高中数学矩阵与变换知识点.docx

高中数学矩阵与变换知识点高中数学矩阵与变换知识点篇一：选修专题《矩阵与变换》的教学建议选修专题《矩阵与变换》的教学建议 【摘 要】目前，普通高中《数学》选修 4-2《矩阵与变换》的教学应试味道太浓，完全违背了选修专题课程设置的初衷和“课标”的精神本文就该专题教学的基本原则和主要内容的处理展开论述，给出该专题的教学建议 【关键词】 《矩阵与变换》专题 教学原则 内容处理 《普通高中数学课程标准（实验） 》 （以下简称《课标》）关于选修系列课程的设置是这样表述的：“??是为对数学有兴趣和希望进一步提高数学素养的学生而设置的，所涉及的内容反映了某些重要的数学思想，有助于学生进一步打好数学基础，提高应用意识，有利于学生终身的发展，有利于扩展学生的数学视野，有利于提高学生对数学的科学价值、应用价值、文化价值的认识其中的专题将随着课程的发展逐步予以扩充，学生可根据自己的兴趣、志向进行选择 ” 现行的江苏高考理科数学试卷 II（附加题）共四道题，其中选做题与必做题各两道选做题是从选修 4-1《几何证明选讲》 、选修 4-2《矩阵与变换》 、选修 4-3《坐标系与参数方程》 、选修 4-4《不等式选讲》中任选两道。

由于选修4-2《矩阵与变换》的题目操作程序性强、易上手、易得高分，而被绝大部分市级区域学校和师生“青睐” 这本无可厚非，但现实教学中，教师不展示知识的发生发展过程，学生只是被告知，狂练程式；教师不揭示其中的数学文化与数学思想方法；错失与信息技术整合的绝佳机会；由于教学时学生只是“不知所以然”地被灌输，所以遗忘严重，高三复习时只是到高考之前才被强行“唤醒”解题程式显然上述“青睐”应试味道太浓，违背了这门课程设置的初衷及《课标》的精神，值得引起我们的重视(来自: 小 龙 文档网:高中数学矩阵与变换知识点) 基于以上现象，笔者提出教学《矩阵与变换》的折中之道——既贯彻执行《课标》精神又赢得高考的一种教学基本原则及教学建议 一、基本原则 1.以已有的知识为平台，用实例感悟抽象的原则 矩阵作为一种重要的数学思维工具，是许多数学分支的基础，且在各行各业中都有广泛的应用，但这部分内容比较抽象，因此，以已有的知识为平台，结合具体实例理解并研究矩阵显得很重要这样不仅让学生认识到矩阵产生于实际生活又广泛应用于实际问题，更重要的是，使他们体验到数学的抽象，其适度形式化有助于人们对问题的思考与解决 例如，从歌唱比赛成绩和方程组系数的矩阵表示（贯穿本专题的始终）引入矩阵的概念，从几何体三视图的角度引入投影变化，从弹簧的挤压与拉伸来理解伸压变换，从纸牌推移引入切变变换，应用矩阵知识解决密码学、天气预报、动画制作、生物种群问题等，体现了本专题与已有知识以及实际生活的联系。

这样处理符合学生的认知规律，使他们体会到学习矩阵知识既自然又有用，而不仅仅是为应考 2.渗透数学思想方法和数学文化的原则 本专题的教学不仅要以已有的知识为平台，用实例感悟抽象，而且要注重数学思想方法的渗透如矩阵与变换蕴含的数形结合的思想，二阶矩阵与列向量的乘法与函数y=f（x）中对应法则 f 对自变量 x 作用的类比，特征向量的取法与空间向量中平面的法向量的取法的类比等类比思想， “三角函数图像的变 换→矩阵确定的伸压变换→选修 4-4 伸缩变换”之间联系与发展的思想等 另外本专题的教学还要“大气”——不能仅仅局限于知识传承层面的学校教学，更要注重数学文化的延续与传播如古时河图洛书的矩阵表示，我国古代线性方程组的解法“推物求价”问题，当今计算机显像技术中像素的矩阵刻画、影视传媒的动画制作，矩阵创始人英国数学家凯莱（）的介绍，等等如果学生在学习矩阵知识的同时，能够接受数学文化的熏陶，就能形成良好的数学情感体验3.与信息技术整合的原则 本专题有很多内容适合使用信息技术，如果条件允许，教学要尽可能与信息技术进行整合，充分利用几何画板、EXCEL 等软件开展数学探究活动如利用几何画板探究旋转变换，利用 EXCEL 研究切变变换、矩阵的乘法，求解行列式，求解逆矩阵，模拟种群数量的变化趋势等。

