专题质量评估(一)(时间:120分钟,满分:160分)一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,共70分) 1.(2012届江苏盐城摸底)已知集合P={-2,0,2,4},Q={x|00, ∴的解集为. 【答案】 7.设a>0,b>0.若是与的等比中项,则的最小值为 . 【解析】 ∵∴a+b=1. =4,当且仅当即时“=“成立. 【答案】 4 8.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-4)=-f(x),且在区间[0,2]上是增函数,则f(-25)、f(11)、f(80)的大小关系是 . 【解析】 因为f(x)是定义在R上的奇函数且满足f(x-4)=-f(x),即-f(x-4)=f(x).所以f(4-x)=f(x).所以函数图象关于直线x=2对称,且f(0)=0.由f(x-4)=-f(x)知f(x-8)=f(x),故函数是以8为周期的周期函数,∴f(-25)=f(-1),f(80)=f(0),f(11)=f(8+3)=f(3). ∵f(4-x)=f(x),∴f(3)=f(4-3)=f(1). 由于函数f(x)在[0,2]上是增函数,∴f(x)在[-2,0]上也是增函数,故f(-1)1. ∵f(a)=|lga|=-lga=lgf(b)=|lgb|=lgb,∴.∴. 令 g(a)在(0,1)上为减函数, ∴2=3. 【答案】 12.方程的解可视为函数的图象与函数的图象交点的横坐标,若的各个实根…所对应的点2,…,k)均在直线y=x的同侧,则实数a的取值范围是 . 【解析】 . 如图所示,当的图象从过点A向下平移时,或图象从过点B向上平移时,交点均在y=x的同侧, 把A(2,2),B(-2,-2)代入y=得a=6或a=-6,∴. 【答案】 13.当时,函数x-3在x=2时取得最大值,则a的取值范围是 . 【解析】 由题意知 即a(x-2)(x+2)+4(a-1. 当x=2时R; 当时,有a(x+2) 故 解得. 综上. 【答案】 14.(2011上海高考,理13)设g(x)是定义在R上,以1为周期的函数.若函数f(x)=x+g(x)在区间[3,4]上的值域[-2,5],则f(x)在区间[-10,10]上的值域为 . 【解析】 设. ∵g(x)是定义在R上的以1为周期的函数, ∴当时; 时[0,7];…; 时[4,11]. 同理,当时. 综上分析知,当时,函数的值域为[-15,11]. 【答案】 [-15,11] 二、解答题(本大题共6小题,共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(本小题满分14分)设函数f(x)定义在R上,对于任意实数m,n恒有f(m+n)=f(m)f(n),且当x>0时,00,∴f(0)=1. 又f(x)f(-x)=f(0)=1,若x>0,则-x<0. 由01. 故对任意的R,都有f(x)>0. 设则. ∴ . 即故f(x)在R上是减函数. (2)原不等式等价于0). 又f(x)是减函数,∴解得-316时. 17.(本小题满分14分)(2012江苏盐城摸底)某市出租汽车的收费标准如下:在3 km以内(含3 km)的路程统一按起步价7元收费,超过3 km以外的路程按2.4元/km收费.而出租汽车一次载客的运输成本包含以下三个部分:一是固定费用约为2.3元;二是燃油费,约为1.6元/km;三是折旧费,它与路程的平方近似成正比,且当路程为100 km时,折旧费约为0.1元.现设一次载客的路程为x km. (1)试将出租汽车一次载客的收费F与成本C分别表示为x的函数; (2)若一次载客的路程不少于2 km,则当x取何值时,该市出租汽车一次载客每千米的收益取得最大值? 【解】 (1)F(x)= = 设折旧费将点(100,0.1)代入,得0.解得. 所以C(x)=2.3+1.. (2)因为 所以y= ① 当x>3时,由基本不等式,得..79(当且仅当x=500时取等号); ②当,由.6在[2,3]上单调递减,得.6=0..79. 答:该市出租汽车一次载客路程为500 km时,每千米的收益y取得最大值. 18.(本小题满分16分)(2011江西高考,理19)设f(x)=. (1)若f(x)在上存在单调递增区间,求a的取值范围; (2)当00,得 所以,当时,f(x)在上存在单调递增区间. (2)令f′(x)=0,得两根. 所以f(x)在上单调递减,在(上单调递增. 当01,mn=1,函数f(x)是否具有奇偶性?如果有,求出相应的k值,如果没有,说明为什么? (2)如果m>1>n>0,判断函数f(x)的单调性; (3)如果且求函数y=f(x)的对称轴或对称中心. 【解】 (1)如果f(x)为偶函数,则f(-x)=f(x), 即恒成立, 即 即0,即. 由不恒成立,得k=1. 如果f(x)为奇函数,则f(-x)=-f(x), 即恒成立, 即 即 即由恒成立,得k=-1. 综上所述,当k=1时,f(x)为偶函数; 当k=-1时,f(x)为奇函数. (2)∵m>1>n>0,∴∴当时,显然f(x)=在R上为增函数; 当k>0时,f′lnlnlnm+kln 由得lnm+klnn=0,得-klog得x=loglog. ∴当loglog时,f′(x)<0,f(x)为减函数; 当loglog时,f′(x)>0,f(x)为增函数. (3)当时 如果 则f(logx),∴函数y=f(x)的对称中心为log. 如果 则f(log∴函数y=f(x)的对称轴为x=log. 20.(本小题满分16分)设函数f(x)=1-e (1)证明:当x>-1时; (2)设当时求a的取值范围. 【解】 (1)证明:当x>-1时当且仅当e. 令g(x)=e则g′(x)=e. 当时,g′在上是增函数; 当时,g′在上是减函数. 于是g(x)在x=0处达到最小值,因而当R时,g(x)即e. 所以当x>-1时. (2)由题设此时. 当a<0时,若则不成立; 当时,令h(x)=axf(x)+f(x)-x,则 当且仅当 h′(x)=af(x)+axf′(x)+f′(x)-1 =af(x)-axf(x)+ax-f(x). (ⅰ)当时, 由(1)知x), h′a(x+1)f(x)-f(x)=(2a h(x)在上是减函数 即. (ⅱ)当时 h′(x)=af(x)-axf(x)+ax-f(x) af(x)-f(x) =(2a-1-ax)f(x), 当时,h′(x)>0, 所以h(x)>h(0)=0,即 综上,a的取值范围是. 。
