((x)是f(x)的导函数);(Ⅲ)是否存在a∈N,使得an<<(a+1)n恒成立?若存在,试证明你的结论并求出a的值;若不存在,请说明理由.[解析]:(Ⅰ)最大的项是第4项,这项是C63()3=;(Ⅱ)由(x)=(1+)xln(1+),f(2x)+f(2)=(1+)2x+(1+)2≥2=2(1+)x(1+);又由ln(1+x)2(1+)xln(1+)=2(x);(Ⅲ)由an+1>anan≥a1=2,又由an(x)>-=->0f(x)在(-1,0)上单调递增;②当x∈(0,+∞)时,由ln(1+x)<(x)<-=-<0f(x)在(0,+∞)上单调递减; (Ⅱ)a的最大值=-1.[点评]:关于数列{an}有界性的最优解,应掌握α最大值的求法,而β最小值的求法是一个难点问题. 4.子题系列:1.(2015年湖北高考试题)已知数列{an}的各项均为正数,bn=n(1+)nan(n∈N+),e为自然对数的底数.(Ⅰ)求函数f(x)=1+x-ex的单调区间,并比较(1+)n与e的大小;(Ⅱ)计算,,,由此推测计算的公式,并给出证明;(Ⅲ)令cn=(a1a2…an,数列{an},{cn}的前n项和分别记为Sn,Tn,证明:Tn-1时,(1+x)m≥1+mx;(Ⅱ)对于n≥6,已知(1-)n<,求证:(1-)n<()m,m=1,2,…,n;(Ⅲ)求出满足等式3n+4n+…+(n+2)n=(n+3)n的所有正整数n. 5.子题详解:1.解:(Ⅰ)由(x)=1-exf(x)在(-∞,0)上递减,在(0,+∞)上递增ex≥x+1,令x=(1+)n