4.不难、不偏、不怪的原则 本专题开设的目的是要求学生了解矩阵与变换的基本知识和思想方法，为他们今后的学习打下良好的基础，因此，不能将大学的矩阵知识作简单下放，更不能挖一些难题、偏题、怪题去考学生，而要准确把握教学要求 二、对主要内容的教学建议 1.从平面图形变换的角度研究矩阵 《矩阵与变换》作为一个专题进入中学数学，首先要对其正确定位如上文所说，它不是大学教材中矩阵内容的简单下放，不是通过行列式、线性方程组的求解来引入矩阵的相关知识，而是通过平面图形的几何变换来讲解二阶矩阵，所以，应当把矩阵作为研究平面图形变换的基本工具，作为广泛意义上的一种“代数”来学习与研究求平面变换矩阵就是求列向量被变换成的新向量用原向量坐标线性表示的结果即若 xyTMx′y′=ax+bycx+by=a bc dxy，则 M=a bc d 【例 1】如图，求垂直投影到直线 y=x 上的投影变换矩阵 【解析】设 A（x，y）被投影变换成 B（a，a） ，由kAB=-1，■=-1 得 a=■+■，即 xyTMaa=■+■■+■=■ ■■ ■xy，故所求的投影变换矩阵 M=■ ■■ ■ 2.用联系发展的观点研究本专题。

“一元二次方程组→行列式→矩阵的特征值与特征向量→转移矩阵（马尔可夫链） ”是本专题的知识与认知发展主线，抓住这条主线，用联系和发展的观点，可以做到主要内容的“一线牵” 转移概率矩阵（又叫“跃迁矩阵” ）是前苏联数学家马尔可夫提出的，他在 20 世纪初发现：一个系统的某些因素在转移中，第 n 次结果只受第 n-1 次结果的影响，即只与当前所处状态有关，而与过去状态无关所以马尔可夫链就是以当前状态来预测下一时段状态的概率模型这是本专题的难点内容，举例如下 【例 2】某种电路开关闭合后，会出现红灯或绿灯闪动，已知开关第一次闭合后，出现红灯和出现绿灯的概率都是■从开关第二次闭合起，若前次出现红灯，则下一次出现红灯的概率是■，出现绿灯的概率是■；若前次出现绿灯，则下一次出现红灯的概率是■，出现绿灯的概率是■试问：开关闭合 10 次时，出现绿灯的概率是多少？（解答过程略） 3.“一线串珠”本专题 一道好题可以“一线串珠” ，起到纲举目张的作用下面是值得参考的一道原创题：【例 3】二阶矩阵 A 确定的平面变换是先将平面图形上所有点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的 2 倍，再将所得到的图形绕坐标原点顺时针旋转 90°。

