06-2 典型不可修系统.docx

第二章典型不可修系统本章讨论不可修系统.所谓不可修系统是指 组成系统的各部件失效后，不对失效的部件进行 任何维修・不进行维修的原因有多种多样:有的 是技术上的原因，不可能进行维修；有的是经济 上的原因，不值得进行维修；有的系统本身是可 修的，但为了分析方便，作为第一步，先近似地 当作不可修系统进行研究，等等.因此，研究不 可修系统是很有现实意义的.本章将对一些典型系统进行分析，其中包括 串联系统，并联系统，表决系统，冷贮备系统， 温贮备系统，等等.对上述系统分别求得系统的 可靠度R (t)函数和系统平均寿命(肱5・此外， 介绍可靠度最优分配和备件最优分配问题.§0基本概念复习我们通常用一个非负随机变量X来描述产品 的寿命，X的分布函数为F (t) = P (X < t), t > 0 ⑴产品在时刻t以前都正常(不失效)的概率，即产品在时刻t的生存概率R (t) = P { X > t} = 1 - F (t) = F (t) (2)称为该产品的可靠度函数或可靠度.产品的平均寿命是EX =J°° tdF (t) =「R (t )dt (3)0 0设产品的寿命为非负连续型随机变量X，其 分布函数为F (t),密度函数为f (t).定义f (t) — R' (t)r (t) = = , t e {t : F (t) < 1} (4)F (t) R (t)为随机变量X的失效率函数，简称失效率(或故障 率).F (t) = exp{ —J *r(u)du } (5)0如果非负随机变量X有密度函数f (t) = X e-兀，人〉0, t > 0 (6)则称X服从参数为X的指数分布.显然X的分布 函数和可靠度分别是F (t) = 1 — e-Xt, X > 0, t > 0F (t) = e-xt, X > 0, t > 0失效率为X ,均值和方差分别为EX = —, VarX =— ⑺人 人2§1串联系统和并联系统§1.1串联系统系统由n个部件串联而成，即任一部件失效 就引起系统失效.图2.1表示n个部件串联系统 的可靠性框图.— S2-1串联系统令第i个部件的寿命为X.,可靠度为R.(t)=P{Xi>t},i = 1, 2,…，n假定X\, x2,…,xn相互独立，所有部件在初 始时刻t = 0都是新的，且同时开始工作・显然，上述串联系统的寿命是X = min{ x1, x2，…,xn } 故系统的可靠度为R (t) = P{ min(X1, X2,...,Xn ) > t}=P{ x1> t, X2> t,…,Xn > t}=n p { x > t }=n r( t)当第i个部件的失效率为人（t）时 可靠度为则系统的(2)R (t) = 0 exp { 一"人.(u) du }i=1 0=exp{?1" i(u 冲} 系统的失效率为人(t) = 一 R (() = u 人(t)M) i = 1 '因此，一个由独立部件组成的串联系统的失效率 是所有部件的失效率之和.系统的平均寿命MTTF =«P R (t) dt nJ" exp{ 一"从 u ) du }dt 0 0 0 (4)=J " exp{ -Jt £ 人.(u)du }dt0 0 i = 1R.（t） = exp（ 一人 t）, i = 1,2,..., n 即当第i个部件的寿命遵从参数气的指数分布时， 系统的可靠度和平均寿命为 1&(£) = exp{ -2 X /}ii = l< 1MTTF = Xx i 特别，当 I&.(£) = exp(-人r), i = 1,2, ... , n If有R(t) = exp{ -nXt}< 1I MTTF =—— I nX§1.2并联系统系统由〃个部件并联而成，即只当这m个部 件都失效时系统才失效.图2.2表示n个部件并 联系统的可靠性框图.设第i个部件的寿命为耳，可靠度为R. (t) = P{X. > t}, i = 1, 2,…,nX1, x2, ..., xn相互独立，在初始时刻t=0所有部 件都是新的，且同时开始工作，则易知并联系统 的寿命为x = max{ X1, x2，…,Xn }于是系统的可靠度是R () = P{max(X1, X2，…,Xn) > t} =1-P{max(X1, X2,…,Xn) < t} =1—P{ X、< t, X2< t,...,Xn< t}=1 -I! p{xi > t}=1 -IT [1 -r,(t)]特殊地，当R.(t) = exp( 一人 t), i = 1, 2, ... , n则 ’ ’=1 -式［1 -厂勺］i=1上式可改写为R(t) =»厂人i - Z e-(气+%” + ...i = 1 1 < i < j < n+ (-1)i -1 Z e -(七+七+.“” +1 < j <... < j, < n+ (-1)n -1 e -(入 1+-+、”因而系统的平均寿命MTTF=J00 R (t) dt 0Z 1 Z 1—^^ — Z + • . •i = 1 气 1 < i < j < n 气 + 七+ (-1)i -1 Z + •••人 +人 + ... +人1

