3.(侯雪松)三角形全等证明.doc

出题教师：侯雪松三角形全等证明三角形全等证明例例 1：：已知：如图，过ABC 的顶点 A，作 AF⊥AB 且 AF=AB，作 AH⊥AC，使 AH=AC，连结 BH、CF，且 BH 与 CF 交于 D 点 求证：（1）BH=CF（2）BH⊥CF 分析分析：：从图中可观察分析，若证 BH=CF，显然，若能证出ABH≌AFC，问题就能解决从已知看，已经知 道 AF=AB，AC=AH这两个三角形已经具备两条边对应相等了还要证明第三条边相等，显然不可能用“边 边边”公理了只能寻求两对应边的夹角了从已知看，∠BAF 和∠HAC 都是直角而图中的∠BAC 显然是公 共角，根据等式性质，问题可以顺利解决 证明： （1）∵AF⊥AB，AH⊥AC∴∠BAF=∠HAC=90∴∠BAF+∠BAC=∠HAC+∠BAC∴即∠FAC=∠BAH在ABH 和AFC 中  ABAFBAHFACAHAC 已知已证已知∴ABH≌AFC（边角边）∴BH=FC（全等三角形对应边相等） （2）设 AC 与 BH 交于点 P在APH 中∵∠HAP=90∴∠2+∠3=90（直角三角形中两个锐角互余）∵∠1=∠2（全等三角形对应角相等）∠3=∠4∴∠1+∠4=∠2+∠3=90在PDC 中∵∠1+∠4=90∴∠HDC=90∴BH⊥CF 例例 2：：已知，如图：BD、CE 是ABC 的高，分别在高上取点 P 与 Q，使 BP=AC，CQ=AB。

求证：AQ=AP 分析分析：：从要证的结论 AQ=AP，只有在ABP 和QCA 中找对应原素，不难发现，已经有 BP=AC、CQ=AB，也 就是这两个三角形中已经有两条对应边相等也只有找到其中夹角相等，全等就可以了，问题的关键在于如何 找出∠1=∠2？再分析已知条件，不难看出，既然 BD、CE 都是高，就有∠BDA=∠CEA=90，这样就可看出∠1 和∠2 都是∠BAC 的余角了根据同角的余角相等这条性质得到∠1=∠2，这样问题就可以迎刃而解了 证明：∵BD⊥AC 于 DCE⊥AB 于 E ∴∠BDA=∠CEA=90 ∴∠1+∠BAC=∠2+∠BAC=90 ∴∠1=∠2出题教师：侯雪松在ABP 和PCA 中   ABCQBPAC  已知已证已知12∴ABP≌QCA（边角边） ∴AQ=AP（全等三角形对应边相等） 例例 3：：已知：如图，OA=OB、OC=OD 求证：AE=BE 分析分析：：从要证明的结论 AE=EB 看，我们不难看出，应当在ADE 和BCE 中去寻找答案，而要证明ADE≌BCE，比较明显的有一组对顶角相等，即∠AED=∠BEC，另外可以通过等式性质得到， OA－OD=OB－OC，即 AD=BC，那么这两个三角的全等条件仍然差一个，从证明的结论 AE=BE 上分析，不可 能再寻找边的对应相等了，那么只有找一组对应角是否相等就可以了，如能否证出∠A=∠B（或∠ADE=∠BCE） ，∠A=∠B 除了是ADE 和BCE 的对应角外，它们还是AOC 和BOD 的对应角，只要 AOC≌BOD，那么就可以推出∠A=∠B，这样问题便迎刃而解了，同学们自己分析一下AOC 和BOD 全等 条件够吗？ 证明： 在AOC 和BOD 中   OAOBOOOCOD 已知公共角已知∴AOC≌BOD（边角边） ∴∠A=∠B（全等三角形的对应角相等） ∵OA=OB（已知）OC=OD（已知）∴AD=BC（等式性质） 在ADE 和BCE 中     ABAEDBECADBC已证对顶角相等已证∴ADE≌BCE（角角边） ∴AE=BE（全等三角形对应边相等） 同学们自己动手试一试，可不可通过证明∠ADE=∠BCE 来证明ADE≌BCE 呢？ 例例 4：：已知：如图，AD∥BC，AE、BE 分别平分∠DAB 和∠CBA，DC 过点 E。

求证：AB=AD+BC 分析分析：：从要证明的结论 AB=AD+BC 上看，显然是两条线段的和与另 外一条线段相等，可以考虑，能否在长的 AB 边上截一段等于 AD（或 BC） ，利用角平分线的条件证全等 证明（一）： 在 AB 上截 AF=AD，连结 EF 在ADE 和AFE 中出题教师：侯雪松  ADAFDAEFAEAEAE 已作已知公共边∴ADE≌AFE ∴∠D=∠AFE（全等三角形对应角相等） ∵AD∥BC（已知） ∴∠D+∠C=180（两直线平行，同旁内角互补） 又∵∠D=∠AFE（已证）∴∠BFE=∠C（等角的补角相等） 在BFE 和BCE 中     BFECFBECBEBEBE已证已知公共边∴BFE≌BCE（角角边） ∴BF=BC ∴AB=AD+BC 证明（二）： 延长 AE、BC 交于点 F∵AE、BE 分别是∠DAB 和∠CBA 的平分线又∵AD∥BC∴∠1+∠2+∠3+∠4=180（两直线平等，同旁内角互补） ∴∠2+∠3=90 ∴∠AEB=90 ∴∠BEF=90 在ABE 和FBE 中      3490已知公共边已证BEBEAEBBEF∴ABE≌FBE （角边角） ∴AB=BFAE=EF 在AED 和FEC 中      1FAEEFAEDFEC两直线平等，内错角相等已证对顶角相等∴AED≌FEC ∴AD=FC出题教师：侯雪松∴AB=AD+BC（等量代换）。