（1）求矩阵 A 及其逆矩阵 B （2）若 a=81 在矩阵 B 确定的变换作用下变为■，M=3 32 4 且 M50■=mn，求 m+n 被 5 整除后的余数 （解答过程略） 这道题涉及平面变换——矩阵的乘法——逆矩阵——矩阵的特征值与特征向量——高次变换（以及二项式定理）等知识，如果说以上知识点是零散的珍珠，那么这道题就是一条金线，做到了“一线串珠” ，也可谓“一题打尽”《矩阵与变换》！ 总之，作为一线教师，怎样贯彻落实好《课标》精神，让学生对数学学习有兴趣肯钻研，同时又在高考中取得好成绩，是一个永远值得研究的课题 （作者单位：江苏省锡山高级中学） 篇二：矩阵知识点归纳矩阵知识要点 有关矩阵的乘法 1． 矩阵 A=??a b??d?与 a ? ?=??x? c ?y?相乘? A? a???a?c b?d??x??ax?by????y??=??cx?dy? ? A(?a? )???a b???c d????x??????y???= ? ??ab??c ??x??a?x?b?y??????=???ax??by? ?? d?? ?y?=?c?x?d?y??cx??dy?? =?Aa A(? a?? b)?Aa??Ab ? A(?? ?? ?? 1a?2b)??1Aa??2Ab 复合变换 A(Ba?)?(AB)a? --若向量 a 先经过矩阵 A 再经过矩阵 变换后?BAa? (AB)C?A(BC) --AB?BA（矩阵相乘没有交换律） Ak Al ?A k?l --若 AC=AB 但 C?B（没有消去律） (Ak)l?Akl--若 E2A?AE2?A E2 为单位矩阵 逆矩阵 已知矩阵 A=??ab??c d??求逆矩阵 A?1 ,若 detA?A?ab c d =ad?bc?0 则 A 有逆矩阵 A?1 = 1?d-b? A? ?-c a?? , AA?1 ?E?10? 2 ??0 1?? 为单位矩阵 ??00? ??0 0?? 为零矩阵 0 用逆矩阵求二元一次方程组 已知? ?ax?by?eA=??a b? ?cx?dy?f?c d?为二元一次方程组的系? 数矩阵,这二元一次方程组可写成??a?c b?d????x????=??e? y?f?? , A ?1 ??e??x? ?f??=??y?? . 已知? ?ax?by?0 ?cx?dy?0 （其中,a,b,c,d 是不全为 0 的常数） 则 此二元一次方程组有非 0 解的充要条件是 ab c d =0 矩阵的转置 设 A=(aij)m×n，将矩阵 A 的行换成同序数的列得到的新矩阵，称为 A 的转置 矩阵，记为 AT 或 A'． 转置满足以下运算规则： (AT)T=A； (A+B)T=AT+BT； (kA)T=kAT(k 为任意常数)； (AB)T=BTAT． 子式和余子式 性代数中，一个矩阵 A 的余子式（又称余因式）是指将 A 的某些行与列去掉之后所余下的方阵的行列式。

相应的方阵有时被称为余子阵 将方阵 A 的一行与一列去掉之后所得到的余子式可用来获得相应的代数余子式，后者在可以通过降低多阶矩阵的阶数来简化矩阵计算，并能和转置矩阵的概念一并用于逆矩阵计算 不过应当注意的是，余子式和代数余子式两个概念的区别在数值上，二者的区别在于，余子式(M32)只计算去掉某行某列之后剩余行列式的值，而代数余子式(A32)则需要考虑去掉的这一个元素对最后值正负所产生的影响 对矩阵 要计算代数余子式 C23首先计算余子式 M23， 也就是原矩阵去掉第 2 行和第3 列后的子矩阵的行列式：即篇三：矩阵知识点归纳矩阵知识点归纳 (一)二阶矩阵与变换 1．线性变换与二阶矩阵 ?x′＝ax＋by， 在平面直角坐标系 xOy 中，由?(其中 a，b，c，d 是常数)构成的变换称为线性变换．由四个数 a，b，c，d 排成的正方形 ?a b ?称为二阶矩阵，其中 a，b，c，d 称为矩阵的元素，矩阵通常用大写字母 A，B，C，…或(aij)表示(其中 i，j分别为元素 aij 所在的数表??c d? 行和列)． 2．矩阵的乘法 b11b11a b ?与列矩阵?x?[a11a12]与列矩阵??的乘法规则为[a11a12]??＝[a 11b11＋a12b21]，二阶矩阵??b21??b21??c d??y?M＝??0 1?；? θ 对应的矩阵是 M＝?； ?sin θ cos θ? 1 0??关于 x 轴对称，则变换对应矩阵为 M1 ＝；若关于 y 轴对称，则变换对应矩阵为 M2?0 －1?－1 0；若关于坐标原点对称，则变换对应矩阵 M3＝?－1 0?； ＝0 1 0 －1? ，表示将每个点的横坐标变为原来的 k1 倍，纵坐标变为原来的 k2 倍，k1，k2 均为非零常数； M＝ 1 0??轴的投影变换的矩阵为＝； ?0 0??1 k?，若沿 y 轴平移|kx|个单位，则对应矩阵 M＝ 沿 x 轴平移|ky|个单位，则对应矩阵 M＝ ?0 1? ?1 0.(其中 k 为非零常数)． ?k 14．线性变换的基本性质 xλxx1x2 ?x1＋x2?. 设向量 α＝??，规定实数 λ 与向量 α 的乘积λα＝??；设向量 α＝??，β＝??，规定向量 α 与 β 的和 α＋β＝ ?y??λy??y1??y2??y1＋y2? (1)设 M 是一个二阶矩阵，α、β 是平面上的任意。