i=1 iX只要作变量代换j = 1 — e爪，就可得上述最后一 个等号关系.系统的失效率是-R' (t) —[1 — (1 — e—X t) n]'X (t )— —R (t) 1 — (1 — e-X t)n (12)n X e—X t (1 — e—X t)n—11 — (1 - e—X t)n需要特别注意的是，可靠性框图表示部件好 坏与系统好坏之间的关系，即它表示部件和系统 之间的可靠性关系.可靠性框图与工程结构图并不完全等价.举例来说，最简单的振荡电路由一 个电感L和一个电容C组成，在工程结构图中， 电感L和电容C是并联连接，但在可靠性框图中， 它们却是串联关系(图2.3).这是因为电感L和电容C中任何一个失效都 引起振荡电路失效，这符合串联系统的定义.在以下讨论的所有可靠性基本模型中，都必 须注意不要将可靠性框图与工程结构图互相混 淆，以免在实际应用中出大错误.§1.3串-并联系统图2.5所表示的系统称为串-并联系统.JH2.5串-并联系蜿若各部件的可靠度分别为R (t), i =1, 2, , n;Ij =1, 2,...,叫,且所有部件的寿命都相互独立.则 用§1.1和§1.2的串联系统和并联系统的可靠度公 式R(t) = lf R(t), R(t) = 1 -11 [1 - R (t)]i = 1 i = 1立即可得串-并联系统的可靠度r (t)=n {1 一 n [1 - r (t)]}i = 1 j = 1当所有R. (t) = R0(t)，所有m. = m时，有R (t) = {1 - [1 - R 0( t)] m }"特别当R0(t) =e -^t时，R (t) = {1 一 [1 一 e-人t ]m }n§1.4并-串联系统图2. 6所表示的系统称为并-串联系统.若各部件的可靠度分别为R(t),i =1, 2,... ,n;Hj =1, 2,...，叫，且所有部件相互独立,则用§1.1 和§1.2的串联系统和并联系统的可靠度公式R(t) = lf R,(t), R(t) = 1 -11 [1 - R (t)]i = 1 i = 1并-串联系统的可靠度是R (t) = 1 -1 [1 -ITi Rj (t)]i = 1 j = 1当所有Rj(t) = R0(t)，所有m. = m时，有R (t) = 1 - [1 - R m (t)] n特别当R0(t) = e-^t时，R (t) = 1 - [1 - e - m Xt ]n§1.5 2不同部件冷贮备系统n部件储备系统如下图所示.下面讨论2不同部件冷储备系统的平均寿命 和可靠度.假定开关完全可靠，转换瞬时完成, 第i个部件的寿命为X,, i = 1, 2, X 1, X 2相互独立，分布函数分别为F (t) = 1 -厂气'，t > 0, i = 1, 2 分布密度分别为f (t)=人.厂气’ t > 0, i = 1, 2开始时部件1工作部件2冷储备.则系统的寿命X = X 1 + X 2这是2个相互独立，有不同指数分布的随机变量 之和.由数学期望的性质可知,MTTF = EX = E ( X 1 + X 2)=EX +EX = —+ —1 2人 人根据2个独立随机变量和的分布密度公式，X = X 1 + X 2的分布密度f (1) =J“ f1( 1 - x)f2(x)dx一8=J1 % 1 e-%i( J*) % 2 e-% 2 xdx=% % e-%11Jf e-(%2-%1)xdx 1 2% 1 %2e-%1'[1 - e-(%2-%1)1 ]= % 2 -% 1% 1 %2(e-%11 一 e一％21)= % 2-% 1于是系统的可靠度R (1) = 1-J'f (x) dxo人2 一人1 人 1 e-% 2*人2 e-气1+人一人 人一人§1.6 2相同部件温贮备系统=1 -J 1 % 1 % 2( f 一 e 一%2 x)dx0下面讨论2相同部件温储备系统的平均寿命 和可靠度.假定开关完全可靠，转换瞬时完成, 第i个部件的工作寿命为X , i = 1, 2,分布函数 为 1孔(t) = 1 -厂如，t > 0, i = 1,2 分布密度为'f (t) = M e—M, t > 0, i = 1,2i第i个部件的储备寿命为Y「i = 1, 2,分布函数为H (t) = 1 - e-a t, t > 0, i = 1,2分布密度为h (t) = a e -at, t > 0, i = 1, 2iX1, X2, Y1, Y2相互独立.1我们采用等价变换的方法来处理这一问题・系统开始工作时，工作单元和储备单元都处于工作状态，失效率分别为人和a,我们把它看成一个串联的新部件，称为“新部件1” ,其失效率为人1 =人+ a新部件1失效后，无论是工作部件失效(这时储备 部件接替工作),还是储备部件失效(这时工作部件象新的部件一样继续工作），另一个“新部件2” 接替工作，失效率为人2=x.这相当于由“新部件 1”和“新部件2”构成的2不同部件冷贮备系统. 由上节可知，系统的。